精品解析：江苏省南京师范大学附中宿迁分校2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南京师范大学附中宿迁分校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点（1,-2） D. 若点，都在图象上，且，则 7. 若点、、在反比例函数（是常数）的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①③④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 计算的结果是______． 11. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 12. 如果，则＝___________________． 13. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为______． 14. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 16. 如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为________． 17. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数，其图像恰好过的中点，则点的坐标为___． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 计算 （1）； （2） 21. 先化简，再求值：，其中a3． 22. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：ACE≌DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 23. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了__________名观众，其中喜欢哪吒的人数有_____名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 24. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25. 如图，直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx＋2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA＋PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． （1）今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ （3）按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元． 27. 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______； 【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 如图3，在中，，于D点，已知，求高的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，为矩形内一点（不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”． （1）在点，，，中，是矩形 “常积点”的为______；（填写所有正确的字母代号） （2）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值； （3）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，一次函数（为常数，且）的图像上“常积点”的个数随着的值变化而变化，请直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京师范大学附中宿迁分校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的认识，只含有一个未知数且未知数最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①在分母中含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； ④只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 是一元二次方程的是③，④，共两个， 故选：B． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频数与频率，根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得第5组的频数为：， 则第5组的频率为， 故选：B． 5. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点（1,-2） D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确； C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2<y1，故本选项错误. 故选:D. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键. 7. 若点、、在反比例函数（是常数）的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值的大小，由题意得出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①③④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤． 【详解】∵，但 ∴，故①错误； ∵， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵中点为F ∴，故②正确； 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∴，故③正确； 如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，而 ∴，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识点，解题的关键是根据摸到红球的频率稳定值确定其概率，再结合概率公式列出方程求解白球的数量． 设口袋中白球的个数为x，根据红球的频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为；利用概率公式"红球个数除以总球数等于红球概率"列出方程，求解得出白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为x个． ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为． 根据概率公式可得： 等式两边同乘得： 展开得： 移项化简得： 解得． 故答案为：． 12. 如果，则＝___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分． 【详解】解：， ， ． 故答案为． 13. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据函数图象和两个函数的交点横坐标求解即可． 【详解】解：由图象可得，或， 故答案为：或． 14. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知垂直平分，得到，再由矩形的性质推出，即可证明是等边三角形，则，，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵α方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵α、β是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法等知识点，连接,先证明四边形是矩形，得出,当时最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：连接,如图所示： , , , 四边形是矩形， , ,,, ， 当时，最短，此时的面积, 的最小值, 线段的最小值为， 故答案为：． 17. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数，其图像恰好过的中点，则点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点Q，过点Q作，利用反比例函数k值的几何意义，三角形中位线定理，勾股定理等计算即可． 【详解】解：连接，与的交点为点Q， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴Q也是的中点， 根据折叠性质，得到于点Q，且 ∴直线是的垂直平分线， ∴， 过点Q作，垂足分别为H，G， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， 连接，根据折叠的性质，得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，反比例函数的性质，中位线定理，勾股定理，熟练掌握反比例函数的性质，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 20. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）两边都乘以，化分式方程为整式方程，解之求出x的值，检验即可得出答案； （2）利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：两边都乘以得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， ； 【小问2详解】 解：， ， 则， 或， 解得， 21. 先化简，再求值：，其中a3． 【答案】； 【解析】 【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当a3时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 22. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：ACE≌DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 【答案】（1） ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 又∵AE=DF，∠A=∠D， ∴ACE≌DBF. （2） ∵ACE≌DBF， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CEBF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证AC=BD，再由SAS即可判定ACE≌DBF； （2）由ACE≌DBF，根据全等三角形的性质可得CE=BF，∠ACE=∠DBF， 即可得CEBF，所以四边形BFCE是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了__________名观众，其中喜欢哪吒的人数有_____名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 【答案】（1）150，60 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据喜欢敖丙的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求出喜欢哪吒的人数； （2）根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以乘以即可求解； （3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的观众共有（人）， 喜欢哪吒的人数为（人）， 故答案为：150，60； 【小问2详解】 解：∵； ∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人． 24. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25. 如图，直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx＋2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA＋PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为：y＝x＋2，反比例函数解析式为：； （2）4； （3）P（，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入直线和反比例函数中，解方程，即可得出结论； （2）先求出点B的坐标，最后用三角形的面积公式计算，即可得出结论； （3）先作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P，再求出直线的解析式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4）， ∴4=2k+2，， ∴k=1，m=8， ∴直线解析式为：y＝x＋2，反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 如图1，作AE⊥x轴于点E， 当y=0时，则0=x+2， 解得：x=-2， ∴B（-2,0）， ∵A（2,4）， ∴AE=4， ∴△AOB的面积为：； 【小问3详解】 存在这样的点P使PA＋PC最短， 如图2，作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P， ∵A（2,4）， ∴（2,-4）， 在y＝x＋2中，x=0时，y=2， ∴C（0,2）， 设所在直线解析式为：y=mx+n， 将、C坐标代入y=mx+n， 得， ∴， ∴所在直线解析式为：， 当y=0时，x=， ∴P（，0）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，“将军饮马”问题的应用，找出点P的位置是解本题的关键． 26. 2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． （1）今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ （3）按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元． 【答案】（1）今年5月份款汽车每辆售价为万元 （2）共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆 （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元，根据“卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案； （3）设总获利为万元，购进款汽车辆，由题意得出关于的关系式，结合题意得出，即可得解． 【小问1详解】 解：设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意； ∴今年5月份款汽车每辆售价为万元； 【小问2详解】 解：设购进款汽车辆，则购进款汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的值可以为、、， ∴共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆； 【小问3详解】 解：设总获利为万元，购进款汽车辆， 则， ∵要使（2）中所有的方案获利相同， ∴， ∴． 27. 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______； 【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 如图3，在中，，于D点，已知，求高的长． 【答案】【问题发现】①；②【类比探究】【拓展延伸】6 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质，得到，得到，②利用特殊角的三角函数值求的值即可． （2）延长到点M，使得，证明,，再利用勾股定理计算即可． （3）根据圆周角定理，构造辅助圆，利用勾股定理，垂径定理计算即可． 【详解】（1）∵绕点A逆时针旋转得， ∴， ∴， 故答案为：． ②∵绕点A逆时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）延长到点M，使得， ∵四边形是正方形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 设正方形的边长为x， ∵，， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）， 故正方形的边长为． （3）设的外接圆圆心为点F，连接， 则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，垂足为点E， 则， ∴； 过点F作，垂足为点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判断和性质，构造辅助圆，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握三角形全等的判定和性质，构造辅助圆，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数值是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，为矩形内一点（不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”． （1）在点，，，中，是矩形 “常积点”的为______；（填写所有正确的字母代号） （2）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值； （3）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，一次函数（为常数，且）的图像上“常积点”的个数随着的值变化而变化，请直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围． 【答案】（1）、、 （2）或 （3）当，的个数为0；当或或，的个数为1；当且，的个数为2 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为(x，y)，用x，y分别表示出四个小正方形的面积，再将各点坐标代入，与4作比较即可； （2）分类讨论：①当是点对应的小矩形的顶点时和②当A是点对应的小矩形的顶点时，根据“常积点”的定义列出方程，解出m的值，再检验即可； （3）结合（1）用x，y所表示的和，再根据题意可知，求M的个数即求出直线与和在区间0<x<4，0<y<3的交点个数即可．画出图像求出四个临界值点的坐标，再根据坐标可求出该直线经过该临界点时的k的值，最后结合图象分类讨论交点个数即可； 【小问1详解】 设点P的坐标为(x，y)(0<x<4，0<y<3)． 如图，可知，，，． 对于点D有：， ∴，，，，均不与OA=4相等，不是“常积点”； 对于点E有：， ∴，，，，其中和的值与OA的值相等，是“常积点”； 对于点F有：， ∴，，，，其中的值与OA的值相等，是“常积点”； 对于点G有：， ∴，，，，其中的值与OA的值相等，是“常积点”； 综上，是“常积点”的点有E、F、G． 故答案为：E、F、G 【小问2详解】 分类讨论①当是点对应的小矩形的顶点时，可得方程，解得或， 经检验，当时，点不在矩形内，舍去； ②当A是点对应的小矩形的顶点时，可得方程， 解得或， 经检验，都符合题意； 综上，或． 【小问3详解】 根据点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上， ∴对应或，其中(0<x<4，0<y<3) 求M的个数即求出直线与和在区间0<x<4，0<y<3的交点个数即可． 如图，对于，当时，，即I(0，1)， 当时，，即K(，3)； 对于，当时，，即L(，3)， 联立， 解得：，即J(2，2)． 将I(0，1)代入直线解析式得：， 解得：，即解析式为； 将K(，3)代入直线解析式得：， 解得：，即解析式为； 将L(，3)代入直线解析式得：， 解得：，即解析式为； 将J(2，2)代入直线解析式得：， 解得：，即解析式为； 由图可知，①当一次函数的图象在上方时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3没有交点，即M=0； ②当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3有一个交点，即M=1； ③当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3有两个交点，即M=2； ④当一次函数的图象就是直线时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3有1个交点，即M=1； ⑤当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3有两个交点，即M=2； ⑥当一次函数的图象在下方时，即时，与和的图象在区间0<x<4，0<y<3有1个交点，即M=1； 综上可知，当、和时，M的个数为1，当和时M的个数为2． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解一元二次方程．读懂题意，理解“常积点”的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $