专题11.2 整式的乘法（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题 11.2 整式的乘法 1.整式乘法法则的理解与掌握（重点） 2.运用法则进行准确运算（重点） 3.单项式与多项式相乘时，对 “每一项” 的准确把握（难点） 4.多项式与多项式相乘时，项的乘积完整性和符号处理（难点） 5.整式乘法与幂的运算的综合运用（难点） 单项式与单项式相乘 1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加;(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数 写在积里 3.单项式与单项式相乘的法则的实质是乘法交换律,乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用 1.单项式与单项式相乘的结果仍为单项式 2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏3.单项式与单项式相乘的法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用 单项式与多项式相乘 1．单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。用字母表示为 ． 2．单项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为 ．所以 ． 1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同 2.单项式与多项式相乘的实质是利用乘法分配律，把单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式 多项式与多项式相乘 1．多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 用字母表示为 ． 2．多项式与多项式相乘的几何解释释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以将大长方形的面积看成 4 个小长方形的面积之和，即 ，所以 ． 1.多项式与多项式相乘的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式,在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积 题型一、计算单项式乘单项式 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方和幂的乘方法则求解即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 1-1（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式的计算，先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 1-2（24-25八年级上·广东广州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 1-3（24-25八年级上·河南漯河·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘单项式，幂的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解决此题的关键．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故不符合题意； ，故不符合题意； 、，故符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 1-4（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，零次幂，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 2-1（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2-2（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 题型三、计算单项式乘多项式及求值 例3（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，根据多项式乘单项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】解：； 故答案为：． 3-1（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘以多项式的各项，再把所得积相加，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3-2（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 3-3（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式是解题的关键． 根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可． 【详解】解： ． ， ． 原式． 3-4（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 3-5（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法以及代数式求值，根据已知得出，，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴ 故答案为：． 题型四、单项式乘多项式的应用 例4（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4-1（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，综合实践课上，小明在长方形硬纸片的四个角处分别剪去边长为x的小正方形，再按虚线折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，则该长方体盒子的体积可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 先确定长，宽，高，再根据体积公式，结合多项式乘以多项式，多项式乘以单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】根据题意可知长方体的长为，宽为，高为x， 可知长方体盒子的体积是. 4-2（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 4-3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中，，，代表当日的数字，设代表的数字为，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 设代表的数字为，然后表示出C代表的数字为，B代表的数字为，D代表的数字为，然后代入利用整式乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：∵设代表的数字为， ∴C代表的数字为，B代表的数字为，D代表的数字为， ∴ ． 故答案为：． 4-4（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为 ． 【答案】； 【分析】本题考查单项式乘多项式．根据长方形的面积公式结合单项式乘多项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：长方形的面积为； 故答案为：． 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 例5（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 5-1（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 5-2（23-24八年级上·河北邯郸·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 题型六、计算多项式乘多项式 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 6-1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式的应用．根据题意得到，则，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 由得： 则， 由，得： 解得 故选：C 6-2（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键． 根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6-3（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若多项式有一个因式为，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的意义，由多项式有一个因式为，可设另一个因式为，可得．掌握因式分解的意义是解题关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 即， 解得． 故答案为：2． 6-4（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． （1 ）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的除法即可求解； （2 ）先根据多项式乘以多项式法则计算，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： 题型七、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例7（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根． 【详解】解：， 又， ，， ， ． 故选B． 7-1（24-25八年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 7-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式可因式分解为， ∴， 故选：B． 7-3（23-24八年级上·河南漯河·期末）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 7-4（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值． 【详解】解：， ， m、n为整数， ， 或或或， a的值不可能是， 故选：． 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8（24-25八年级上·四川绵阳·期末）要使关于的代数式不含一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用多项式乘以多项式法则计算，然后令一次项系数为0，再解方程即可． 【详解】解： ∵代数式不含一次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 8-1（24-25八年级上·河南新乡·期中）如果的展开式中不含x的一次项，则常数m，n满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题．先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x的一次项，则含x的一次项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开式中不含x的一次项， ， 故选：C． 8-2（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中无关问题， 先根据整式乘法法则计算，再整理得出x的一次项，然后根据一次项系数等于0，求出解即可． 【详解】解：. ∵式子的计算结果中不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 8-3（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）多项式展开后不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，正确计算多项式乘多项式是解此题的关键．先根据多项式乘以多项式法则进行计算，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， 多项式展开后不含的一次项， ， 解得：， 故答案是：． 8-4（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知计算的结果中不含的项，求实数的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， 由结果中不含项，得到， 解得：． 题型九、多项式乘多项式--化简求值 例9（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，求代数式的值．解题的关键是掌握多项式的乘法运算法则，将展开再合并，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的值是． 故选：B． 9-1（23-24八年级上·广东广州·期中）（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），13 【分析】本题考查了整式的混合运算， （1）首先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则化解，然后解一元一次方程即可； （2）首先根据整式乘法的混合运算法则化简，然后代入求解即可． 熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． ∵， ∴原式． 9-2（23-24八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的乘法及加减混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式及整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：原式 =    当 时，原式 9-3（23-24八年级上·北京朝阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，根据整式的运算法则先化简，再将，代入式子中计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 9-4（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若与的乘积中不含x的一次项和二次项，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】此题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式以及代数求值，多项式乘积不含某项问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代值计算即可； （2）首先计算，然后根据题意得到，，求出，，然后代数求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵，， ∴原式； （2） ； ∵与的乘积中不含x的一次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴． 题型十、多项式乘多项式与图形面积 例10（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形， ∴ ， ∴则梯形的面积为， 故选：D 10-1（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积， 根据题意可知大长方形的面积为，等于一个小正方形的面积加上三个长方形的面积再加上两个正方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 10-2（24-25八年级上·广西河池·期末）某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，理解题意，正确列出算式并化简是解题关键．根据题意，可知扩建后增加的面积为，化简即可获得答案． 【详解】解：根据题意，原林地为边长为米的正方形，现将一边增加了7米，另一边增加了4米，则扩建后增加的面积为平方米． 故答案为：． 10-3（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到花园的长为，宽为，根据公式计算即可． 本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得花园的长为，宽为， 故面积为． 故选：D． 10-4（24-25八年级上·河南周口·期末）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面图2是一个长为，宽为的长方形，另一方面，图2是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：图2是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 图2也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：C． 题型十一、多项式乘法中的规律性问题 例11（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第四项的系数． 【详解】解：通过观察可得除过每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和， 的第四项系数， 的第四项系数， 的第三项系数， ∴的第四项系数， 故选：D． 11-1（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键． 根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可． 【详解】解：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数． 例如系数为第1行的1； 系数为第2行的1、1； 系数为第3行的1、2、1等等． 每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）； 根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）； 同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）． ∴在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6． 故选：D． 11-2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)符合 (2)见解析 (3)①；② (4) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究： （1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； （4）根据中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：选取8，9，15，16四个数字，则：； 故符合此规律； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ∴； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； （4）当时，； 当时，； 当时，； ∴． 题型十二、整式乘法混合运算 例12（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是根据整式乘法运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 12-1（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12-2（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（1）化简：； （2）化简：． （3）因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了整式混合运算，因式分解，熟练掌握积的乘方运算法则，单项式乘多项式运算法则，因式分解的方法． （1）根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式进行因式分解即可； （4）先提公因式，然后用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12-3（24-25八年级上·四川资阳·期末）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）计算： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，求出算术平方根和立方根，再进行加减计算即可； （2）先提公因数，再运用完全平方公式因式分解即可； （3）先运用单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式， （3）原式． 易错点 多项式与多项式相乘时，项的乘积不全或符号错误 例计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 1．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式，根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若代数式的计算结果中不含有x的一次项，则m的值为（  ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据结果不含一次项，则一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵结果不含一次项， ∴， ∴； 故选A． 3．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、单项式乘以单项式，数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一组数组为， 第二组数组为， 则第三组数组为，第四组数组为， ， ， ， ， ， 此次类推，n为正数， ， 为正整数， 为偶数，故①不符合题意； ， ， ，故②不符合题意； ，n为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， 当，时最小， 的最小值为，故③符合题意， 故选：B． 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的类卡片的总面积，由此即可得． 【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为： ， ∵1张类卡片的面积为， ∴需要类卡片的张数为（张）， 故选：D． 5．若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题多项式乘以多项式法则，把展开得，得出，即可得m的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，正确理解题意并列出代数式化简是解题的关键．根据题意列出代数式，再根据整式的运算法则化简，即得答案． 【详解】解： 剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为． 故答案为：． 7．我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，推出展开式的系数和为，即可． 【详解】解：的系数和为：； 的系数和为：； 的系数和为：； ∴展开式的系数和是； 故答案为：． 8．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，    利用上述规律计算： ． 【答案】 【分析】根据前面的变化规律，计算后解答即可． 本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 9．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出，进而得到，再根据满足条件的整数有且只有2个得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵满足条件的整数有且只有2个， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，单项式乘以单项式和多项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据平方差公式求解即可； （4）把看做一个整体，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 13．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 11.2 整式的乘法 1.整式乘法法则的理解与掌握（重点） 2.运用法则进行准确运算（重点） 3.单项式与多项式相乘时，对 “每一项” 的准确把握（难点） 4.多项式与多项式相乘时，项的乘积完整性和符号处理（难点） 5.整式乘法与幂的运算的综合运用（难点） 单项式与单项式相乘 1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加;(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数 写在积里 3.单项式与单项式相乘的法则的实质是乘法交换律,乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用 1.单项式与单项式相乘的结果仍为单项式 2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏3.单项式与单项式相乘的法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用 单项式与多项式相乘 1．单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。用字母表示为 ． 2．单项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为 ．所以 ． 1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同 2.单项式与多项式相乘的实质是利用乘法分配律，把单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式 多项式与多项式相乘 1．多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 用字母表示为 ． 2．多项式与多项式相乘的几何解释释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以将大长方形的面积看成 4 个小长方形的面积之和，即 ，所以 ． 1.多项式与多项式相乘的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式,在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积 题型一、计算单项式乘单项式 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： 1-2（24-25八年级上·广东广州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 1-3（24-25八年级上·河南漯河·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1-4（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 2-1（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 2-2（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三、计算单项式乘多项式及求值 例3（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 3-1（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： ． 3-2（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算： ． 3-3（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知，求的值． 3-4（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ． 3-5（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则的值为 ． 题型四、单项式乘多项式的应用 例4（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： ． 4-1（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，综合实践课上，小明在长方形硬纸片的四个角处分别剪去边长为x的小正方形，再按虚线折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，则该长方体盒子的体积可表示为（      ） A． B． C． D． 4-2（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 4-3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中，，，代表当日的数字，设代表的数字为，则 ．（用含的代数式表示） 4-4（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为 ． 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 例5（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 5-1（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 5-2（23-24八年级上·河北邯郸·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 题型六、计算多项式乘多项式 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 6-1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-2（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________． 6-3（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若多项式有一个因式为，那么 ． 6-4（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 题型七、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例7（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 7-1（24-25八年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 7-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 7-3（23-24八年级上·河南漯河·期末）如果，则的值为 ． 7-4（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8（24-25八年级上·四川绵阳·期末）要使关于的代数式不含一次项，则的值为 ． 8-1（24-25八年级上·河南新乡·期中）如果的展开式中不含x的一次项，则常数m，n满足（    ） A． B． C． D． 8-2（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 8-3（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）多项式展开后不含的一次项，则的值为 ． 8-4（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知计算的结果中不含的项，求实数的值． 题型九、多项式乘多项式--化简求值 例9（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）当时，的值是（    ） A． B． C． D． 9-1（23-24八年级上·广东广州·期中）（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 9-2（23-24八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中． 9-3（23-24八年级上·北京朝阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 9-4（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若与的乘积中不含x的一次项和二次项，求的值． 题型十、多项式乘多项式与图形面积 例10（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 10-1（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（   ） A． B． C． D． 10-2（24-25八年级上·广西河池·期末）某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 10-3（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（   ） A． B． C． D． 10-4（24-25八年级上·河南周口·期末）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 题型十一、多项式乘法中的规律性问题 例11（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 11-1（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 11-2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 题型十二、整式乘法混合运算 例12（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）化简求值：，其中，． 12-1（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 12-2（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（1）化简：； （2）化简：． （3）因式分解：； （4）因式分解：． 12-3（24-25八年级上·四川资阳·期末）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）计算： 易错点 多项式与多项式相乘时，项的乘积不全或符号错误 例计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 1．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若代数式的计算结果中不含有x的一次项，则m的值为（  ） A． B．0 C． D． 3．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 5．若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 6．如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 7．我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 8．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，    利用上述规律计算： ． 9．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 10．若，则的值为 ． 11．计算： (1) (2) (3) (4) 12．计算： ． 13．（1）计算：； （2）计算：． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$