湖南省沅澧共同体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题卷 第 1 页 共 4页 沅澧共同体 2025 年上学期高一年级期末考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德市第六中学 注意事项： 1.本试卷共 8页，其中试题卷 4页，答题卡 4页。满分 150分，考试时间 120分钟。答题前，考生务 必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，只上交答题卡。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知 i为虚数单位，则复数 i i   1 1 = A． i B． i C．0 D．1 2．已知向量 )2,1(a ，则向量 a的模为 A．3 B． 5 C． 3 D．5 3．在∆ ABC中，  60,1,2 ABCBCAB ，则∆ ABC的面积为 A． 2 B． 3 C． 2 3 D． 32 4．已知一个圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 24 ，则该圆锥的侧面积为 A． 224 B． 232 C． 216 D． 248 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③若一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的所有直线； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④ 6．若 A是∆ ABC的内角，且 13 17cossin  AA ，则 AA AA cos7sin5 cos4sin5   的值为 A． 19 8 B． 19 8  C． 5 16  D． 5 16 7．《算数书》竹简于 20世纪 80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系 统的数学典籍，其中记载有求“困盖”术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六 高一数学试题卷 第 2 页 共 4页 成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h计算其体积V 的近似公式 hLV 2 36 1  ， 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3．若近似公式为 hLV 2 942 25  时，相当 于将圆锥体积公式中的 近似取为 A． 8 25 B． 7 22 C． 113 355 D． 50 157 8．如图，在 ABC 中， ,3,4  ACAB 060BAC ， D是BC的中点， ABCE  ，AD与CE交于点 F ． 则 CFDcos A． 19 572 B． 19 57 C． 74 111 D． 74 1113 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作 为高考选考科目。某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理 科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件� =“选择 技术学科”，F=“选择一门理科学科”，� =“选择历史学科”，� =“选择一门文科学科”， 以下结论正确的是 A．�和 G是互斥事件但不是对立事件 B．�和�是互斥事件也是对立事件 C．� � ∪ � = � � + � � D．� � + � � = 1 10．如图，在直角梯形 ABCD中， DCABADAB 2,  ，E为 AB的中点， NM , 分别为线段DE的两个三等分点，点 P 为线段 BD上的任意一点，若 ANAMAP   ，则   的值不可能是 A． 5 B．3 C． 7 D．9 11.设 ( ) ( )f x g x、 都是定义在 ],[ ba 上的两个函数，若对于任意的 ],[ bax ，都有 ( ) ( ) 1f x g x  ， 则称 ( )f x 与 ( )g x 在 ],[ ba 上是“密接函数”， ],[ ba 称为“密接区间”．设 12)(  xxf 与 22)(  xxg 在区间 ],[ ba 上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是 A． ]1, 2 1[ B． ] 2 3,1[ C． ]2, 2 3[ D． ] 2 5,2[ 高一数学试题卷 第 3 页 共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．假设 P A =0.4 , P B =0.6，且 A与 B相互独立，则 P A ∪B = 。 13．某网购平台购买某种商品可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客 采用一次性付款的概率是 7.0 ，顾客之间采用何种方式相互之间不受影响，则 3位购买该 商品的顾客中至少有 1位采用一次性付款的概率为 。 14．如图，在菱形 ABCD中， 2AB  ， 60ABC  ，M 为 BC 的中点，将 ABM 沿直线 AM 翻折成△ 1AB M ，连接 1B C 和 1B D， N为 1B D的中点，连接CN。则在翻折过程中， 1AB 与CN的夹角为 。 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 13分） 在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程 度，举办了一场知识竞赛，满分 100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成 5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四 组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图。 （1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第 95百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者。 ①从年龄组第四组：[35，40）和第五组：[40，45] 应各抽取多少人？ ②第四组：[35，40）平均年龄 37岁，方差为 2.5， 第五组：[40，45]平均年龄 43岁，方差为 4，求 第四组和第五组的总方差。 16.（本小题满分 15分） 俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式。无人机也给人们的生产、生活带来了很 多的便捷。在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了 3款无人机， 乙公司带来了 2款无人机，丙公司带来了 1款无人机，一购货商准备从中任选 2款。 （1）用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； 高一数学试题卷 第 4 页 共 4页 （2）记事件 A=“恰有一款是甲公司的”，求事件 A发生的概率； （3）记事件 B =“没有丙公司的”，求事件 B发生的概率． 17.（本小题满分 15分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中， ABCDPD 平面 ， CDAD  ， HBDAC  ，且H为 AC 的中点，又点 E为 PC的中点， 1 CDAD , 23DB 。 （1）证明： BDEPA 平面// ； （2）证明： PBDPAC 平面平面  ； （3）求直线 BC与平面 PBD所成的角的正弦值． 18.（本小题满分 17分） Labubu 已然成为 2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻 人的精神寄托。现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的 年固定成本为 15万元，每生产 x千件需另投入 )(xc 万元。其中 )(xc 与 x之间的关系为：          * *2 ,20,950 2 22 ,200, )( Nxx x cx Nxxbxax xc ，且函数 )(xc 的图象过 )1054,82(),24,6(),9,3( CBA 三点。 通过市场分析，公司决定每千件 Labubu售价定为 12万元，且 该厂年内生产的此款玩具能全部销售完。 （1）求 cba ,, 的值，并写出年利润 )(xL （万元）关于年产量的 x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？ 并求出最大年利润． 19.（本小题满分 17分） 设 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，已知 AaBcCBa cos)sin 3 32()cos(  。 （1）求角 A； （2）若 ABC 是锐角三角形，且其外接圆的半径 2R ，求 22 cb  的取值范围． 沅澧共同体高一年级 2025 年上学期期末考试参考答案 数 学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． 76.0 13． 973.0 14． 060 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 13分) 解：（1）由频率分布直方图可知 众数的估计值为 27.5 分2 由频率分布直方图可知，第 95百分位数在第五组 ]45,40[ 内 设第 95百分位数为 x 05.002.0)40( x 解得 5.42x 分5 （2）①由频率分布直方图可知，第四组 )40,35[ 的频率为 0.2， 第五组 ]45,40[ 的频率为 0.1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B B C C C A D D 题号 9 10 11 选项 ABC ACD BC 第四组 )40,35[ 应该抽取 4202.0  人 分7 第五组 ]45,40[ 应该抽取 2201.0  人 分9 ②第四组 )40,35[ 和第五组 ]45,40[ 的平均数为 39 6 243437   分11 11])3943(4[ 3 1])3937(5.2[ 3 2 222 S 分13 16.(本小题满分 15分) 解：（1）设甲公司的 3 款无人机为 321 ,, aaa ，乙公司的 2 款无人机为 21,bb ， 丙公司的 1 款无人机为 c，则样本空间 },,,,,,,,,,,,,,{ 2121323132221232121113121 cbcbbbcababacababaaacababaaaaa 分5 （2）由已知可得 },,,,,,,,{ 323132221212111 cababacababacababaA  分7 则 5 3 15 9)( AP 分10 （3）由已知可得 },,,,,,,,,{ 21231322123221113121 bbbabababaaababaaaaaB  分12 则 3 2 15 10)( AP 分15 17. (本小题满分 15分) （1） 证明： 连结 EH ，在 PAC 中，H 为 AC 的中点， E为 PC的中点，故 PAEH // ， 又 BDEPABDEHE 平面平面  , ，所以 BDEPA 平面// 分4 （2）证明：因为 ABCDPD 平面 ， ABCDAC 平面 ，所以 ACPD  又由已知， ,CDAD  H 为 AC 的中点，则 ,BDAC  又 ,DBDPD  故 PBDAC 平面 分7 PACAC 平面 PBDPAC 平面平面  分9 （3）由 PBDAC 平面 可知， BH 为 BC在平面 PBD内的射影， 所以 CBH 为直线 BC与平面 PBD所成的角 分11 由 CDAD  , 2 25, 2 2,23,1  BHCHDHDBCDAD 可得 在 BHCRt 中，易求得 13BC 26 26sin  BC CHCBH 分31 所以直线 BC与平面 PBD所成的角的正弦值为 26 26 . 分51 18. (本小题满分 17分） 解：（1）将 )1054,82(),24,6(),9,3( CBA 三点代入，可得             950 282 82221054 63624 399 c ba ba 分2 解得：           16000 2 3 1 c b a 分4 即            * *2 ,20,950 2 1600022 ,200,2 3 1 )( Nxx x x Nxxxx xc 分6 由题意可得：            * *2 ,20,935 2 1600010 ,200,1510 3 1 15)(12)( Nxx x x Nxxxx xcxxL 分8 （2）由（1）            * *2 ,20,935 2 1600010 ,200,1510 3 1 15)(12)( Nxx x x Nxxxx xcxxL 当 200  x 时， 60)15( 3 1)( 2  xxL ， 所以当为 15x 时， )(xL 取得最大值，且最大值为60万元. 分12 当 20x 时， 915] 2 16000)2(10[935 2 1600010)(      x x x xxL 115915 2 16000)2(102    x x 当且仅当 2 16000)2(10   x x 时，即 42x 时取得等号， 此时 )(xL 取得最大值，且最大值为115万元. 分16 综上所述，当年产量为 42千件时，所获年利润最大，最大年利润为115万元. 分17 19.(本小题满分 17分） 解：（1）由已知可得 AABCCBA cos)sinsinsin 3 32()cos(sin  分2 即 ABCAACBA cossinsin 3 32cossin)cos(sin  即 ABCCBCBA cossinsin 3 32)]cos()[cos(sin  则 ABCCBA cossinsin 3 32sinsinsin2  分4 ),0(),,0(   CB 0sin,0sin  CB ),0(, 3 3tan  AA ) 6 (300 A 分6 （2）由正弦定理得 22 sinsin  C c B b CcBb sin22,sin22  )sin(sin8 2222 CBcb    CBAA , 6  分8 BBBBAC sin 2 3cos 2 1) 6 sin()sin(sin   分10 BBBBBCB cossin 2 3sin 4 3cos 4 1sinsinsin 22222  BB 2sin 4 3sin 2 3 4 1 2  BB 2sin 4 3 2 2cos1 2 3 4 1    BB 2sin 4 32cos 4 31  ) 3 2sin( 2 31  B 分13 又由已知 ABC为锐角三角形，可得 26 50, 2 0   BCB 23   B 3 2 3 2 3   B ]1, 2 3() 3 2sin(  B 分15 ] 2 31, 4 7(sinsin 22  CB ]348,14()sin(sin8 2222  CBcb 22 cb  已的取值范围为 ]348,14(  分17