第06讲 有理数的乘方与混合运算（2知识点+6大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新六年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第06讲 有理数的乘方与混合运算 （2知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 知识点02：有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用乘方的定义进行求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 【例1-2】 的底数是______，指数是______；的底数是______，指数是______； 的底数是______，指数是______． 【答案】3，2；，4；5，3． 【解析】乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【总结】本题主要考察乘方的定义． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是，指数是4的幂可以写成 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．根据幂的书写规则即可求解． 【详解】解：底数为，指数为4， 得， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24六年级下·上海·期中）的底数是 ． 【答案】5 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．根据有理数的乘方的有关定义即可得到结果． 【详解】解：的底数为5， 故答案为：5． 【题型2有理数的乘方运算】 【例2-1】计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27． 【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 【例2-2】n为正整数，则______，______，______． 【答案】1；-1；-1（n为奇数）或1（n为偶数） 【解析】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是它本身． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意分类讨论． 【例2-3】计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 【例2-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，利用有理数的乘方的运算法则是解题的关键．将写成的形式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【例2-5】（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，有理数比较大小，先根据有理数的乘方计算，进而比较得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）   ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算 . 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的乘方．根据“的偶数次方为，奇数次方为”求解即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，求一个数的倒数，先根据乘方计算法则求出原数，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：， 因为， 所以的倒数是， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25六年级上·上海·期中）将用“<”连接是 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法． 先对前两个数进行平方计算并求出第三个数绝对值，然后再进行大小比较即可． 【详解】解：，， 故答案为：． 【题型3 乘方的应用】 【例3-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是 m3． 【答案】/0.125 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘法与积的乘方、认识立体图形，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据正方体的面积公式进行解题即可． 【详解】解：由题可知， （m3）， 故答案为：． 【例3-2】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【变式3-1】一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：. 故选：B． 【变式3-2】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 【变式3-3】请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 【答案】（1）；（2）9 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【详解】解：（1）指数式62=36对应的对数式是： 对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27； （2）∵，， ∴log232=5，log5625=4， log232+log5625 ＝5+4 ＝9． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 【题型4 含乘方的有理数混合运算】 【例4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再计算乘方，然后计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号内运算． 【详解】解： 【变式4-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据含有乘方的有理数混合运算法则解答即可． 本题考查了含有乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4-5】（24-25六年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键；根据法则有乘方先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号可先算括号里面的，按法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 【变式4-6】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【题型5 程序流程图与有理数计算】 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 【变式5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入计算，将结果和比较大小，如果小于就输出，即可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输入，列出算式为：， 应该直接输出，的值为：， 故答案为：． 【变式5-2】（22-23六年级下·上海松江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ．    【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】将代入求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算． 【变式5-3】（23-24六年级下·上海·期中）根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3)或11 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了一元一次方程和有理数的混合运算，根据题意正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，即可得到答案； （2）按照题意代入数值计算即可； （3）设，由题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 则， 即输入的两个数a和b是互为倒数时，其输出结果为0； 故答案为：互为倒数 （2）当小明输入和这两个数时，， 故答案为： （3）设，由题意可得，， 解得或， 即被墨水污染的那个数为或11； 故答案为：或11． 【变式5-4】（23-24六年级下·上海普陀·期中）根据下边的流程图，完成下列各题： (1)如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． (2)如果输出的数是，那么x的值是多少？请写出计算过程． 【答案】(1)输出的数是 (2)x的值是或 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考程序流程图与有理数的计算，解一元一次方程,正确理解按流程图计算的方法是解题的关键． （1）当输入x的值是时，列算式并计算，得到答案，判断答案是非负数，所以计算所以，即得答案； （2）当时，列方程，解得；当时，列方程，解得． 【详解】（1）如果输入x的值是， 则， 因为， 所以． 答：输出的数是． （2）当时，， ， 解得； 当时，， 解得； 答：x的值是或． 【题型6 算“24”点】 【例6-1】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【例6-2】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【变式6-1】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 【变式6-2】）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【变式6-3】小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】(1)抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24 (2)抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是 (3)见解析 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 【详解】（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列各对算式中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方计算，逐项判断即可． 【详解】解：A， ， 故该选项不符合题意； B，， ， 故该选项不符合题意； C，， ， 故该选项符合题意； D，， ， 故该选项不符合题意得； 故选： C． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先根据乘方的意义整理原式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解、倒数、相反数的定义、有理数的定义 【分析】本题考查倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方，掌握倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方的意义是正确判断的前提．根据倒数、相反数、偶次幂的意义进行判断即可． 【详解】解：A．没有倒数，但0的相反数是0，因此选项A不正确； B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数，因此选项B正确； C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数可能是正数，有可能是负数，因此选项C不正确； D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或，因此选项D不正确； 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知下列各数：、、、0、、，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数的乘方运算、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的意义，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，化简多重符号，解题的关键是熟练掌握运算法则，先根据有理数乘方运算法则，绝对值意义，相反数定义进行化简，然后再进行判断即可． 【详解】解：，，，， 所以非负数有：、、0，共3个， 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 6．-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 【答案】 5.2 负号 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数幂的概念理解 【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果． 【详解】解：-5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号， 故答案为：5.2，负号． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 7．（22-23六年级下·上海宝山·期中）底数是，指数是的幂可写成 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据幂的书写规则即可求解． 【详解】解：底数为，指数为2， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号． 8．（24-25六年级上·上海·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，那么 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、倒数、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数的混合运算的运用，相反数、绝对值倒数运用．先根据条件由a、b互为相反数可以得出，c、d互为倒数可以得出，m的绝对值为1可以得出，从而求出m的值，然后代入就可以求出其值． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴，则， ∴． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则计算即可求值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海金山·期中）某冷库的室温是，现有一批食品需要在的温度下冷冻保存．如果冷库的温度每小时降低，那么 小时后能降到所需温度． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， ∴小时后能降到所需温度， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 【答案】6 【知识点】有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故答案为：6． 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 【答案】或 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与有理数的混合运算，分当时和当时两种情况列式计算即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ． ． 所以输入的数a是或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方、绝对值、再进行括号内计算，再计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 14．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： ． 15．（24-25六年级上·上海·期中）在下面的数轴上分别画出点A、B、C、D、E，其中，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点E表示的数为． 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、用数轴上的点表示有理数 【分析】先化简，，计算，再在数轴上表示各数即可． 【详解】解：∵，，， 如图在数轴上表示各点如下， 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，绝对值的含义，化简双重符号，有理数的乘方运算，熟练的在数轴上表示各数是解本题的关键． 16．（24-25六年级上·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天共销售儿童滑板车_________辆，本周销售量最多的一天比最少的一天多销售_________辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每日每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成计划，则少销售一辆扣15元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)312；27 (2)本周实际销售总量达到了计划；计算见解析 (3)21370元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是21370元． 17．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 18．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方与混合运算 （2知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 知识点02：有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 【例1-2】 的底数是______，指数是______；的底数是______，指数是______； 的底数是______，指数是______． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是，指数是4的幂可以写成 ． 【变式1-3】（23-24六年级下·上海·期中）的底数是 ． 【题型2有理数的乘方运算】 【例2-1】计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【例2-2】n为正整数，则______，______，______． 【例2-3】计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 【例2-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【例2-5】（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）   ． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【变式2-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算 . 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 【变式2-5】（24-25六年级上·上海·期中）将用“<”连接是 ． 【题型3 乘方的应用】 【例3-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是 m3． 【例3-2】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【变式3-1】一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【变式3-3】请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 【题型4 含乘方的有理数混合运算】 【例4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【变式4-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式4-5】（24-25六年级上·上海青浦·期末）计算：． 【变式4-6】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【题型5 程序流程图与有理数计算】 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    【变式5-2】（22-23六年级下·上海松江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ．    【变式5-3】（23-24六年级下·上海·期中）根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【变式5-4】（23-24六年级下·上海普陀·期中）根据下边的流程图，完成下列各题： (1)如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． (2)如果输出的数是，那么x的值是多少？请写出计算过程． 【题型6 算“24”点】 【例6-1】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【例6-2】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【变式6-1】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【变式6-2】）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【变式6-3】小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列各对算式中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知下列各数：、、、0、、，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 二、填空题 6．-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 7．（22-23六年级下·上海宝山·期中）底数是，指数是的幂可写成 ． 8．（24-25六年级上·上海·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，那么 ． 9．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 10．（24-25六年级上·上海金山·期中）某冷库的室温是，现有一批食品需要在的温度下冷冻保存．如果冷库的温度每小时降低，那么 小时后能降到所需温度． 11．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 三、解答题 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 14．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 15．（24-25六年级上·上海·期中）在下面的数轴上分别画出点A、B、C、D、E，其中，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点E表示的数为． 16．（24-25六年级上·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天共销售儿童滑板车_________辆，本周销售量最多的一天比最少的一天多销售_________辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每日每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成计划，则少销售一辆扣15元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 17．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 18．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$