1.2矩形的性质与判定第1课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第1课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；（重点） 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题；（重点、难点） 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点） 知识回顾 问题2:平行四边形有哪些特殊性质？ A B C D O 问题1:什么样的四边形是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 对称性：中心对称图形. 边：对边平行且相等. 角：对角相等,邻角互补. 对角线：相互平分. 情境引入 它们都含有长方形. 下面图片中含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？ 思考：这些图形都有什么特点？它们与我们之前学过的平行四边形有什么关系？ 长方形又叫矩形哦！ 思考：如果平行四边形的一个角变为直角，那么这个平行四边形会变成什么样的图形？请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 平行四边形 新知探究 探究一：矩形的定义 一个角变为直角 矩形 变成矩形. 新知探究 矩形的定义： 知识归纳 平行四边形 矩形 有一个角是直角 注意：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形. 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.（也叫作长方形） 1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（     ） A．∠A=∠C B．∠A=∠B C．AB=BC D．AD=BC A B D C 新知探究 B 矩形的定义具有双重意义：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是矩形的基本判定方法. 新知探究 探究二：矩形的性质 想一想 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ 矩形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分. （2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. A B D C 矩形还是中心对称图形. （3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. 猜想归纳：①矩形的四个角都是直角. ②矩形的两条对角线相等. 你能证明这些结论吗? 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=BD. 新知探究 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC= 90°, ∴∠BCD= 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 矩形的四个角都是直角. (2)AC=BD. 新知探究 （2）∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC (矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 矩形的对角线相等. 新知探究 知识归纳 矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是直角. 定理2：矩形的对角线相等. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. A B D C O 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O 新知探究 C 议一议 如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？ 新知探究 探究三：直角三角形斜边中线的性质 BE是Rt△ABC斜边的中线. BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？ BE=AC. 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 你能证明这个结论吗? 新知探究 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD，DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC . ∴BO=BD=AC. 新知探究 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边中线定理 知识归纳 C B A O 几何语言： ∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO=AC. 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3 cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5 cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 新知探究 6 10 5 （1）在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角. A D C B O 做一做 新知探究 相等的线段: AB=CD，AD=BC，AC=BD, OA=OC=OB=OD=AC=BD. 相等的角: ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC， ∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD， ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB. 新知探究 等腰三角形： △OAB，△ OBC，△OCD，△OAD. 直角三角形： Rt△ABC，Rt△BCD，Rt△CDA，Rt△DAB. 全等三角形： Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB， △OAB≌△OCD， △OAD≌△OCB. （2）在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形. A D C B O 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 例1 典例分析 解:∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°. ∴BD=2AB=2×2.5=5. 你还有其他解法吗? 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. 例2 A B C D E F 典例分析 证明：连接DE. ∵AD =AE, ∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 巩固练习 基础巩固题 1.平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(　 ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　 ) A.20　　 B.10　　 C.5　 D. 2.5 B C 4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（     ） A. 2       B. 4        C.      D.2 巩固练习 基础巩固题 D 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° C 7.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC． D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=______cm． 5.如图：已知：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝       ㎝，BD＝       ㎝.  巩固练习 基础巩固题 10 10 2.5 6 8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E 巩固练习 基础巩固题 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. 巩固练习 基础巩固题 (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD=BD=×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC==. ∴四边形ABED的面积=×(4+8)×4=24. A B C D O E 9.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 巩固练习 基础巩固题 解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）. 选择BE＝DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ BE＝DF， ∴ △ABE≌△CDF（SAS）. ∴ AE＝CF. 课堂小结 矩形的性质与判定1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 对称性:既是轴对称图形,也是中心对称图形. 矩形的性质 定理1：矩形的四个角都是直角. 定理2：矩形的对角线相等. 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 作业布置 1.必做题：习题1.4第1-3题。 2.探究性作业：习题1.4第4题。 感谢聆听! $$