精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学南校区2024-2025学年下学期期中考试数学试卷

银川市唐徕中学2024～2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 命题人： 张雪 审核人： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2025年春晚上机器人扭秧歌的节目，让观众在欣赏美的同时，感受到了科技所带来的无限可能．下列人工智能图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意 故选：D． 2. 如果，那么下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由已知，两边同时乘以2（正数），不等式方向不变，得，再两边减1，得，故A正确，选项不符合题意； 选项B：由，两边同时乘以（负数），不等式方向应改变，得，显然错误，选项符合题意； 选项C：由，左边减1得，右边加1得．因为（恒成立），故C正确，选项不符合题意； 选项D：由，两边同时乘以（负数），不等式方向应改变，得，故D正确，选项不符合题意； 故选：B 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【分析】解：A选项：左边为多项式，右边为，即两个的乘积，符合因式分解的定义． B选项：左边为单项式，右边为，因式分解对象应为多项式，故不符合． C选项：左边为的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，与因式分解方向相反． D选项：右边为，是乘积与单项式的和，未完全化为积的形式，不符合要求． 故选：A． 4. 已知不等式组，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则不等式组的解集为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 5. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）  A. 3   B. 4   C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为16，，则的周长为（    ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，根据题意求出，线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为16， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. 2， B. 4， C. 1， D. 3， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平移和旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是关键．根据旋转的性质和平移的性质得到是等边三角形，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60° 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 等腰三角形的三边长为3，a，7，则它的周长是______． 【答案】17 【解析】 【详解】分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题解析：当腰为7时，a=7,周长=7+7+3=17； 当腰长为3时，a=3,根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为7，这个三角形的周长是17， 故答案为17 10. 用反证法证明：“若，则”，应先假设____________ 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法的第一步应先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设若，则， 故答案为：若，则． 11. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用提公因式法即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离米，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为米／秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为________秒． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题是关键． 求出自动扶梯长度，再利用路程=速度时间即可求得答案． 【详解】解：由题意得：扶梯长为（米）， 所以顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（秒）， 故答案为：20． 13. 关于的不等式组 恰有3个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是：． 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 15. 某品牌手写板的进价为220元，商店以340元的价格出售．五一假期期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该手写板最多可降价________元． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x元； 由题意可得，， 解得：； 答：该护眼灯最多可降价65元． 故答案为：65． 16. 如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于__________． 【答案】ab 【解析】 【分析】根据平移的性质得出ADb，再利用平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】由题意可得：FD=CA=b，BC=EF=a，∴，∴四边形DEBA的面积等于AD•EF． 故答案为． 【点睛】本题考查了平移的性质，关键是根据平移的性质得出ADb． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）无解； 将两边不等式的解集表示在数轴上，如图所示： （2）； 将解集表示在数轴上，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴此不等式组无解． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 先因式分解，再计算求值．，其中． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，代入求值，掌握提取公因式法因式分解是关键，根据题意，先提取公因式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 下面是小明解不等式的过程，对照答案后他发现自己做错了 解不等式 解：去分母，得，……第①步 去括号，得，……第②步 移项，得，……第③步 合并同类项，得，……第④步 根据过程回答问题 （1）小明解题过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 （2）请写出该不等式正确的解题过程： 【答案】（1）①，去分母漏乘没有分母的项 （2）， 去分母，得，……第①步 去括号，得，……第②步 移项，得，……第③步 合并同类项，得，……第④步 系数化为1得，， 【解析】 【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键． （1）根据一元一次不等式的解法进行判断即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解答即可． 【小问1详解】 解：小明解题过程中第①和第③步出现错误，错误的原因是移项时原位置的项变号了，去分母漏乘没有分母的项， 故答案为：①，去分母漏乘没有分母的项． 【小问2详解】 略 20. 如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据∠ADE=∠B=60°，DE=1，可求出AD的长，即可得到AC和BC的长，从而求出三角形的面积． 【详解】∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴AD=2DE=2， ∴AC=AD+CD=4， 设BC=x，则AB=2x， 由勾股定理得，， 解得，x=，即BC=， 则Rt△ABC的面积=×BC×AC= 【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的知识，难度不大，注意掌握含30°角的直角三角形的性质是关键． 21. 作图： 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出向下平移3个单位后的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）连接，请直接写出的长为 ． （4）计算的面积． 【答案】（1） 即为所求． （2） 即为所求． （3） （4）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查平移，中心对称，勾股定理，求格点三角形的面积，解题的关键是正确理解题意，按要求作图，由网格得出线段的长度． （1）按要求找到平移后顶点的位置，依次连接即可； （2）画出顶点关于点的对称点，依次连接即可； （3）连接，根据勾股定理计算即可； （4）由网格可得的底和高，代入面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，将点向下平移个单位至点，将点向下平移个单位至点，将点向下平移个单位至点，用线段依次连接， 【小问2详解】 解：如图，分别画出点、、关于点的对称点、、，用线段依次连接， 【小问3详解】 解：如图，， 故答案为：． 【小问4详解】 解：， 答：的面积为． 22. 如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）先求得，再求得，然后利用等角对等边可得答案； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用等边三角形的性质，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23. 枸杞是宁夏的名优特产，某超市销售两种品牌的枸杞，若购买9盒A种枸杞和6盒B种枸杞共需390元；若购买5盒A种枸杞和8盒B种枸杞共需310元． （1）A种枸杞、B种枸杞每盒价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种枸杞共30盒，且A种的数量至少比B种的数量多5盒，又不超过种的2倍，共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）A种枸杞每盒价格30元，B种枸杞每盒价格20元 （2）共有3种购买方案 （3）购买A种枸杞18盒，B种枸杞 12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设A种枸杞每盒价格元，B种枸杞每盒价格元，根据“购买9盒A种枸杞和6盒B种枸杞共需390元；若购买5盒A种枸杞和8盒B种枸杞共需310元” 建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买A种枸杞盒，则购买B种枸杞盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，即可求解； （3）根据（1）（2）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【小问1详解】 解：设A种枸杞每盒价格元，B种枸杞每盒价格元， 由题意可得：， 解得：， 答：A种枸杞每盒价格30元，B种枸杞每盒价格20元． 【小问2详解】 解：设购买A种枸杞盒，则购买B种枸杞盒， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20，则共有三种购买方案； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得，①当，时，购买总费用为： （元）， ②当，时，购买总费用为： （元）， ③当，时，购买总费用为： （元）， 所以购买A种枸杞18盒，B种枸杞 12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． （1）求直线的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集； （3）若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先计算，结合，求直线的解析式即可； （2）利用交点的横坐标，数形结合扇形直接写出答案即可； （3）设点，根据，得到，建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，数形结合求不等式的解集，根据面积求点的坐标，熟练掌握待定系数法，一次函数与不等式的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：直线与直线 ： 交于点A，点A的横坐标为3． 故 故点， 又点， 故 解得， 故直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据直线的交点点， 故关于的不等式的解集为． 【小问3详解】 解：根据直线的解析式为， 得，解得， 故， 故； 由， 故， 故， 设点， 则， 解得或， 故或． 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学2024～2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 命题人： 张雪 审核人： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2025年春晚上机器人扭秧歌的节目，让观众在欣赏美的同时，感受到了科技所带来的无限可能．下列人工智能图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式组，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）  A. 3   B. 4   C. 2 D. 1 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为16，，则的周长为（    ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 16 8. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. 2， B. 4， C. 1， D. 3， 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 等腰三角形的三边长为3，a，7，则它的周长是______． 10. 用反证法证明：“若，则”，应先假设____________ 11. 分解因式： ________． 12. 如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离米，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为米／秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为________秒． 13. 关于的不等式组 恰有3个整数解，则的取值范围是_________． 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 15. 某品牌手写板的进价为220元，商店以340元的价格出售．五一假期期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该手写板最多可降价________元． 16. 如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于__________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 18. 先因式分解，再计算求值．，其中． 19. 下面是小明解不等式的过程，对照答案后他发现自己做错了 解不等式 解：去分母，得，……第①步 去括号，得，……第②步 移项，得，……第③步 合并同类项，得，……第④步 根据过程回答问题 （1）小明解题过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 （2）请写出该不等式正确的解题过程： 20. 如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积． 21. 作图： 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出向下平移3个单位后的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）连接，请直接写出的长为 ． （4）计算的面积． 22. 如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 23. 枸杞是宁夏的名优特产，某超市销售两种品牌的枸杞，若购买9盒A种枸杞和6盒B种枸杞共需390元；若购买5盒A种枸杞和8盒B种枸杞共需310元． （1）A种枸杞、B种枸杞每盒价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种枸杞共30盒，且A种的数量至少比B种的数量多5盒，又不超过种的2倍，共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． （1）求直线的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集； （3）若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $