精品解析：湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 设为非零向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若函数在处取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 4. 学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 5. 中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 中，为的外心，则（ ） A. B. C. D. 7. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 函数在内有零点 D. 方程无解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则______． 13. 已知非零向量，若与的夹角为，则______． 14. 记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围． 16. 如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 17. 某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； （2）若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； （3）若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 18. 已知的内角． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若是边上的一点，当最大时，，求的长． 19. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的弧度判断该角的象限即可. 【详解】因为，所以的终边位于第二象限. 故选：B． 2. 设为非零向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式化简即可求得结果. 【详解】因为， 所以化简得，所以， 故选：D． 3. 已知函数，若函数在处取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，结合解方程即可. 【详解】因为函数在处取得最小值 ， 又，所以. 故选：D． 4. 学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比和已知条件列出等式求得总人数，进而可求得计分组人数. 【详解】不妨设总人数为，则， 所以，所以计分组人数为， 故选：A． 5. 中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何图形和平面向量的线性定理进行求解即可. 【详解】， 故选：A． 6. 中，为的外心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据圆心角、圆周角、三角形内角的关系求出的关系，然后利用诱导公式求出结果. 【详解】， ， 故选：C． 7. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等体积法，利用棱锥的体积公式可求出点到平面的距离. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 8. 锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形角的关系化简等式，得到的关系，然后列出的式子，最后根据角的范围求出其范围即可. 【详解】，. ，，，从而， 为锐角三角形． ，从而. 故选：D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】设，化简得到，从而得到方程组，求出或1，得到虚部. 【详解】，则， ∵， ∴， ∴， 故，解得，或1， 故虚部为0或1. 故选：CD． 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B：代入检验此点是不是零点，即可判断；对于C：利用伸缩变换即可判断；对于D：判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断. 【详解】解：对于A：由图可知：，， 用五点法代入点，可得， 不妨取，， 故A正确； 对于B：故B错； 对于C：由于伸缩变换后的函数就是，故C正确； 对于D：向右平移后的函数， ，为偶函数，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 函数在内有零点 D. 方程无解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据定义代入验证即可；对于C，令，根据单调性，即可得到即可判断；对于D，根据单调性可知即可判断D. 【详解】， 所以，则是偶函数，A选项正确； ，B选项正确； ，令，则． 因为在时单调递增，所以， 所以，则恒成立． 故在上无零点，C选项错误． 令，是单调递增函数（都是单调递增函数)， 所以，所以方程无解，D选项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】化简等式，可求出的值，进而可求出的值. 【详解】因为， 所以． 所以， 因为， 所以. 故答案为：1. 13. 已知非零向量，若与的夹角为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式求出的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，解得. 故答案为：1. 14. 记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为______． 【答案】34 【解析】 【分析】方法1：根据等式可用含的式子将表示出来，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法2：将等式变换成因式分解的形式，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法3：将等式变换成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质求出长方形周长的最小值. 【详解】法1：由得，，所以． 又因为，即，，从而， 所以，从而该长方形的周长最小值为． 法2：得，，因为，所以，后面方法同上． 法3：， 当且仅当取得“=”号，此时，故该长方形周长的最小值为34． 故答案为：34. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为．单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质和单调性求函数的单调区间即可. （2）先利用和差的正弦和余弦公式化简不等式，然后利用正弦函数的值域求出的范围. 【小问1详解】 函数，所以函数的单调递减区间为 ，解得； 函数的单调递增区间为， 解得． 所以函数的单调递减区间为．单调递增区间为. 【小问2详解】 ，即， 即． 因为， 所以． 故． 16. 如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：由平面，平面ABC，故． 又，平面，且，平面， 又平面，．又，平面，且， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）需要找出与平面所成角,再通过几何关系计算其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面，又平面， 又，平面，且，平面， 在平面内的射影为，在平面成角为， 又，根据面积可得，,即，解得， 在中，根据勾股定理可得，,故 与平面所成角的正切值为. 17. 某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； （2）若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； （3）若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 【答案】（1）360人； （2）没有超过； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，然后求出平均每周球类运动时长大于或等于10小时的概率，进而可求得人数. （2）先求出80%百分位数，然后进行比较、确定其是否超过该年级80%的学生. （3）先求出平均值和方差，然后利用二次函数的性质求出的值. 【小问1详解】 由，解得． 平均每周球类运动时长大于或等于10小时的人数为人． 估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为人． 【小问2详解】 由题意，需要确定平均每周球类运动时长的分位数，因为 ， ，故分位数位于内． 所以，即为分位数． 因为，所以没有超过该年级的学生． 【小问3详解】 由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为． ．所以当时，最小． 18. 已知的内角． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若是边上的一点，当最大时，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，坐标代入，利用半角公式化简可得，利用两角和差余弦公式展开可得，即可求解； （2）根据，结合（1），再利用基本不等式即可得到的范围，从而得到的取值范围； （3）当最大时，，然后利用正弦定理结合正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 ，， 即，， 则，即． 化简得：． 【小问2详解】 在中，． 由（1）知，且是的内角， ． 当且仅当时等号成立． ． ，当且仅当时等号成立．． 【小问3详解】 当最大时，， 由，可得， ，当与和点重合时，， 当与和点不重合时，． 在中，由正弦定理，， 即， 又，． 综上，的长的取值范围是． 19. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1）（i）因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；（ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． 【小问2详解】 由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $