专题04有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

专题04有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义 ① 明晰乘方基础概念：分清底数、指数、幂三者定义，理解乘方是相同因数连乘的简便写法；精准区分(-a)n和-an的运算意义与计算结果差异。 ② 掌握乘方符号法则：正数任意次幂恒为正数；负数偶次乘方得正、奇次乘方得负；0的正整数次幂结果为0，可快速判定任意乘方算式符号。 ③ 熟练基础乘方计算：能够独立完成正、负数整数次乘方运算，熟记常用平方数、立方数，提升口算速度。 ④ 牢记有理数四则混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左向右依次计算；含有小括号、中括号时，由内向外逐层计算。 ⑤ 灵活简便运算：计算综合算式时，合理运用加减、乘法运算律简化计算过程，坚持分步演算，杜绝随意跳步。 ⑥ 学会乘方简单实际应用：可根据纸张对折、物体倍增等生活情境，列出乘方算式求解数量变化问题。 ⑦ 总结高频易错要点：括号位置不同引发乘方结果出错、负数乘方符号判断失误、混合运算颠倒优先级；端正计算习惯，完整掌握有理数整套运算规则 预习必备 知识梳理 1.乘方的定义 2.乘方运算法则 3.有理数混合运算顺序 4.运算常用技巧 5.运算常见思维陷阱汇总 6.综合易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6.含乘方的有理数混合运算 7.程序流程图与有理数计算 8.算“24”点 强化题型 解答题6题 知识点 1：乘方的定义 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 记作：an a：底数（相同的因数） n：指数（因数的个数） an：幂；读作：a的n次方 / a的n次幂 展开形式： 举例： (-2)3=(-2)×(-2)×(-2)，底数-2，指数3 34=3×3×3×3\)，底数3，指数4 ⚠️重点区分书写（超级高频易错） (-3)2：底数是-3，(-3)2=(-3)×(-3)=9 -32：底数是3，代表32的相反数，-32=-(3×3)=-9 有无括号，底数完全不同！ 知识点 2：乘方运算法则（符号规律） 1.正数的任何次幂都是正数 例：23=8，1.22>0 2.负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 例：(-2)2=4，(-2)3=-8 3.0的任何正整数次幂都等于0：0n=0 (n>0) 4.特殊数乘方结论（必背） 1的任何次幂等于1； -1的偶次幂=1，-1的奇次幂=-1 ✅乘方计算标准步骤： ①识别底数、看清有无括号； ②根据符号法则确定幂的正负； ③计算绝对值乘方。 知识点 3：有理数混合运算顺序（核心法则，必考） 优先级从高到低： 第一级：乘方（最先计算） 第二级：乘法、除法（同级，从左往右） 第三级：加法、减法（同级，从左往右） 👉括号规则：有括号先算括号内；先小括号，再中括号，最后大括号。 口诀：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右；有括号先算括号里。 知识点 4：运算常用技巧 1.小数优先化为分数，带分数化为假分数，方便约分； 2.灵活运用加法交换律、结合律、乘法分配律简化运算； 3.多重符号、乘方优先确定符号，再计算绝对值； 4.除法统一转化为乘法再计算。 ⚠️重要警示： 除法没有分配律 错误：24(4+2)=244+242 正确：先算括号 246=4 只有被除数可以拆分：(a+b) c=ac+bc 知识点 5：运算常见思维陷阱汇总 1.忽视运算顺序：如 82×4，不能先算2×4，必须从左往右； 2.乘方符号错误：区分(-a)n与-an； 3.分配律漏乘：-2×(3-5)=-2×3-2×(-5)，不要漏符号； 4.0、1 参与乘方、乘除的特殊情况。 知识点6高频易错点汇总 易错类别 典型错误 正确解析 乘方底数混淆核心易错 -32=9认为-32底数是-3 -32=-(3×3)=-9 (-3)2=(-3)×(-3)=9无括号：底数只有数字，负号不属于底数；带括号，负数整体是底数 -1相关乘方 (-1)3=1 (-1)偶次幂=1，奇次幂=-1，(-1)3=-1 运算顺序混淆 2+42=36错误先算加法 先乘方，后加减：2+42=2+16=18 同级运算顺序 24÷2×3=4先计算2×3 乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算24÷2×3=12×3=36 分配律常见陷阱 30÷(2+3)=30÷2+30÷3 ❌除法没有分配律！正确：先算括号 30÷5=6补充：(a+b)÷c=a÷c+b÷c（只有被除数可以拆分） 分配律漏乘符号 -2×(5-8)=-10-16 每一项都要相乘，注意符号-2×(5-8)=-10+16=6 乘方书写误区 2×52=(2×5)2 指数只附着紧邻数字，不能随意扩大底数2×52=2×25=50 0 的乘方混淆 认为00=0 教材规定：0 的正整数次幂 = 0；00无意义，不参与计算 多重符号 + 乘方综合 -(-2)2=4 先算乘方：-(-2)2=-(4)=-4 小数、分数乘方 0.32=0.9 0.32=0.3×0.3=0.09，不要漏掉数位()2=，分子分母同时乘方 括号运算优先级 8-(3-5)=8-3-5 去括号时，括号前是减号，括号内全部变号8-(3-5)=8-3+5=10 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【跟踪专练2】先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型2.有理数的乘方运算 【典例】．计算：________． 【跟踪专练1】下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【跟踪专练3】阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【跟踪专练2】如果，那么___________． 【跟踪专练3】已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【跟踪专练1】如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【跟踪专练2】，则________． 【跟踪专练3】【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…，________，________． （2），，，，…，________． 题型5.乘方的应用 【典例】一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【跟踪专练1】《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【跟踪专练2】把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【跟踪专练3】上海举办的第十四届国际数学教育大会（简称ICMB-14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如八进制数字等于十进制数字2021；如十进制数字等于二进制数字，六进制数字换算成五进制数字是（___________）5． 题型6.含乘方的有理数混合运算 【典例】是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【跟踪专练1】定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【跟踪专练2】在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【跟踪专练3】在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 题型7.程序流程图与有理数计算 【典例】任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【跟踪专练2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【跟踪专练3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型8.算“24”点 【典例】利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【跟踪专练3】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 3．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 4．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 6．【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义 ① 明晰乘方基础概念：分清底数、指数、幂三者定义，理解乘方是相同因数连乘的简便写法；精准区分(-a)n和-an的运算意义与计算结果差异。 ② 掌握乘方符号法则：正数任意次幂恒为正数；负数偶次乘方得正、奇次乘方得负；0的正整数次幂结果为0，可快速判定任意乘方算式符号。 ③ 熟练基础乘方计算：能够独立完成正、负数整数次乘方运算，熟记常用平方数、立方数，提升口算速度。 ④ 牢记有理数四则混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左向右依次计算；含有小括号、中括号时，由内向外逐层计算。 ⑤ 灵活简便运算：计算综合算式时，合理运用加减、乘法运算律简化计算过程，坚持分步演算，杜绝随意跳步。 ⑥ 学会乘方简单实际应用：可根据纸张对折、物体倍增等生活情境，列出乘方算式求解数量变化问题。 ⑦ 总结高频易错要点：括号位置不同引发乘方结果出错、负数乘方符号判断失误、混合运算颠倒优先级；端正计算习惯，完整掌握有理数整套运算规则 预习必备 知识梳理 1.乘方的定义 2.乘方运算法则 3.有理数混合运算顺序 4.运算常用技巧 5.运算常见思维陷阱汇总 6.综合易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6.含乘方的有理数混合运算 7.程序流程图与有理数计算 8.算“24”点 强化题型 解答题6题 知识点 1：乘方的定义 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 记作：an a：底数（相同的因数） n：指数（因数的个数） an：幂；读作：a的n次方 / a的n次幂 展开形式： 举例： (-2)3=(-2)×(-2)×(-2)，底数-2，指数3 34=3×3×3×3\)，底数3，指数4 ⚠️重点区分书写（超级高频易错） (-3)2：底数是-3，(-3)2=(-3)×(-3)=9 -32：底数是3，代表32的相反数，-32=-(3×3)=-9 有无括号，底数完全不同！ 知识点 2：乘方运算法则（符号规律） 1.正数的任何次幂都是正数 例：23=8，1.22>0 2.负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 例：(-2)2=4，(-2)3=-8 3.0的任何正整数次幂都等于0：0n=0 (n>0) 4.特殊数乘方结论（必背） 1的任何次幂等于1； -1的偶次幂=1，-1的奇次幂=-1 ✅乘方计算标准步骤： ①识别底数、看清有无括号； ②根据符号法则确定幂的正负； ③计算绝对值乘方。 知识点 3：有理数混合运算顺序（核心法则，必考） 优先级从高到低： 第一级：乘方（最先计算） 第二级：乘法、除法（同级，从左往右） 第三级：加法、减法（同级，从左往右） 👉括号规则：有括号先算括号内；先小括号，再中括号，最后大括号。 口诀：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右；有括号先算括号里。 知识点 4：运算常用技巧 1.小数优先化为分数，带分数化为假分数，方便约分； 2.灵活运用加法交换律、结合律、乘法分配律简化运算； 3.多重符号、乘方优先确定符号，再计算绝对值； 4.除法统一转化为乘法再计算。 ⚠️重要警示： 除法没有分配律 错误：24(4+2)=244+242 正确：先算括号 246=4 只有被除数可以拆分：(a+b) c=ac+bc 知识点 5：运算常见思维陷阱汇总 1.忽视运算顺序：如 82×4，不能先算2×4，必须从左往右； 2.乘方符号错误：区分(-a)n与-an； 3.分配律漏乘：-2×(3-5)=-2×3-2×(-5)，不要漏符号； 4.0、1 参与乘方、乘除的特殊情况。 知识点6高频易错点汇总 易错类别 典型错误 正确解析 乘方底数混淆核心易错 -32=9认为-32底数是-3 -32=-(3×3)=-9 (-3)2=(-3)×(-3)=9无括号：底数只有数字，负号不属于底数；带括号，负数整体是底数 -1相关乘方 (-1)3=1 (-1)偶次幂=1，奇次幂=-1，(-1)3=-1 运算顺序混淆 2+42=36错误先算加法 先乘方，后加减：2+42=2+16=18 同级运算顺序 24÷2×3=4先计算2×3 乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算24÷2×3=12×3=36 分配律常见陷阱 30÷(2+3)=30÷2+30÷3 ❌除法没有分配律！正确：先算括号 30÷5=6补充：(a+b)÷c=a÷c+b÷c（只有被除数可以拆分） 分配律漏乘符号 -2×(5-8)=-10-16 每一项都要相乘，注意符号-2×(5-8)=-10+16=6 乘方书写误区 2×52=(2×5)2 指数只附着紧邻数字，不能随意扩大底数2×52=2×25=50 0 的乘方混淆 认为00=0 教材规定：0 的正整数次幂 = 0；00无意义，不参与计算 多重符号 + 乘方综合 -(-2)2=4 先算乘方：-(-2)2=-(4)=-4 小数、分数乘方 0.32=0.9 0.32=0.3×0.3=0.09，不要漏掉数位()2=，分子分母同时乘方 括号运算优先级 8-(3-5)=8-3-5 去括号时，括号前是减号，括号内全部变号8-(3-5)=8-3+5=10 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【跟踪专练1】关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【跟踪专练2】先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 题型2.有理数的乘方运算 【典例】．计算：________． 【答案】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 【跟踪专练2】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 【跟踪专练3】阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】如果，那么___________． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 【跟踪专练3】已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据乘方的逆运算以及绝对值的意义得出符合题意的的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义以及乘方的逆运算是解本题的关键． 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 【跟踪专练1】如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 【跟踪专练2】，则________． 【答案】 【分析】直接利用绝对值和平方的非负性得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，得到每一个算式都等于0，是解题的关键． 【跟踪专练3】【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…，________，________． （2），，，，…，________． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 题型5.乘方的应用 【典例】一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 【跟踪专练1】《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 【跟踪专练2】把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【跟踪专练3】上海举办的第十四届国际数学教育大会（简称ICMB-14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如八进制数字等于十进制数字2021；如十进制数字等于二进制数字，六进制数字换算成五进制数字是（___________）5． 【答案】 【分析】本题考查了进位制应用问题，也考查了有理数乘方的运算，读懂题意是解答本题的关键． 根据题目信息，把六进制数转换为五进制数． 【详解】解：先将转化为十进制：， 将转化为十进制数为， 将十进制数转化为五进制数为： ， ， ， 十进制数转化为五进制数表示为， 六进制数字换算成五进制数字为； 故答案为：． 题型6.含乘方的有理数混合运算 【典例】是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 【跟踪专练1】定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 【跟踪专练2】在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 【跟踪专练3】在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 题型7.程序流程图与有理数计算 【典例】任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 【跟踪专练2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的流程图运算，熟练掌握运算法则和分析每一步的输出结果找出规律是解题的关键． 把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律即可解答． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数输出的结果为，偶数的输出结果为， ∵为奇数， ∴输出的结果为， 故选：A． 题型8.算“24”点 【典例】利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查有理数的混合运算；根据题目中的数据和题意，可以写出一个结果为24的算式即可． 【详解】解： ， 故答案为：(答案不唯一)． 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 3．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 6．【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $