2.2圆的对称性（第1课时圆心角、弧、弦的关系）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.2.1 圆的对称性—— 圆心角、弧、弦的关系 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 认识圆的对称性，圆既是中心对称图形，也是轴对称图形 理解圆心角、弧、弦之间的关系，能快速地对三者之间关系的描述进行辨析 3 理解圆心角的度数与它所对弧的度数的等价关系 知识回顾 1. 中心对称图形的概念？ 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 知识回顾 2. 轴对称图形的概念？ 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 新知探究 思 考 1. 上节课，我们从“一中同长”的角度解释了车轮为什么是圆的。 解：因为圆形车轮正中心到车轮边上的距离处处相等，行驶起来更平稳，不容易颠簸。 从旋转的角度来看，轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合。 【总结】 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合（旋转不变形）。 新知探究 思 考 2. 在纸上画O，把O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？ 折痕过圆心O。 O 新知探究 圆的对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 知识要点 O 新知探究 辨 析 知识要点 “圆的直径就是圆的对称轴”这句话正确吗？ O 解：不正确， 应该是圆的直径所在直线是圆的对称轴。 典例分析 典例1 判断正误： ( 1 ) 圆是中心对称图形，圆心就是对称中心； ( 2 ) 圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴； ( 3 ) 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径。 √ √ ×，其对称轴是任意一条直径所在直线 新知探究 思 考 1. 请同学们完成以下操作 ，并回答问题： ① 在两张透明纸片上，分别画半径相等的O和O’； ② 在O和O’中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’，连接AB和A’B’； O O’ A B A’ B’ 新知探究 思 考 ③ 在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？ O A B 【总结】在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 O’ A’ B’ 解：通过平移可知：AB = A’B’，。 新知探究 思 考 ④ 将圆O中的圆心角∠AOB绕点O旋转，旋转后的圆心角记作∠A’’OB’’，连接A’’B’’，你发现了什么？ O A B A’’ B’’ A’ B’ A’’ B’’ A’ B’ 【总结】在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 解：通过旋转可知：AB = A’B’，。 新知探究 思 考 2. 在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？ 相等；相等。 O A B A’’ B’’ O’ A’ B’ 【总结】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等。 新知探究 思 考 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等吗？这两个圆心角相等吗？ 优弧与优弧相等， 劣弧与劣弧相等； 相等。 O A B A’’ B’’ O’ A’ B’ 【总结】在同圆或等圆中， 相等的弦所对的弧 ( 优弧与优弧、劣弧与劣弧 ) 相等，所对的圆心角相等。 新知探究 知识要点 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 新知探究 辨 析 1. “相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”这句话正确吗？ O A B A’ B’ 解：不正确， 必须强调“在同圆或者等圆中”这个前提条件。 新知探究 辨 析 2. “相等的弧，所对的弦相等，所对的圆心角相等”这句话正确吗？ 相等的弧 ( 等弧 )： 定义1：能够互相重合的弧； 定义2：在同圆或等圆中，长度相等的弧。 解：正确， 相等的弧 ( 等弧 ) 一定是在同圆或等圆中的弧，不缺少前提条件。 新知探究 辨 析 3. “在同圆或等圆中，相等的弦所对弧相等”这句话正确吗？ 解：不正确， 应是“在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等”。 O A B O’ A’ B’ 新知探究 知识要点 注意： ( 1 ) “在同圆或等圆中”这个前提条件很重要； ( 2 ) 已知一组量为“两条弧相等”，就已经默认了“在同圆或等圆中”； ( 3 ) “在同圆或等圆中”，已知一组量为“两条弦相等”， 必须强调“所对的优弧和劣弧分别相等”。 典例分析 典例2 判断正误： ( 1 ) 相等的圆心角所对的弧相等； ( 2 ) 相等的弧所对的弦一定相等； ( 3 ) 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也一定相等。 ×，在同圆或等圆中 √，相等的弧 ( 等弧 ) 已经默认“在同圆或等圆中”这个前提条件 ×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等 典例分析 典例3 若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________°。 144 解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数为：360° × = 144°。 新知探究 思 考 我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角， ∵同圆中相等的圆心角所对的弧相等， ∴整个圆也被等分成360份。 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 O 1°的弧 1°的圆心角 新知探究 知识要点 圆心角的度数与它所对的弧的度数： 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。 O 1°的弧 1°的圆心角 A B n°的弧 n°的圆心角 典例分析 典例4 若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是__________。 解：∵弦长等于半径， ∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形， ∴弦所对的圆心角是60°， ∴弦多对的劣弧的度数是60°，弦所对的优弧的度数是300°。 60°或300° 题型探究 圆心角、弧、弦的关系辨析 题型一 【例1】如图，已知在O中，BC是直径，AB = DC， 则下列结论不一定成立的是（　　） A．OA = OB = AB B．∠AOB = ∠COD C． = D．O到AB、CD的距离相等 解：∵AB = DC， ∴ = ，∠AOB = ∠COD， ∵OA = OB = OC = OD， ∴△AOB ≌ △COD ( SAS )， ∴O到AB、CD的距离相等。 A 题型探究 圆心角、弧、弦的关系辨析 题型一 【例2】如图，在O中， = 2，则下列结论正确的是（　　） A．AB > 2CD B．AB = 2CD C．AB < 2CD D．以上都不正确 解：如图，取的中点E，连接AE，BE， ∵在O中， = 2， ∴ = = ， ∴AE = BE = CD， ∵AE + BE > AB， ∴2CD > AB。 E C 题型探究 【例3】如图，AB是O的直径， = = ，∠COD = 34°，则∠AEO的度数是________°。 圆心角、弧、弦的关系应用 题型二 解：如图，∵ = = ，∠COD = 34°， ∴∠BOC = ∠EOD = ∠COD= 34°， ∴∠AOE = 180° - ∠EOD - ∠COD - ∠BOC = 78°， 又∵OA = OE， ∴∠AEO = ∠OAE， ∴∠AEO = × ( 180° - 78° ) = 51°。 51 题型探究 【例4】如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O， 若BC = CD = DA = 4，则O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 圆心角、弧、弦的关系应用 题型二 解：如图，连接OC、OD， ∵BC = CD = DA = 4， ∴==，∠AOD = ∠DOC = ∠BOC = 60°， 又∵OA = OD，∴△AOD是等边三角形， ∴OA = AD = 4，∴O的周长 = 2 × 4π = 8π。 C 课堂小结 圆的对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：( 1 ) “在同圆或等圆中”这个前提条件很重要； ( 2 ) 已知一组量为“两条弧相等”，就已经默认了“在同圆或等圆中”； ( 3 ) “在同圆或等圆中”，已知一组量为“两条弦相等”， 必须强调“所对的优弧和劣弧分别相等”。 圆心角的度数与它所对的弧的度数： 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。 感谢聆听! $$