精品解析：山东省烟台市莱山区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是最简二次根式 B. C. D. 与可以合并 5. 如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米． A. B. C. D. 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，的面积为4，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 12. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 14. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______． 15. 已知，，则代数式的值等于______． 16. 已知、是实数，且 ， 则 的立方根为_________； 17. 黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 18. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 19. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高________m． 20. 如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. （1）计算： ； （2）解方程：． 22. 如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）与的位似中心的坐标为___________； （2）以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 23. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 24. 【阅读材料】先来看一个有趣现象：，这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”具有这种现象的数还有许多，例如： ，等． （1）【猜想】_____________；（不用化成最简二次根式） （2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”术，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的值． 25. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 27. 如图，直线分别交轴，轴于，两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）过点作轴于点，点在轴上，若以O，A，P为顶点三角形与相似，请求出点的坐标． 28 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出的值． 【详解】解：已知点在反比例函数的图象上，将点坐标代入函数解析式： 当时，，代入得， 两边同时乘以，得， 因此，的值为， 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．无法合并为，因为二次根式加减需被开方数相同，故错误； B．=，而非，计算错误； C．==，符合二次根式乘法法则，正确； D．===，结果为而非，故错误． 故选C． 3. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是最简二次根式 B. C. D. 与可以合并 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，实数大小比较以及最简二次根式，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，实数大小比较方法以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； C、，故选项C不符合题意； ，，即与可以合并，故选项符合题意． 故选：． 5. 如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负。 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得且． 故选D． 7. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 8. 随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得： ， 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得． 【详解】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且，②正确； ∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB， ∴△ODE∽△OBC， ∴，①错误； ，③错误； ∵， ∴，④正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质． 10. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握相似、矩形的性质． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， 四边形是矩形， ， ∴， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：D． 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，的面积为4，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：点，的面积为4， ， ， 故， 将代入， ， ． 故选B． 12. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案：3． 14. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键． 15. 已知，，则代数式值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先把代数式整理可得：原式，再把，代入整理后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式， ． 故答案为： ． 16. 已知、是实数，且 ， 则 的立方根为_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， 解得， ， 则 的立方根为， 故答案为：． 17. 黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 18. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 19. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 20. 如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为__________． 【答案】5或 【解析】 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. （1）计算： ； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可； （2）将方程整理得，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 22. 如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）与的位似中心的坐标为___________； （2）以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 【答案】（1） （2）如图所示 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的定义与作图． （1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【小问1详解】 解：与的位似中心为点M， 位似中心的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示． ． 23. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），补全表格见解析 （2）的取值范围为或； 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 【小问2详解】 由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 24. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”具有这种现象的数还有许多，例如： ，等． （1）【猜想】_____________；（不用化成最简二次根式） （2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”术，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， 证明如下， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 证明如下， ； 【小问3详解】 解：， ，， ， ， 故答案为：． 25. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）先求出，可得，然后根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 26. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2）不能围成占地面积为电动车车棚，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 小问2详解】 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 27. 如图，直线分别交轴，轴于，两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）过点作轴于点，点在轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 【答案】（1）直线解析式为，双曲线解析式为 （2）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∵，，， ∴，，，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 28. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3）的长为或1 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）通过证明，可证，即可求解； （3）分两种情况：①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：；理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ②当四边形为矩形时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或1． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$