专题1.7 有理数的混合运算（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题1.7 有理数的混合运算 教学目标 1. 了解有理数的混合运算的概念； 2. 掌握有理数的混合运算； 3. 知道有理数混合运算的应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道有理数混合运算顺序； （2）掌握一些常用简便运算的方法； （3）有理数的混合运算的应用。 2.难点 （1）含参数的有理数的混合运算；分类讨论思想； （2）有理数混合运算有关的新定义题、材料阅读题等。 知识点1 有理数的混合运算 观察 下面的算式中有哪几种运算? 4+30÷3³× -2 上面这个算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【即学即练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．请你利用加减乘除将数字，，，连接起来使得运算的结果为： （数字的顺序由你自己来定） 5．“”表示一种新运算，它的意义是，则 ． 题型01 有理数的混合运算 【典例1】．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 题型02 辨析有理数的混合运算 【典例1】．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【变式1】．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 利用倒数思想进行简便运算 【典例1】．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式1】．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 题型04 有理数的简便运算 【典例1】．计算： 【变式1】．计算： 【变式2】．计算： 【变式3】．已知；；；则 ． 【变式4】．已知：则（　　） A． B． C． D． 题型05 含参数的有理数的混合运算 【典例1】．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【变式1】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 题型06 根据数轴判断有理数运算结果的符号 【典例1】．有理数在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，A、B两点在数轴上表示的数为a、b，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 题型07 有理数的混合运算的实际应用 【典例1】．一列火车通过米的桥需要秒，以同样的速度穿过米的隧道需要秒．这列火车的速度和车身长各是多少？（   ） A．米/秒，米 B．米/秒，米 C．米/秒，米 D．米/秒，米 【变式1】．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（   ） A．91 B．336 C．510 D．853 【变式2】．食堂有200千克大米，第一天用去，第二天用去剩下的，两天一共用去大米（   ）千克． A．72 B．80 C．125 D．120 【变式3】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【变式4】．甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 题型08 程序框图 【典例1】．按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是（    ） A．11 B．20 C．31 D．44 【变式1】．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（    ）    A．132 B．108 C．117 D．102 题型09 算“24点” 【典例1】．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【变式1】．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【变式2】．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 【变式3】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 题型10 有理数混合运算的其他应用 【典例1】．如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【变式1】．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 题型11 新定义、材料、规律题 【典例1】．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 【变式1】．已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 【变式2】．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【变式3】．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小明做了下列3道计算题： ①，②，③．其中正确的有（　　　） A．0道 B．1道 C．2道 D．3道 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D．-4或4 5．计算的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为，，，则下列结论中，正确的有（） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．计算： ． 8．如果为奇数，那么计算 ． 9．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 10．按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 11．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了次后容器内剩余的水量是 ． 12．对于任意有理数，，定义新运算“”：，例如，则的值为 ． 13．某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠．某人两次购物分别付款198元和423元，如果他合起来一次购买同样的商品，那么他可节约 元． 14．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 三、解答题 15．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．计算：． 17．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 18．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，则乘积的最小值为__________； (2)从中取出4张卡片，将卡片上的4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子． 19．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 20．概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 有理数的混合运算 教学目标 1. 了解有理数的混合运算的概念； 2. 掌握有理数的混合运算； 3. 知道有理数混合运算的应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道有理数混合运算顺序； （2）掌握一些常用简便运算的方法； （3）有理数的混合运算的应用。 2.难点 （1）含参数的有理数的混合运算；分类讨论思想； （2）有理数混合运算有关的新定义题、材料阅读题等。 知识点1 有理数的混合运算 观察 下面的算式中有哪几种运算? 4+30÷3³× -2 上面这个算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【即学即练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2．计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．请你利用加减乘除将数字，，，连接起来使得运算的结果为： （数字的顺序由你自己来定） 【答案】 【分析】根据有理数的运算法则求解即可． 【详解】根据题意可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，牢记有理数加减乘除的运算法则是解题的关键． 5．“”表示一种新运算，它的意义是，则 ． 【答案】11 【分析】根据，用与4的积的相反数减去它们的和，求出的值是多少即可．此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解：， ． 故答案为：11． 题型01 有理数的混合运算 【典例1】．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行简便计算； （2）根据分配律进行计算； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)29 (3)41 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先算算乘除法，再计算加减； （2）先算乘方，再算除法化为乘法，再乘法，最后计算加法； （3）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法； （4）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （5）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （6）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：∵ ， ∴． （5）解： ． （6）解： ． 题型02 辨析有理数的混合运算 【典例1】．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 【变式1】．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．利用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，则选项A不符合题意； ，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 题型03 利用倒数思想进行简便运算 【典例1】．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【变式1】．若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选A. 题型04 有理数的简便运算 【典例1】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分数的四则混合运算；根据分数的四则混合运算法则和简便运算结合进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算： 【答案】184 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和简便方法结合进行计算即可． 【详解】解： 【变式2】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算；把原式整理成，进行简便运算即可． 【详解】解： ， ． 【变式3】．已知；；；则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据裂项相加法进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式4】．已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 题型05 含参数的有理数的混合运算 【典例1】．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义，得到，绝对值的意义，得到，然后根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵， ∴或； 故答案为：或． 【变式1】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【详解】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 题型06 根据数轴判断有理数运算结果的符号 【典例1】．有理数在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算法则．根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，，． 四个选项只有选项A符合题意． 故选∶A． 【变式1】．如图，A、B两点在数轴上表示的数为a、b，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，根据数轴得到是解题的关键． 根据A、B两点在数轴上表示的数为a、b，可得，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴，选项A不正确；，选项B不正确；，选项C正确；，选项D不正确． 故选：C． 【变式2】．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，先根据在数轴上的位置判断出的取值范围，再比较出各数的大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，故正确； 由数轴可知：，， ∴，故正确； 由数轴可知：， ∴，， ∴，故错误； 由数轴可知：， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上可知：正确，共个正确， 故选：． 题型07 有理数的混合运算的实际应用 【典例1】．一列火车通过米的桥需要秒，以同样的速度穿过米的隧道需要秒．这列火车的速度和车身长各是多少？（   ） A．米/秒，米 B．米/秒，米 C．米/秒，米 D．米/秒，米 【答案】D 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，火车的速度为米/秒， ∴车身长为米， 故选：． 【变式1】．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（   ） A．91 B．336 C．510 D．853 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可． 【详解】解：（天）， 所以孩子自出生后的天数是853天． 故选D． 【变式2】．食堂有200千克大米，第一天用去，第二天用去剩下的，两天一共用去大米（   ）千克． A．72 B．80 C．125 D．120 【答案】A 【分析】本题是百分数乘法应用首先把原有大米的质量（200千克）看作单位“1”，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出第一天用了多少千克，再把剩下的看作单位“1”，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出第，二天用了多少千克，然后把两天用的合并起来即可． 【详解】解： （千克）， 答：两天一共用去大米72千克． 故选：A． 【变式3】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【详解】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 【变式4】．甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 【答案】丙在仓库做了4.5小时 【分析】本题考查工作效率，工作时间，工作质量之间的关系，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是，丙在仓库比仓库少做（小时），再根据和差问题的解法即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （小时）， 故丙在仓库做了4.5小时． 题型08 程序框图 【典例1】．按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是（    ） A．11 B．20 C．31 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，根据流程图列出算式是解题的关键．根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：若开始输入的值为， ∴ ∴ ∴ ∴最终输出的结果是11． 故选：A． 【变式1】．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 【变式2】．如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对程序设计的理解和有理数的运算顺序，再代入计算求值即可． 【详解】解：根据题意可知，开始输入a的值为1， ∴； ∴输出的结果为． 故选：A． 【变式3】．一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（    ）    A．132 B．108 C．117 D．102 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，将代入程序中，可得，继续代入计算，再次代入，求出结果即可． 【详解】解：， ， ． 所以，最终输出的结果是102． 故选：D． 题型09 算“24点” 【典例1】．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 【变式1】．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取同号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取异号的两个数，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （3）根据有理数的四种混合运算，求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的乘积最大， 此时，； 故答案为：； （2）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的商最小， 此时，； 故答案为：； （3）解：选择卡片：， 列式得： ， 故答案为： （答案不唯一）． 【变式3】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 题型10 有理数混合运算的其他应用 【典例1】．如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和是解题关键．先求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为2，再求出横上的第四个数，然后求出的值，由此即可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为， ∴横上的第四个数是， ∴， ∴或， ∴或， 故选：B． 【变式1】．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了有理数的混合运算．根据题意得到“”表示的二进制数为，再转化为十进制数即可． 【详解】 解：“”表示的二进制数为，转化为十进制数是． 故选：B 题型11 新定义、材料、规律题 【典例1】．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题关键是准确理解新定义，按照新定义方法把算式转化为有理数运算，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】．已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义先算出，再算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 【变式3】．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项先算乘法，再算减法即可求解；B将除法变为乘法，再约分计算；C根据乘方的计算法则计算即可求解；D先算括号里面的减法，再计算除法； 【详解】A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号的，要先计算括号里面的，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化； 2．小明做了下列3道计算题： ①，②，③．其中正确的有（　　　） A．0道 B．1道 C．2道 D．3道 【答案】B 【分析】先计算乘法，再计算减法可判断①；先计算乘方，再计算加减可判断②；先计算括号内的，再计算除法可判断③，进而可得答案． 【详解】解：，故①计算错误； ，故②计算正确； ，故③计算错误； 综上，计算正确的有1道． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各项，根据正确结果判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D．-4或4 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，可得m的值，根据非负数的性质可得n，p的值，再代入代数式求值，可得答案． 【详解】由可得： ， 解得m=5或m=-5；n-3=0即n=3，p-2=0即p=2， 当m=5，n=3，p=2时，, 当m=-5，n=3，p=2时，, 所以的值为或, 故选：C 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用绝对值的意义得出m的值，非负数的和为零得出n、p的值是解题关键． 5．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数的计算有括号先算小括号，再算中括号，再算大括号，没有括号先乘除再加减． 【详解】解： ． 故选： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算方法是解本题关键． 6．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为，，，则下列结论中，正确的有（） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由数轴可知：-3＜a＜-2，-2＜b＜-1，0＜c＜1，然后对各式进行判断即可. 【详解】解：由数轴可知：-3＜a＜-2，-2＜b＜-1，0＜c＜1， ∴，，，， 故①错误，②③④正确， 故选C. 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 二、填空题 7．计算： ． 【答案】/6.5/ 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行乘方运算和化简绝对值，然后相加减，即可获得答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．如果为奇数，那么计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据为奇数并结合题意计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：如果为奇数，则， 故答案为：． 9．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 10．按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了次后容器内剩余的水量是 ． 【答案】 【分析】根据题意易知倒出水的规律，第次倒出的水为，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】根据题意可知， 第一次倒出：， 第二次倒出：， 第三次倒出：， 第次倒出：， ． ∴倒了次后容器内剩余的水量． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律，如第次倒出的水为． 12．对于任意有理数，，定义新运算“”：，例如，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据定义新运算列式，然后由有理数的运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠．某人两次购物分别付款198元和423元，如果他合起来一次购买同样的商品，那么他可节约 元． 【答案】19或36.6 【分析】分类讨论：根据题意有付款198的商品可按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为198元；也可按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，可计算出标价为198÷0.9=220元；而付款423的商品没有超过500×0.9=450，只能按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则商品的标价为423÷0.9=470元，于是得到两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470=668（元）或220+470=690（元），若合起来一次购买同样的商品，则按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款．可计算出总标价为668元应实际付款数=500×0.9+（668-500）×0.8=584.4（元）；总标价为690元应实际付款数=500×0.9+（690-500）×0.8=602（元），然后把两次购物分别付款198元和423元的和分别减去合起来一次购买同样的商品的付款数即可得到他节约的钱数． 【详解】解：付款198的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为198元；付款198的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则标价为198÷0.9=220元； 由500×0.9=450，所以付款423的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则商品的标价为423÷0.9=470元， 所以某人两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470=668（元）或220+470=690（元）， 当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款． 总标价为668元应实际付款数=500×0.9+（668-500）×0.8=584.4（元）， 则他可节约（198+423）-584.4=36.6（元）； 总标价为690元应实际付款数=500×0.9+（690-500）×0.8=602（元）， 则他可节约（198+423）-602=19（元）． 故答案为：19或36.6． 【点睛】本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题． 14．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 【答案】乙亥 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以分别计算出2025对应的天干和地支，然后写出农历年即可． 【详解】解： ， ， 故2055年为农历乙亥年， 故答案为：乙亥． 三、解答题 15．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）136；（2）-32；（3）；（4） 【分析】（1）运用有理数加法的结合律运算即可， （2）根据有理数的混合运算法则计算即可， （3）先算括号里的和乘方，最后再计算乘除即可， （4）先算乘除后算加减运算即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算律是解题的关键． 16．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先计算括号里面的，然后再约分计算乘法即可． 【详解】解： 17．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)南，0.4 (2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气 (3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 18．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，则乘积的最小值为__________； (2)从中取出4张卡片，将卡片上的4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】（1）要使得乘积最小，则结果一定为负值，再根据五张图片，可知乘积最小的式子为，然后计算即可； （2）根据题意，可以写出一个结果为24的式子，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可得， 乘积的最小值为：， 即乘积的最小值为． 故答案为：； （2）解：， 即计算结果为24的算式为，． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的式子． 19．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 20．概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$