2025年高二数学秋季开学摸底考（浙江专用）

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B B C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】; 13．【答案】; 14．【答案】4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】(1)(2)20； 20.32(3)23.86 【详解】（1）由志愿者服务时间低于18小时的频率为，·······1分 ，·······1分 所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为.·······1分 （2）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；·······1分 由，解得，·······2分 估计平均数为；·······2分 （3），，·······2分 由， 第75百分位数位于之间，设上四分位数为，· 则，解得． 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为.·······3分 16．（15分）【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ·······3分 .·······2分 由，解得 即时，函数单调递减，·······2分 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以.·······3分 若，则， . 由，得，又， ·······2分 所以，则，·······1分 故. 故的值为.·······2分 17．（15分）【答案】（1）存在；理由见解析；（2）． 【详解】（1）存在的中点E，使得平面，·······2分 证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则，·······1分 ∵， ∴，·······1分 ∵，， ∴，故四边形为平行四边形，即， 又∵平面，平面， ∴平面．·······3分 （2）取的中点O，连接，， ∴，则，·······1分 ∵面面，面面，平面， ∴面，·······2分 设点A到平面的距离为d，则， ∴，又面， ∴，，，可得，易知，·······2分 ∴，，， ∴，，·······1分 ∴，可得，即点A到平面的距离为．·······2分 18．（17分）【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）,设方程为：， 将点坐标代入得，，所以直线.·······5分 （2）联立所在的直线方程与所在直线方程，,得点坐标.·······5分 （3）设，则中点坐标为点坐标满足所在的直线方程为所在直线方程，代入得方程组， 故点坐标为，根据两点式，得直线方程为：.·······7分 19．（17分）【答案】(1)；(2)（ⅰ）或；（ⅱ） 【详解】（1）时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为；·······3分 （2）（ⅰ），， 其中，故不等式解集为或，·······2分 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即，·······3分 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或，·······2分 所以 或； （ⅱ）由（ⅰ）可得，则， 即，·······2分 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或，·······2分 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以，由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为.·······3分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修1，必修2，选修1前2章部分内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24高一下·浙江杭州·期末）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 2．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 3．已知，，：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为（    ） A． B． C． D． 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=50，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（嘉兴高二开学考）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．在区间上单调递减 10．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 11．长方体中，，，点为线段上的动点，且不与点重合，为平面内一动点，将绕旋转，得到圆锥，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 B．若，则存在点，使得直线平面 C．若圆锥表面积为，则圆锥体积最大值为 D．若，，则长方体内还可完全放入一个半径为的小球 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 13．已知实数满足，且，则 . 14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24高二上·浙江杭州·开学考试）为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； (2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 16．已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 17．如图，在四棱锥中，，． （1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由； （2）若平面平面，，，求点A到平面的距离． 18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）直线方程； （2）顶点的坐标； （3）直线的方程 19．已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， (1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， (2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t；（ⅱ）求I的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24高一下·浙江杭州·期末）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出复数,再根据虚部的概念进行选择. 【详解】由. 所以复数的虚部为：2.故选：D 2．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】由图知，阴影部分所示的集合为，根据条件求出，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，阴影部分所示的集合为， 由，得到，所以，又， 所以，得到阴影部分所示的集合的元素共有个，    故选：B. 3．已知，，：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据解出，再利用充分性和必要性即可判断. 【详解】解：因为，， ： 即，即，则， 而：， 所以，是的充分不必要条件，故选：. 4．（24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：，解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意，故选：B. 5．一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率模型，列举基本事件，求解概率即可. 【详解】解：根据题意，每人抛掷一次，朝下一面的数字的所有情况有： ，，，，共16种， 其中朝下一面的数字和为奇数的情况为，，，，共8种， 所以，甲获胜的概率为，故选：B 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=50，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由余弦定理可得AC，在中，由余弦定理可得CE，然后可得BC，最后在中，由余弦定理可得AB. 【详解】记AC与BD的交点为E， 由题可知，在中，，所以 由余弦定理可得，则 在中，易知，，由余弦定理有 解得 在中，易知，所以 在中，由余弦定理可得 ，所以m，故选：C 7．已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则， 因为函数在区间上单调递增，结合各选项，只需即可， 所以，即，又因为，所以.故选：C. 8．已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解. 【详解】将正四面体补形成正方体，如图，因为，，所以， 又是平面内的相交直线，所以平面平面， 因为到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为， 结合正方体对称性可知，球心到平面的距离为3， 记正四面体的外接球的半径为，则，解得， 则外接球被平面截得的截面半径，所以，截面面积为.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23嘉兴高二开学考）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】CD 【分析】由辅助角公式化简求出函数的解析式，再逐个判断函数的周期，对称性及单调性即可． 【详解】对于A，因为，故函数的周期，故A错误； 对于B，因为，即函数关于点对称，故B错误； 对于C，当时，则取得最值，即函数关于直线对称，故C正确； 对于D，令，，则， 当时，可得函数的一个单调递减区间为，而，故D正确.故选：CD. 10．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】根据相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可得， ，所以与相互独立，故B正确； ，所以与相互独立，故C正确； ，所以与相互独立，故D正确； ，故A错误.故选：BCD. 11．长方体中，，，点为线段上的动点，且不与点重合，为平面内一动点，将绕旋转，得到圆锥，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 B．若，则存在点，使得直线平面 C．若圆锥表面积为，则圆锥体积最大值为 D．若，，则长方体内还可完全放入一个半径为的小球 【答案】AC 【分析】A利用圆锥的体积公式即可；B先证平面平面，再将问题转化为判断直线与平面的位置关系；C设圆锥的底面半径、高、母线长，根据表面积列出关系式，再利用消元法求体积的最值；D根据对称性，若存在，则球心在平面内，在其截面中研究其存在性即可. 【详解】对于A，所求几何体体积为，故A正确； 对于B，连结，    在长方体中，，平面，平面，则平面， 因，则同理可证平面， 又因，则平面平面， 又点在底面的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故线段的轨迹为以为底面半径的圆锥的侧面，    假设存在点，使得平面，则有平面或平面， 由图可知点的轨迹与线段不存在交点，故直线与平面的位置关系为相交， 故假设不成立，则不存在点，使得平面，故B错误； 对于C，设圆锥的底面半径为，高为，母线长， 则其表面积为，，可得， 则 可得 当，即时，圆锥体积取得最大值，最大值为，故C正确； 对于D，此时圆锥即圆锥， 记圆锥在正方形内与相交于点，连，    易知圆锥，长方体均关于平面对称，若取到完全能放入的最大球，则只需考虑球心在平面内的情况，取截面四边形，延长，交于点，    显然为中点，故直角三角形中，，， 故，故直角三角形的内切圆半径为， 内切圆直径为，恰与梯形上下底同时相切， 则半径为的圆为梯形内能放入的最大圆， 此时半径为的小球与圆锥侧面上直线，长方体侧棱相切，且与长方体上下底面相切，但同时，长方体内完全放入的小球必不能与侧棱相切，故D错误，故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此，故答案为：2. 13．已知实数满足，且，则 . 【答案】 【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案. 【详解】由可知， 所以，即，所以.故答案为：. 14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得，由化简得. 设，代入，，分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则， 故.故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24高二上·浙江杭州·开学考试）为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； (2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】(1) (2)20； 20.32 (3)23.86 【分析】（1）用频率估计概率可得； （2）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可. 【详解】（1）由志愿者服务时间低于18小时的频率为， ， 所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为. （2）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20； 由，解得， 估计平均数为； （3），， 由， 第75百分位数位于之间，设上四分位数为， 则，解得． 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为. 16．已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间； （2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得. 【详解】（1） . 由，解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故. 故的值为. 17．如图，在四棱锥中，，． （1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由； （2）若平面平面，，，求点A到平面的距离． 【答案】（1）存在；理由见解析；（2）． 【分析】（1）取，的中点E，F，连接，，，易证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定证平面. （2）由等体积法有，取的中点O，连接，，易得面，求出、、，进而可求A到平面的距离． 【详解】（1）存在的中点E，使得平面， 证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，故四边形为平行四边形，即， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点O，连接，， ∴，则， ∵面面，面面，平面， ∴面， 设点A到平面的距离为d，则， ∴，又面， ∴，，，可得，易知， ∴，，， ∴，， ∴，可得，即点A到平面的距离为． 18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）直线方程；（2）顶点的坐标；（3）直线的方程 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）由,设方程为，将点的坐标代入，即可求解直线方程；（2）联立所在的直线方程与所在直线方程，即可求得点坐标；（3）设，得中点点坐标满足所在的直线方程为，代入方程组，求解点，进而得到直线的方程. 试题解析：（1）,设方程为：， 将点坐标代入得，，所以直线. （2）联立所在的直线方程与所在直线方程，,得点坐标. （3）设，则中点坐标为点坐标满足所在的直线方程为所在直线方程，代入得方程组， 故点坐标为，根据两点式，得直线方程为：. 19．已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， (1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， (2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t；（ⅱ）求I的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）或；（ⅱ） 【分析】（1）解不等式得到或，的定义域为，所以或，从而求出区间长度； （2）（ⅰ）不等式解集为或，设的两个根为，的两个根为，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，结合正弦和差公式得到答案； （ⅱ）由（ⅰ）可得，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到，所以，所以，故，所以，故的最大值为. 【详解】（1）时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； （2）（ⅰ），， 其中，故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或， 所以 或； （ⅱ）由（ⅰ）可得，则， 即， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或， 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以，由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修1，必修2，选修1前2章部分内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24高一下·浙江杭州·期末）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 2．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 3．已知，，：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为（    ） A． B． C． D． 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=50，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23嘉兴高二开学考）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．在区间上单调递减 10．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 11．长方体中，，，点为线段上的动点，且不与点重合，为平面内一动点，将绕旋转，得到圆锥，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 B．若，则存在点，使得直线平面 C．若圆锥表面积为，则圆锥体积最大值为 D．若，，则长方体内还可完全放入一个半径为的小球 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 13．已知实数满足，且，则 . 14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24高二上·浙江杭州·开学考试）为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； (2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 16．已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 17．如图，在四棱锥中，，． （1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由； （2）若平面平面，，，求点A到平面的距离． 18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）直线方程； （2）顶点的坐标； （3）直线的方程 19．已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， (1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， (2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t；（ⅱ）求I的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$