精品解析：安徽省安庆市江淮协作区2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于样本相关系数，下列说法正确的是（   ） A. 样本相关系数 B. 当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C. 两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D. 两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 【答案】A 【解析】 【详解】根据相关系数，可知A正确； 时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误； 越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误； 对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近，故D错误. 故选：A. 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布对称性可得，从而求出答案. 【详解】由对称性可知， 故. 故选：A 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 5. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，由可得，然后可得即可. 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 6. 江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（   ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，再根据分组分配原理及部分平均分配问题可得不同选法. 【详解】根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1， 所以不同的选法有种. 故选：B. 7. 已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 8. 已知事件，满足，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案. 【详解】由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（   ） A. B. 若，则 C. 若，则的值与无关 D. 若是两点分布，则当时，最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由随机变量期望的线性运算可知A正确；由正态分布的意义可知可判断B；由二项分布期望与方差公式可判断C；由两点分布的方差公式，结合二次函数的最值可判断D. 【详解】根据期望线性运算，，故A正确； 由，，故B错误； 由，，则，故C正确； 因为是两点分布，所以， 则当时，最大，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，，从而得到平面，因为平面，所以总成立；B选项，当E向运动时，平面与平面的夹角不变；C选项，建立空间直角坐标系，设，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，从而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D选项，利用体积公式求出三棱锥的体积为定值. 【详解】对于A，连接，，， 因为四边形为正方形，故， 又⊥平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面 因为平面， 所以，同理可证. 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以总成立，故A正确. 对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面， 所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误. 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 因为E，F在上，且， 故可设，，，则， 由题知平面ABC的一个法向量为， 设平面ABE的一个法向量为， 则，解得， 取，则，故， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 又，所以当时，取得最大值， 取得最小值，故C正确； 对于D，因为， 点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为， 所以，为定值，故D正确. 故选：ACD 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当时，使得要13步“雹程” C. 当时， D. 若，则的取值有6个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由数列的周期性可得；根据数列递推关系推导即可判断B；根据推导可得前10项为等比数列，，利用等比数列求和即可判断C；对于D，根据数列进行逆向推导即可取等的情况. 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据均值点过回归方程，求出代入计算即可. 【详解】根据题意， 所以，解得. 故答案：5. 13. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先对求导，得到，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得到，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则可化简为：， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令和即可求解. 【小问1详解】 由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. 【小问2详解】 由题可得令，则， 令，则， 所以. 16. 已知单调递增数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【小问1详解】 ，即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. 【小问2详解】 ， ， ， , 解得. 17. 2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. （1）求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分别计算出三位同学仅通过第一个环节概率，再根据相互独立事件的概率求恰好两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）分别计算出三位同学进入决赛的概率，然后分析随机变量可能的取值及相应概率，即可求出随机变量的分布列，最后利用数学期望计算公式求解期望即可. 【小问1详解】 三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； 【小问2详解】 记三位同学进入决赛分别为事件，则， ，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； （3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由焦点在直线上，令，解得， 由过点，则，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 【小问3详解】 由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，， 则，消去可得， 则（*），且， 可得，解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于轴， 则设的方程：，，， 则，消去可得， 由，则，， 可得. 因为，则，即， ,∴ 所以直线方程为：， 所以直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. 【小问1详解】 由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， ①当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ②当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于样本相关系数，下列说法正确的是（   ） A. 样本相关系数 B. 当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C. 两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D. 两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A B. C. D. 2 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 6. 江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（   ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 7. 已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8 已知事件，满足，，，则（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（   ） A. B. 若，则 C. 若，则的值与无关 D. 若是两点分布，则当时，最大 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B 当时，使得要13步“雹程” C. 当时， D. 若，则的取值有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到线性回归方程为，则的值为_____. 13. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 16. 已知单调递增数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. （1）求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$