北京市石景山区2024-2025学年下学期八年级数学期末考试试卷

第1页/共12页 2025北京石景山初二（下）期末 数 学 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共两部分，28 道题。满分 100 分。考试时间 100 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上， 选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 4．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共 16 分，每题 2 分） 第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 2 3A −( , )关于 y 轴对称的点 A的坐标为 （A） 2 3− −( , ) （B） 2 3−( , ) （C） 2 3( , ) （D） 3 2( , ) 2．中国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志图形中，既是轴对称图形又是中心 对称图形的是 极狐汽车 （A） 仰望汽车 （B） 小鹏汽车 （C） 东风风神汽车 （D） 3．若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是 （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7 4．对于一次函数 2y x= − ，下列说法不正确．．．的是 （A）函数图象不经过第二象限 （B）函数图象与 y 轴交点坐标为 2 0( , ) （C） y 随 x的增大而增大 （D）当 2x  时， 0y  5．用配方法解一元二次方程 2 4 2 0x x+ − = ，此方程可化为 （A） 22 2x + =( ) （B） 22 2x − =( ) （C） 22 6x + =( ) （D） 22 6x − =( ) 6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y kx b= + 0k ( ) 与 2y x= 的图象交于点 4A m( , )，则不等式 2kx b x+  的 解集为 （A） 2x  （B） 2x  x y A O 第2页/共12页 （C） 4x  （D） 4x  7．某科技产业园区 2022 年的营业收入为 5 亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024 年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业 收入的年平均增长率为 x，依题意，可列方程为 （A） 25 1 7.2x+ =( ) （B）5 1 2 7.2x+ =( ) （C） 25 1 7.2x− =( ) （D） 27.2 1 5x+ =( ) 8．如图，在矩形 ABCD 中， AB BC ，点 E ， F 分别在 BC ，CD 边上，连接 EA， EF ， AF ． AB EC a= = ， BE b= ， AF c= ， 1 2 = ．给出下面三个结论： ① 90AEF = °； ② 2 2 2a b a b c+ + − =( ) ( ) ； ③ 2 2 a b c+  . 上述结论中，所有正确结论的序号是 （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AE BC⊥ 于点 E ． 若 130C = °，则 BAE 的大小为 ． 10．一组数据 2， 2，3 ，5 的方差为 ． 11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD相交于点O ， 点 E ， F 分别是 AO ， AD 的中点．若 2EF = ，则 AC 的长为 ． 12．如图，在□ ABCD 中，点 E ， F 分别是 AB， DC 的 中点．只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是 矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）. 13．若关于 x的一元二次方程 2 3 0x x m+ − = 有两个相等 的实数根，则m的值为 ． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 12A y−( , )， 21B y( , )是一次函数 y x b= − + 的图象 上的两个点，则 1y 与 2y 的大小关系为： 1y 2y （填“＞”，“＝”或“＜”）. 15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD相交于点O ，点 E ， F 是分别是线段 AB， AO 上的动点，连接 FE ， FB ．若 8AC = ， 6BD = ，则 FE FB+ 的最小 值为 ． a c b 2 1 a A B F E C D F E O D CB A 第 11 题图 E A CB D 第 9 题图 第 12 题图 F B A C D E 第3页/共12页 16．某校的一生物小组观察某种植物生长情况，得到该植物的高度 y （单位： cm）与观察时间 x（单位： 天）的关系如图所示（ AB是线段，射线 BC 平行于 x轴）．给出下面四个结论： ①从开始观察起， 40 天后该植物停止长高； ②当 0 40x≤ ≤ 时， y 与 x的关系表达式为 1 8 4 y x= + ； ③观察第30天时，该植物的高度为15.5cm ； ④观察期间，该植物最高为 20cm ． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23－25 题，每题 6 分，第 26 题 5 分，第 27－28 题，每题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．用适当的方法解方程： 2 2 2 0x x− − = ． 18．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E ， F 在对角线 BD上且 BE DF= ． 求证： AE CF= . 19．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 2 2 3 y x= + 的图象与 x轴交于点 A，与 y 轴交于点B . （1）点 A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）画出该函数的图象； （3）若点C 在 x轴上， ABC△ 的面积为4，则 点C 的坐标为 . M CB A x/天 y/cm 8 13 20 40 50O O E F A B C D 第 15 题图 第 16 题图 x y O–1–2–3–4–5–6–7 1 2 3 4 5 6 7 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 A B C D F E 第4页/共12页 20．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 0y kx b k= + ( )的图象经过点 1 4A −( , )和 3 0B( , ). （1）求该函数的解析式； （2） ABO 的度数为 ； （3）当 2 4x− ≤ ≤ 时， y 有最大值为 . 21．据灯塔专业版数据，截至 2025 年 5 月 5 日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（包含港澳台和海外票 房）已突破158 亿元，排名全球影视票房第五.某校电影兴趣小组整理了该影片上映前30天（ 2025 年 1月 29 日至 2月 27 日）每日的票房（单位：亿元），相关信息如下： a．《哪吒之魔童闹海》上映前30天的单日票房统计图： b．将前30天单日票房的数据分组整理后，画出部分组的频数分布直方图如下（数 据分成 5 组： 0 2x ≤ ， 2 4x ≤ ， 4 6x ≤ ， 6 8x ≤ ，8 10x≤ ≤ ）： c．影片放映前30天分时段的单日票房的平均数、方差如下： 时 段 第1－15天 第16 －30天 平均数 6.33 2.88 方 差 2 1s 2 2s 根据以上信息，完成下列问题： （1）完成频数分布直方图； （2）该影片放映的第31－ 60 天（ 2025 年 2月 28 日至 3 月 29 日）的单日票房平均数 约为 0.41亿元，则前30天的单日票房平均数约为第31－ 60 天的 倍（结果保留整数）； （3） 2 1s 2 2s （填“>”“<”或“=”）. 单日票房/亿元 时间/天 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 频数 单日票房/亿元0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第5页/共12页 22．关于 x的一元二次方程 2 2 2 1 0x mx m+ + − = ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根不小于 5 ，求m的取值范围． 23．列方程解应用题． 某小区在宽为 22m ，长为 30m 的矩形地面上铺 2560m 的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道 路．求道路的宽度． 24．如图，在Rt ACB△ 中， 90ACB = °，CM 是 AB边上的中线．过点B作 BD MC∥ ，且 BD MC= ， 连接CD ． （1）求证：四边形 BMCD 是菱形； （2）连接 AD ．若 2BC = ， 60ABC = °， 求 AD 的长． 25．如图，在矩形 ABCD 中， AB BC ，点 M ， N 分别在 AD ， BC 边上，将四边形 CDMN 沿直线 MN 翻折，点C 恰好落在点 A处，点 D的对应点为点 E ． （1）求证： AM AN= ； （2）若 4AB = ， 8BC = ，求 AM 的长． N A B C D E M A B D C M 第6页/共12页 26．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 0y k x b k= + ( )的图象由函数 2y x= 的图象平移得到，且经过 点 1 1A −( ，)，与过点 0 5( ， )且平行于 x轴的直线交于点 B． （1）求这个一次函数的解析式及点 B的坐标； （2）当 1x  时，对于 x的每一个值，函数 y x n= + 的值小于函数 0y k x b k= + ( )的 值且大于 1− ，直接写出 n的取值范围． 27. 如图，正方形 ABCD 中，点 P Q， 分别在CB DC， 的延长线上且BP CQ= ，连接 AP，连接QB 并延长交 AP于点E ． （1）求 AEQ 的大小； （2）点 F 在射线EP 上，EF EB= ，连接DF ， AEQ 的角平分线交DF 于点M ．依题 意补全图形．用等式表示线段 DM 与 FM 的数量关系，并证明． Q P DA E B C F x y O–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 备用图 第7页/共12页 28．在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 1 1A −( , )， 1 1B − −( , )， 1 1C −( , )， 1 1D( , )．对于线段 PQ 与 x轴上的点T ，给出如下定义：将线段 PQ 绕点T 旋转180°得到线段 P Q  （ P， Q分别是 P ，Q 的对应点），若线段 P Q 的两个端点都在四边形 ABCD 的边上，则称线段 PQ 是四边形 ABCD 的以点T 为中心的“关联线段”． （1）如图，点 3 1E −( , )， 3 1F − −( , )， 3 2G −( , )， 2 0H −( , )．在线段 EF ， AG ， FH 中，四边形 ABCD 的以点T 为中心的“关联线段”是 ； （2）点 4 1M −( , )．若线段MN 是四边形 ABCD 的以点T 为中心的“关联线段”，则点 N 的横坐标的 最小值为 ； （3）点 1P m( , )．若直线 4y mx= − 上存在点Q ，使得线段 PQ 是四边形 ABCD 的 以点T 为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 备用图 x y 1 1A B C D O x y 4321-7 -6 -5 -4 -2 -3 -2 -1 -1 2 1A B C D O F H E G 第8页/共12页 参考答案 第一部分 选择题 一、选择题（共 16 分，每题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B C A A D 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9． 40° 10．1.5 11．8 12．答案不唯一，如： 90AEC = ° 13． 9 4 − 14． 15． 24 5 16．①②③ 三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23－25 题，每题 6 分，第 26 题 5 分，第 27－28 题，每题 7 分） 17．解：∵∆ 2 2 4 1 2 12= − −   − =( ) ( ) ， ………………………… 1 分 ∴ 2 12 2 x  = ． ………………………… 3 分 ∴ 2 2 3 2 x  = ． ………………………… 4 分 ∴方程的解为 1 1 3x = + ， 2 1 3x = − ． ………………………… 5 分 18．证明：连接 AC 交 BD于点O ，连接 AF ，CE ． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA OC= ，OB OD= ． ……………… 2 分 ∵ BE DF= ， ∴OE OF= . ……………… 3 分 ∴四边形 AECF 是平行四边形. ………………………… 4 分 ∴ AE CF= . ………………………… 5 分 19．解：（1） 3 0−( , )， 0 2( , )； ………………………… 2 分 （2）略； ………………………… 3 分 （3） 7 0−( , )或 1 0( , )． ………………………… 5 分 20．解：（1）∵函数 0y kx b k= + ( )的图象经过点 1 4A −( , )和 3 0B( , )， ∴ 4 3 0 k b k b − + =  + = , . 解得 1 = 3 k b = −   , . ………………………… 2 分 A B C D O F E 第9页/共12页 ∴该一次函数的解析式为 3y x= − + ． ………………………… 3 分 （2） 45°； ………………………… 4 分 （3）5 ． ………………………… 5 分 21．解：（1）如右图所示； …… 2 分 （2）11； ………………………… 4 分 （3）<． ………………………… 6 分 22．（1）证明：依题意，得 ∆ 22 4 1 2 1m m= −   −( ) ( ) ………………………… 1 分 24 8 4m m= − + 24 1m= −( ) ． ………………………… 2 分 ∵ 24 1 0m −( ) ≥ ， ∴方程总有两个实数根． ………………………… 3 分 （2）解：由求根公式，得 22 4 1 2 m m x −  − = ( ) 2 2 1 2 m m−  − = ( ) ． ∴ 1 1x = − ， 2 2 1x m= − + ． ………………………… 4 分 ∵方程有一个根不小于 5 ， ∴ 2 1 5m− + ≥ ． ∴ 2m −≤ ． ∴m的取值范围是 2m −≤ ． ………………………… 5 分 23．解：设道路的宽度为 mx ．根据题意，得 ………………………… 1 分 22 30 560x x− − =( )( ) ． ………………………… 3 分 解得 1 2x = ， 2 50x = （不合题意，舍去）． ………………………… 5 分 答：道路的宽度为 2 m． ………………………… 6 分 24．（1）证明：∵ BD MC∥ ， BD MC= ， ∴四边形 BMCD 是平行四边形． ∵ 90ACB = °，CM 是 AB边上的中线， ∴ 1 2 CM AB BM= = ． 7 3 2 4 6 8 10 频数 单日票房/亿元0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第10页/共12页 ∴□ BMCD 是菱形． ………………………… 3 分 （2）解： 过点 D作 DH AC⊥ 交 AC 的延长线于点 H ，如图． ∵Rt ACB△ 中， 90ACB = °， 1 60 = °， ∴ 30BAC = °． ∴ 2 4AB BC= = ， 2 3AC = ． ∵ M 是 AB的中点， ∴ 1 2 2 MB AB= = ． ∵四边形 BMCD 是菱形， ∴ 2CD MB= = ，CD MB∥ ． ∴ 2 30BAC = = °． ∴ 1 1 2 DH CD= = ， 3CH = ． ∴ 3 3AH AC CH= + = ． 在Rt AHD△ 中， 90H = °， 由勾股定理，得 2 2 27 1 2 7AD AH DH= + = + = ． ………………………… 6 分 25．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ． ………………………… 1 分 ∴ 1 2 = ． ∵四边形CDMN 沿直线MN 翻折得到四边形 AEMN ， ∴ 3 2 =  ． ………………………… 2 分 ∴ 3 1 =  ． ∴ AM AN= ． ………………………… 3 分 （2）解： 设 AM x= ，则 AN AM x= = ． ∵四边形CDMN 沿直线 MN 翻折 得到四边形 AEMN ， ∴CN AN x= = ， ∴ 8BN BC CN x= − = − ． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ 90B = °． 在Rt ABN△ 中，由勾股定理，得 2 2 2AB BN AN+ = ， 即 2 2 24 8 x x− =+( ) ． ………………………… 5 分 解得 5x = ． 即 5AM = ． ………………………… 6 分 3 2 1 N A B C D E M 2 1 A B D C M H 第11页/共12页 26．解：（1）∵一次函数 ( 0)y kx b k= +  的图象由函数 2y x= 的图象平移得到， ∴ 2k = . ………………………… 1 分 又∵一次函数 2y x b= + 图象经过点 1 1A −( ，)， ∴ 2 1 1b − + =( ) . 解得 3b = . ∴该一次函数的表达式为 2 3y x= + . ………………………… 2 分 ∵函数 2 3y x= + 的图象与过点 0 5( ， )且平行于 x轴的直线交于点 B ， ∴点 B的纵坐标为 5 ． 令 5y = ，得 1x = ． ∴点 B的坐标为 1 5( ，)． ………………………… 3 分 （2） 2 4n− ≤ ≤ . ………………………… 5 分 27．（1）解： ∵四边形 ABCD 是正方形，如图1， ∴ AB CB= ， 90ABC BCD = = °. ∴ 90ABP BCQ = = °， 2 1 90 + = °. ∵ BP CQ= ， ∴ ABP△ ≌ BCQ△ ． ∴ 3 1 =  . ∵ 2 3 90 + = °， ∴ 90AEQ = °. …………… 2 分 （2）依题意补全图形，如图． 数量关系： DM FM= ． 证明：过点 A作 AN AE⊥ 交 EM 的延长线于点 N ，连接DN ，如图 2 . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD AB= ， 90BAD = °． ∴ 4 3 =  ． ∵ 90AEQ = °， EM 平分 AEQ ， ∴ 5 45 = °． ∴ 6 5 45 = = °， 135MEF = °， ∴ AN AE= ． ∴ AND△ ≌ AEB△ ． ∴ ND EB= ， 90AND AEB = = °． ∴ 135MND MEF = = °． 图 1 3 2 1 Q P DA E B C F 4 6 5 3 2 1 Q P DA E B C F N M 图 2 第12页/共12页 ∵ EF EB= ， ∴ ND EF= ． ∵ DMN FME =  ， ∴ DMN△ ≌ FME△ ． ∴ DM FM= ． ………………………… 7 分 28．解：（1） EF FH， ； ………………………… 2 分 （2） 6− ； ………………………… 3 分 （3） 1 6 1m− − −≤ ≤ 或 1 1 6m +≤ ≤ ． ………………………… 7 分