精品解析：安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

2023--2024高二第二学期期末质量检测试卷 试题范围： 高中数学选修一、二、三册 （侧重二、三册） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（   ）（） A. 50天 B. 61天 C. 86天 D. 88天 2. 等差数列的首项，且，则（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 3. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A 36 B. 72 C. 216 D. 256 4. 如图，在正四面体中，取中点，连接，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 6. 在6道试题中有4道概率题和2道导数题，若每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第一次抽到概率题的条件下，第二次抽到导数题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，下列关于四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 8. 已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D. 若（为坐标原点）四点共圆，则 10. 假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 函数的一条切线平分圆，则该切线的方程为_________________. 13. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 14. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和，且满足. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面. （1）若，求； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 18. 为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数； （2）假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？ 附： 01 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 19. 已知函数，其中. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024高二第二学期期末质量检测试卷 试题范围： 高中数学选修一、二、三册 （侧重二、三册） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（   ）（） A. 50天 B. 61天 C. 86天 D. 88天 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ， 故选：B 2. 等差数列的首项，且，则（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式，把转化成d的等式解出d，然后求出. 【详解】因为是等差数列， 所以, 又， 所以，解得, 所以， 故选:B. 3. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A. 36 B. 72 C. 216 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求总的方法数. 【详解】第一步：将3名心理健康专家分到3个不同的接待点服务每个接待点至少有1名心理健康专家有种方法， 第二步：先将4名志愿者分成三个组有种分法，再将三个组分到三个不同的接待点服务有， 故将4名愿者分到三个不同的接待点服务，每个服务点至少1名志愿者有 故总的分法数有. 故选：C. 4. 如图，在正四面体中，取中点，连接，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取为中点，连接，利用中位线可得 直线与直线夹角为，在正四面体中，计算的边长，利用余弦定理计算夹角的余弦值； 【详解】取为中点，连接 因为是中点，所以 在正四面体中,是等边三角形， 则直线与直线夹角为, 在中， 因此直线与直线夹角的余弦值 故选：C. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理，组合知识进行求解. 【详解】从的6个因式中，其中2个因式选择，2个因式选择，剩余2个选择1， 故展开式中的系数为. 故选：D 6. 在6道试题中有4道概率题和2道导数题，若每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第一次抽到概率题的条件下，第二次抽到导数题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件“第一次抽到概率题”，事件“第二次抽到导数题”， 则， 所以第一次抽到概率题的条件下，第二次抽到导数题的概率为. 故选：A. 7. 已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题. 【详解】对于A，因为，求导得， 当或时，，当时，， 故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，当时，， 结合A选项得函数的最小值为0，故B正确； 对于C， 当时，，则的图像如下所示： 如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确； 对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确. 故选：D. 8. 已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 【详解】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D. 若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称性判断直线过圆心，即可判断A，将直线的方程整理为，即可说明直线所故定点，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，根据弦长公式判断B，根据圆系方程，可判断C，根据几何关系，设出过四点的圆的方程，再求过圆和圆的交点的直线的方程，代入定点，即可判断D. 【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 10. 假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对立事件概率求解判断A选项，应用古典概型计算判断B选项，条件概率计算判断C选项，应用相互独立事件概率乘积公式判断D选项. 【详解】，故A正确. ， 所以，故B错误，C正确. 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，为奇函数，进而计算可求得，的周期，对称中心，进而可判断每个选项的正确性. 【详解】对于A：因为为奇函数，则， 令，则可得，所以，故A正确； 对于B：因为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，可得， 所以， 由，两边求导数可得， 即，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D：因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，可得， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 函数的一条切线平分圆，则该切线的方程为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标，依题意该切线过圆心，设切点为，利用导数几何意义表示出切线方程，即可求出的值，从而求出切线方程. 【详解】圆的圆心坐标为， 依题意该切线过圆心， 由，则，设切点为， 则， 所以切线方程为， 又，整理得， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以关于的方程有且仅有一个解， 所以切点为，切线的斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解. 【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意； 当a为正奇数时，则当时，恒成立， 因此只需研究时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 令，，则， 令，得，即， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则上单调递增， 所以函数在上取得最小值， 要使时，恒成立，则， 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1， 综上所述，a的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题求解参数的关键：一是对参数a分为正偶数和正奇数两部分讨论；二是当a是正奇数时，需要分离参数构造新函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求解最值即可. 14. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和，且满足. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用由求判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式解出结果； （2）由第一问已知，根据题意求的，在计算的最小值； 【小问1详解】 因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 【小问2详解】 记数列的前项乘积为， 所以，由（1）可知 则 令，开口向上且对称轴为， 所以或8时，取最小值且最小值为. 所以的最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面. （1）若，求； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）0 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平面，所以，可得的值； （2）利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 由平面，平面， . ，且平面， 所以平面. 而平面，. 四边形是正方形，与重合， . 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设为平面的法向量， 则，即， 可取. 设为直线与平面所成的角， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率、椭圆过点和椭圆关系可求得，由此得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立后可得韦达定理的形式，由，有，即可解得，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和，由，即，代入即可求得结果. 【小问1详解】 设椭圆半焦距为，由得，， 过点，，又， 联立，解得，，， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设为， 又直线过点则直线的方程为， 设，，由得， 由，得， ， 又，有，即， 整理得， 所以，解得，满足， 又因为，点到直线的距离， 则， 即， 代入得，， 故的面积为. 【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积（或最值，或取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出（求出）所求三角形的面积； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）. 18. 为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数； （2）假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），49.8 （2）（i）；（ii）300 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出的值，再利用频率分布直方图计算平均数公式计算平均数即可； （2）（i）解法一：利用条件概率和全概率公式求解，解法二：由列联表利用古典概型的概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【小问1详解】 ，解得， 所以每天体育锻炼时间的平均数为. 【小问2详解】 （i）解法1：（概率性质） 由频率分布直方图可知，所以， 因为，所以，， 所以，解得. 解法2：（古典概型） 由频率直方图可知，由列联表： 合计 合计 可知，解得， 所以. （ii）由（2）可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以，解得 所以取最小值15， 所以该样本至少有人. 19. 已知函数，其中. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数再探讨函数的单调性即可得解. （2）求出函数的导数，结合（1）的信息按，分类讨论的单调性即可求得答案. 【小问1详解】 函数，求导得， 设，则. 而，则当时，，函数在上单调递减， 于是，所以函数在上单调递减. 【小问2详解】 函数，求导得， 若，由（1）知在上恒成立，从而在内无极值点，不符合题意； 若，设，则，且， 设，则在上恒成立，因此在上单调递减， 若，即，则在上恒成立，因此在上单调递增， 则在上恒成立，从而单调递增，无极值点，不符合题意； 若，即，则在上存在零点，且在上单调递增，在上单调递减， 又，所以要使有极值点，必须有，即， 从而的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$