第2章 实数能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第2章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 2．下列实数中，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．负数没有平方根 C．的立方根是 D．的平方根为 4．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 5．把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（    ） A． B．2 C． D． 6．若，则的平方根是（  ） A．9 B． C．3 D． 7．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 8．如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 12．比较大小：3 ．（填“”“”或“”） 13．已知（为正整数），则 ． 14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为 ． 15．若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算． (1)； (2)． 18．（8分）（1）解方程：； （2）解方程：． 19．（8分）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 20．（8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 21．（10分）有两个正方形纸片，它们的面积分别为6和3，将两个正方形的一条边恰好落在数轴上，且两个正方形落在数轴上的这一边有一顶点都与原点重合，另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处（如图所示）． (1)点A，点B在数轴上表示的实数分别为 ， ； (2)小红想用面积为6的正方形纸片裁出一块面积为4的长方形纸片，且长方形的长与宽的比为，小红能裁出符合条件的长方形纸片吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：；；） 22．（10分）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________. (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值. 23．（10分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 24．（10分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的，解答即可． 本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 2．下列实数中，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】选项A：0是整数，属于有理数． 选项B：是分数，可表示为两个整数之比，属于有理数． 选项C：2025π中，π是无理数，非零有理数2025与无理数相乘仍为无理数，因此是无理数． 选项D：的结果为，是整数，属于有理数． 综上，只有选项C为无理数． 故选C． 3．下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．负数没有平方根 C．的立方根是 D．的平方根为 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念逐项分析即可． 【详解】A．因为，故均为9的平方根，选项A正确． B．在实数范围内，任何数的平方均为非负数，因此负数没有平方根，选项B正确． C．因为，故的立方根是，选项C正确． D．首先计算，再求4的平方根．根据平方根的定义，4的平方根应为，而非，故选项D错误． 故选D． 4．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 5．把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 根据“左减右加”计算即可． 【详解】解：数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是， 故选：D． 6．若，则的平方根是（  ） A．9 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义、非负数的性质，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为0时，各自必须为0，由此可解出和的值，再求的平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：D． 7．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形的边长的取值范围，据此判断即可． 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 8．如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 9．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 10．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算和无理式的整数和小数部分，熟练掌握二次根式的估算是解答本题的关键．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求，进而求，最后把、的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 则 ， ， ， ． 故选：D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的意义可得；根据立方根的意义可得，进而得出结果．掌握算术平方根和立方根的定义是关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 12．比较大小：3 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的大小估算，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．已知（为正整数），则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数大小的估算．熟练掌握无理数上下相邻的有理数（整数），是解题的关键． 根据与10相邻的上下两个整数是9和16，可得与相邻的两个整数是3和4，即得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出长方形内两个相邻的正方形的边长，然后将两阴影部分合并为一个长方形，再计算长方形的长与宽，即可求得答案． 【详解】解：长方形内两个相邻的正方形的面积分别为4和8， 大正方形的边长为，小正方形的边长为2， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 15．若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值的性质，实数的运算法则，理解相关知识是解答关键． （1）根据算术平方根，、立方根、实数加减法的运算法则来求解； （2）根据立方根、算术平方根，绝对值的性质、实数的运算法则来进行计算求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了利用平方根立方根的定义求方程的解，准确掌握相关计算方法为解题关键． （1）利用立方根的定义求解方程即可； （2）利用平方根的定义求解方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 或， 或． 19．（8分）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 20．（8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，求出的值即可； （2）将（1）中结果代入代数式，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 21．（10分）有两个正方形纸片，它们的面积分别为6和3，将两个正方形的一条边恰好落在数轴上，且两个正方形落在数轴上的这一边有一顶点都与原点重合，另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处（如图所示）． (1)点A，点B在数轴上表示的实数分别为 ， ； (2)小红想用面积为6的正方形纸片裁出一块面积为4的长方形纸片，且长方形的长与宽的比为，小红能裁出符合条件的长方形纸片吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：；；） 【答案】(1)， (2)他不能裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为6和3的正方形纸片，得边长为，，再运用数形结合思想，即可作答； （2）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为6和3的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为6和3的正方形纸片的边长为，， ∴，， ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为4的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， 依题意，面积为6的正方形纸片的边长为， ∴， ∴， ∴他不能裁出来． 22．（10分）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________. (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值. 【答案】(1)数部分是2，小数部分是 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题的关键． （1）根据题目中的解法可得到取值范围，进而得到结果； （2）根据题意得到小数部分以及整数部分，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是：； （2）解：， ， 的小数部分为：， ， ， 的整数部分为：， ． 23．（10分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根的应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； （2）如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 24．（10分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：① ，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$