精品解析：北京市宣武外国语实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年北京市宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 5. 如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m＜4 C. m≥﹣4 D. m＞﹣4 6. 已知点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 11. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 _____． 12. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是___________． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 16. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CEAB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本题共68分，第17，20，21，23，26，28题，每小题6分，第18，19，22，24，25题，每小题6分，第27题7分） 17. 解关于x的方程． （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 20. 已知二次函数的解析式是． （1）与y轴的交点坐标是_______，顶点坐标是_______． （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线： x … … y … … （3）结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是_______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标； （3）若直接旋转得到，则旋转中心点M的坐标是 ． 22. 下表是二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）． x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）观察表格，直接写出m= ； （2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1 y2（用“＞”或“＜”填空）； （3）求这个二次函数的表达式． 23. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 24. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为．根据以上信息，回答下列问题： （1）画出小石建立的平面直角坐标系； （2）判断排球能否过球网，并说明理由． 25. 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … －2 － m 2 1 2 1 － －2 … 其中m=____________； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象 ①写出该函数的一条性质_______________； ②直线经过点（－l，2），若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是__________________. 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接，． （1）如图，当点在正方形的内部时，若平分，则 ； （2）当点E在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，判断是否能找到对称中心即可解答． 【详解】A、C是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故A、C错误； B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故B错误； D、是中心对称图形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 3. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 4. 如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，又因为，则的度数可求； 【详解】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A′位置， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，准确计算是解题的关键． 5. 如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m＜4 C. m≥﹣4 D. m＞﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点， ∴方程x2+4x﹣m＝0有两个实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣4， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键． 6. 已知点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算自变量为、2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称轴方程是：． 根据抛物线与抛物线的对称轴相同，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线 抛物线的对称轴也是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴方程的另一个根为 故选：B． 8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min 【答案】B 【解析】 【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答. 【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0）， 根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31）， 将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43, 根据函数性质得t＝－＝13时，s最大， 故选B. 【点睛】本题主要考查求函数最值，可利用配方法，公式法等. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据原点对称的两个点其对应的横坐标，纵坐标分别互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：因为点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标计算，熟练掌握原点对称的两个点其对应的横坐标，纵坐标分别互为相反数，是解题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 11. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 12. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________． 【答案】200（1+x）2=320 【解析】 【分析】根据销售额平均每月的增长率为x，先求出9月份销售额(200+200x)万元，10月份(200+200x)+ (200+200x)x=200（1+x）2,然后让10月销售额=320，列方程即可． 【详解】解：设销售额平均每月的增长率为x， 根据题意得200（1+x）2=320． 故答案为200（1+x）2=320． 【点睛】本题考查增长率问题，抓住增加额=前一月销售额×增长率，根据8月份销售额，利用增长率表示出10月份销售额是解题关键． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是___________． 【答案】（2，2） 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，由此即可作图求得答案． 【详解】解：如图，连接AE，分别作线段AE、线段OC的垂直平分线，相交于点F（2，2）， 则点F（2，2）即为旋转中心， 故答案为：（2，2）． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形 又∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：0． 16. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CEAB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】②④##④② 【解析】 【详解】①根据抛物线开口方向即可判断； ②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围； ③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断； ④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CEAB，即可得结论． 【解答】解：①观察图象开口向下，a＜0， 所以①错误； ②对称轴在y轴右侧，b＞0， 所以②正确； ③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0）， 对称轴在y轴右侧， 所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0， 所以③错误； ④∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴AD=BD， ∵CEAB， ∴四边形ODEC为矩形， ∴CE=OD， ∴AD+CE=BD+OD=OB=4， 所以④正确． 综上：②④正确． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数． 三、解答题（本题共68分，第17，20，21，23，26，28题，每小题6分，第18，19，22，24，25题，每小题6分，第27题7分） 17. 解关于x的方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解方程即可； （）利用配方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 （）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出，求出m的取值范围即可； （2）根据（1）中m的取值范围及m为正整数得出m的值，求出方程的根即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， ∴或， ∴，． 20. 已知二次函数的解析式是． （1）与y轴的交点坐标是_______，顶点坐标是_______． （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线： x … … y … … （3）结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是_______． 【答案】（1）；； （2） 列表如下： 0 1 2 3 0 0 函数图象如下所示： （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出y的值即可求出与y轴的交点坐标；把二次函数解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）根据（2）所画函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴二次函数与y轴的交点坐标为； ∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为：；； 【小问2详解】 令，则有， 解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为； 【小问3详解】 当时，，当时，， 由函数图象可知， 当时，函数值的取值范围是； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标； （3）若直接旋转得到，则旋转中心点M的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，和即为所求； （2），点的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）由图可直接得出，的坐标．设经旋转后点P的对应点为，由旋转的性质可得点的坐标为，再由平移的性质可得点的坐标为 （3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点M，则绕点M逆时针旋转得到，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，， 设经旋转后点P的对应点为， ∴点的坐标为， ∴平移后点的坐标为 【小问3详解】 解：连接，分别作线段的垂直平分线，交于点M， 则绕点M逆时针旋转得到， ∴旋转点M的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图——旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 22. 下表是二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）． x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）观察表格，直接写出m= ； （2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1 y2（用“＞”或“＜”填空）； （3）求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）3（2）＞（3）y=x2﹣4x+3． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的对称性即可求出m； （2）根据﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，它们y的范围解答； （3）设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，然后把点（1，0）代入求出a的值，即可得解． 试题解析：（1）观察表格，可知m=3．故答案为3； （2）∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴y1＞y2．故答案为＞； （3）∵顶点是（2，﹣1）， ∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1， 由图可知，函数图象经过点（1，0）， ∴a（1﹣2）2﹣1=0，解得a=1． ∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3． 【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 23. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ， 线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质可知，从而得，再证，即可得答案； （2）由知为等边三角形，即，继而由，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋转的性质证出． 24. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为．根据以上信息，回答下列问题： （1）画出小石建立的平面直角坐标系； （2）判断排球能否过球网，并说明理由． 【答案】 （1）小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，如下图： （2）排球能过球网，理由如下： 根据题意得：点B的横坐标为3， ∴当 时， ， ∴排球能过球网． 【解析】 【分析】（1）根据该抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为 ，从而得到小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，即可求解； （2）根据题意得：当 时， ，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∵当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m． 根据题意得：点A的坐标为； （2）略 【点睛】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … －2 － m 2 1 2 1 － －2 … 其中m=____________； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象 ①写出该函数的一条性质_______________； ②直线经过点（－l，2），若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是__________________. 【答案】（1）m=1， （2）如图所示： （3）①函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）；②1<b<2. 【解析】 【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）①根据函数图象得到函数y=x2-2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少； ②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2． 【详解】（1）当x=-2时，m=-（-2）2+2×|-2|+1=-4+4+1=1． （2）略 （3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称． ②由函数图象知：∵关于x的方程-x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根， ∴b的取值范围是1＜b＜2． 故答案为1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解； （3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）由抛物线，可知． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）∵抛物线与y轴交于点A， 令x=0，y=1 ∴点A的坐标为． ∵点B是点A关于直线的对称点， ∴点B的坐标为． （3）∵点A ，点B ，点 P，点Q， ∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上． ①当时，，点Q在点A的右侧． （i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点； （ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点 ②当时，，点Q在点B的左侧． （i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点； （ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接，． （1）如图，当点在正方形的内部时，若平分，则 ； （2）当点E在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）补全图形如图， ； ，证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由知，， ∴， ∴， ∵， 当，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，从而可得的度数； （2）由题意可画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得的度数；过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点旋转，得到线段， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵将线段绕点旋转，得到线段， ∴，，， ∴，， ∴，； 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； 【小问2详解】 ∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； 【小问3详解】 ①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $