湖南省常德市2026届新高三上学期起点考试数学试题

常德市2026届高三起点考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 答案 D B B D B 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求，全部选 对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC AD ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12吃 13.84 14.8186 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率 C,CC21134 P=P(X=0)+P(X=1)=C+Cg=5+5=5 ……5分 (2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以X 的可能取值为0,1,2 ……6分 P(X=0)=C亏 C1 P(X=1)=9 c3 C=5' P(X=2)= CC3_1 C8-5 9分 X 0 1 2 所以X的分布列为 ◇ 1 3 +………44444444444…4*…4…t44……444044…4…4444…4… 10分 5 5 5 所以E(X)=0×号+1×号+2×=1 11分 D(X)=0-1x号+1-1×号+(2-1)×-号 12 13分 【高三数学试题参考答案第1页（共4页）】 16.解：(1)因为5sinA-cosA-1=0,所以sim(A-石）=2 3分 又因为A∈0，x.A-若∈（若，）… 4分 所以A-分=石，故A三… 6分 (2)由余弦定理，b2十c2一2bcC0sA=a2,所以b2十c2一bc=36.…9分 又因为b2+c2>≥2bc,所以36=b2+c2-bc≥bc,即bc≤36 当且仅当b=c=6时取等号。…… 12分 所以△AC面积S=名女snA-c≤9后 所以△ABC面积的最大值为9√5.…15分 17.解：(1)由题意，设点P(x0,yw),A(-2,0),B(2,0), y,y=y8 则1·k:=r。十2‘2。-26-4 3分 又由点P(x)在椭圆上，可得+y=1,即y=4因 …………5分 y61 所以k,·k2= x-4 =一车，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值- ……7分 (说明：直接由二级结论得结果，给2分) k1=1 (2因为，十g=是k1·:= k1= 4,解得： 1 或 …9分 4k=1 (yo =1 6 x。+2 T=- 5 当k1=1,k2=- 时， ,解得 12分 yo 1 Lto-2 4 yo= 5 6 x5 同理当k1=1,k2=一 时，解得 ……13分 4 yo=- 5 所以△PAB的面积S号AB·.-号X4X号号 ……15分 18.解：(1)如图，连接MC,直线MC即为直线MN…2分 证明，取PA的中点E,连结ME,则ME∥AD,ME=2AD, BC/AD,BC=2AD,所以BC∥ME,BC=ME, 所以四边形BCME为平行四边形，所以BE∥MC, 【高三数学试题参考答案第2页（共4页）】 又因为BEC平面PAB,MC士平面PAB所以MC∥平面PAB 5分 (2)因为AB⊥AD,且AB=AD=2√2，所以BD=4, 又△PBD为正三角形，所以PB=PD=BD=4, 因为AB=22,PA=2√6，所以PA2=AB2十PB2,所以AB⊥PB…7分 因为AB⊥AD,BC∥AD,所以AB⊥BC, 又因为PB∩BC=B,PB,BCC平面PBC, 所以直线AB⊥平面PBC… 9分 又因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.……10分 (3)延长BC至E,使得CE=BC=√2，进而BE=AD,连结DE, 又BC∥AD,AB⊥AD,可知，四边形ABED为正方形，连结AE交BD于O,过点O 作Oz⊥平面ABED,以O为坐标原点，分别以OE,OD,O:所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为A,B,D,P四点在以√为半径的球面上，由球的性质可 知球心M在：轴上，设点M的坐标为(0,0，t), 所以(6)2=t2+OA2=t+22,解得t=√2，即M(0,0,√2).…13分 又△PBD为正三角形，连结OP,可知OP⊥BO, 又BO⊥AO,AO∩PO=O,AO,POC平面AOP, 进而可得BO⊥平面AOP,所以点P在坐标平面xOz内， 设点P的坐标为(m,0,n),又B(0,一2,0)， 则MP=√m+(1-2)=√6,1BP1=√m+(-2)+n=4, 解得m=2,n=2√2 所以四棱锥P一ABCD的高h=2√2.… 15分 直角梯形ABCD的面积S=AD1+BC)·AB=(2E+E)·2E=6, 所以四棱锥P-ABCD的体积V-号Sh= …6…22=42.…17分 19.解：(1)当m=2时，f(x)=21nr,f(x)=召 40004+4e0400044+0t。40…+40t+04++4004400+0400004e+000t+000。 1分 又fe)=2,所以切点为(e,2),切线斜率为k=f'(e)=2 …2分 2 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y一2= 2红e),即y= 3分 (2)因为fx)+gx)≥0对任意的r∈(，受)恒成立，即mlr十cosx≥0对任意的x∈(，受)恒成立， 3元 令h)=mlr+cosx∈(，）则M()=g …5分 【高三数学试题参考答案第3页（共4页）】 当m<0时.因为x∈(x,）,所以mlnr<0,cosx<0,所以h()<0,不合题意.…6分 当m>0时，因为x∈(，3)所以sinr<0,所以M'(x)>0. ……7分 所以A()在(x,）上单调递增， 故要使A()≥0对任意的x∈(，贸)恒成立，只需A(x)>≥0， 即mlnx十c0s元≥0，得m≥n示 所以m的取值范围为[元十0∞).…9分 (3)因为f(x)-g'x)=一si,且函数f(x与g)在点P(9,)处的切线互相垂直。 所以”.(-sinz）=-1,即msinz。=,① 又点P(x。,y。)是函数f(x)与g(x)的一个交点，所以mInzo=COSZo,② 1 联立①②消去m得x,ln,=sinc0o,即xln。一2sin2x=0.…11分 当x。∈(0,1]，因为m>0,所以mlnx。≤0，且cos.x。>0,这与②式相矛盾， 所以在(0,1门上没有x。满足题意.………13分 当xe1,+o)时，设g)=rlnr-2sin2x, 则⊙'(x)=lnx十1一cos2x>0,所以函数(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以函数0(x)在(1，十0∞)上至多有一个零点.……15分 因为ga)=lnl-7sin2=-2in2<0.9(侵）-2ln至-2simx=n>0, 因为函数(x)的图象在(1，十∞)连续不断，所以函数9(x)在(1，十∞)上有唯一一个零点， 即存在唯一的x,∈1，十∞).使得xln。-in2x,=0成立，且x,∈(1,2）， 综上所述：存在唯一的工，满足题意，且，∈(1，）】 …17分 【高三数学试题参考答案第4页（共4页）】【高三数学试题　第１　 页(共４页)】 机密★启用前 常德市２０２６届高三起点考试试题卷 数　学 命题人 注意事项: １．本试卷共６页,其中试题卷４页,答题卡２页.满分１５０分,考试时间１２０分钟.答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. ２．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. ３．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的． １．已知集合A＝{x∈N|(x－１)(x－３)≤０},B＝{x|－３≤x≤３},则A∩B＝ A．∅ B．[１,３] C．{１,３} D．{１,２,３} ２．若复数z＝(１－i)(１＋２i)(其中i为虚数单位),则|z|＝ A．２ B．２ C．１０ D．１０ ３．已知等差数列{an}的首项为１,公差为２,前n项和为Sn,则a３＋S５＝ A．１４ B．３０ C．４２ D．６０ ４．双曲线 x２ a２－ y２ b２＝１ (a＞０,b＞０)的一条渐近线与直线x＋２y＋１＝０垂直,则双曲线的离心率为 A． ５ ２ B．５ C． ３ ２ D．３ ５．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示,则 A．－３是函数y＝f(x)的一个零点 B．－１是函数y＝f(x)的极小值点 C．－２是函数y＝f(x)的极大值点 D．函数y＝f(x)在区间(－３,１)上单调递增 【高三数学试题　第２　 页(共４页)】 ６．将一枚质地均匀的硬币连掷三次,事件“恰出现１次反面朝上”的概率记为p,现采用随机模拟 的方法估计p 的值:用计算机产生了２０组随机数,其中出现“０”表示反面朝上,出现“１”表示正 面朝上,结果如下,若出现“恰有１次反面朝上”的频率记为f,则|p－f|＝ １１１　００１　０１１　０１０　０００　１１１　１１０　１１１　１０１　０１０ ０００　１０１　０１１　０１０　００１　０１１　１００　１０１　００１　０１１ A． １ ２０ B． １ ４０ C． １ ８０ D．０ ７．已知sin(α＋β)＝ １ ３ ,tanα＝３sinβcosβ ,则sin(α－β)＝ A．－ １ ６ B．－ ２ ３ C． １ ６ D． ２ ３ ８．将６名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,学 生A 不安排到甲地且与学生B 不安排到同一个地方,则不同的安排方案的种数为 A．２６０ B．２８０ C．３６０ D．３９０ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对得６分,部分选对得部分分,选错得０分． ９．下列说法中不正确的是 A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 １０．下列函数既是偶函数,又在(０,＋∞)上单调递增的是 A．y＝x２ B．y＝x２ln|x| C．y＝xsinx D．y＝x２e|x| １１．已知随机事件A,B,C 发生的概率满足P(A)＝P(B)＝P(C)＝１３ ,P(A∪B)＝５９ ,且事件A 与C 互斥,则下列说法正确的是 A．P(AC)＝１３ B．A 与B 相互独立 C．P(ABC)＝１２７ D．若B 与C 相互独立,则P((A∪C)|B)＝２３ 【高三数学试题　第３　 页(共４页)】 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知向量a,b满足|a|＝|b|＝２,|a＋b|＝３,则a􀅰b＝　　　　． １３．二项式(１＋２x)７ 的展开式中,含x２ 项的系数是　　　　．(用数字作答) １４．某种食品的袋装质量X 服从正态分布N(４００,１６),随机抽取１００００袋,则袋装质量在区间 (３９６,４０８]的约有　　　　袋．(质量单位:g) 附:若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ２),则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈０．６８２７, P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４５,P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７３． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)从４名男生和２名女生中任选３人参加演讲比赛,设随机变量X 表示所选３人中女生 的人数,求: (１)“所选３人中女生人数X≤１”的概率; (２)X 的分布列、均值与方差． １６．(１５分)在△ABC 中,已知a,b,c分别为三个内角A,B,C 的对边,且 ３sinA－cosA－１＝０． (１)求角A; (２)若a＝６,求△ABC 面积的最大值． １７．(１５分)已知椭圆C:x ２ ４＋y ２＝１,A、B 是椭圆C 的左、右顶点,点P 是椭圆上的任意一点(不与 A,B 重合),直线PA 与直线PB 的斜率分别为k１,k２． (１)证明:直线PA 与直线PB 的斜率之积k１k２ 为定值; (２)若k１＋k２＝ ３ ４ ,求△PAB 的面积． 【高三数学试题　第４　 页(共４页)】 １８．(１７分)如图,四棱锥P－ABCD 中,△PBD 为正三角形,AB＝AD＝２BC＝２ ２,BC∥AD, AB⊥AD,M 为线段PD 的中点． (１)在平面PCD 内,过点M 作平面PAB 的平行线MN,并证明; (２)若PA＝２６,证明:平面PAB⊥平面PBC; (３)若A,B,D,P 四点在以 ６为半径的球面上,求四棱锥P－ABCD 的体积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １９．(１７分)设函数f(x)＝mlnx(m∈R),g(x)＝cosx． (１)当m＝２时,求曲线y＝f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (２)若对任意的x∈ (π, ３π ２ ) ,不等式f(x)＋g(x)≥０恒成立,求m 的取值范围; (３)设m＞０,点P(x０,y０)是函数f(x)与g(x)的一个交点,且函数f(x)与g(x)在点P 处的 切线互相垂直,求证:存在唯一的x０ 满足题意,且x０∈ (１, π ２) ．