精品解析：湖南省益阳市益阳师范高等专科学校附属学校2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

益阳师专附属学校2024年下学期期中考试试卷八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的周长为26，一边为11，则腰长为（ ） A. 11 B. 7.5 C. 11或7.5 D. 以上都不对 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧．两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED．一定正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 7. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是(　 　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 8. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知直线及直线外一点，要求利用尺规作图过点作直线的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ） A. 两种作法都正确 B. 两种作法都错误 C. 左边作法正确，右边作法错误 D. 右边作法正确，左边作法错误 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若分式值为0，则x的值为__________． 12. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 13. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 14. 如图，在中，，，垂足为D，E、F分别是上的点，且，如果，则的度数为______________． 15. 已知、两地相距40千米，、两地相距50千米，甲乙两车分别从、两地同时出发到地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达地，设乙车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是______． 16. ______． 17. 已知，则的值为___________ 18. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 先化简，再求值：，并从0，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 23. 我们知道．假分数可以化为带分数，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或大等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和）． 例如：； ． 请根据上述条件解决下列问题： （1）将分式化为带分式； （2）若分式的值为整数，求的整数值． 24. 感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用： 如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 25. 某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 26. （1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳师专附属学校2024年下学期期中考试试卷八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，无意义，故此选项不符合题意； C、x为任何实数时，，故一定有意义，故此选项符合题意； D、当时，分式无意义， 故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】A．，故不正确，不符合题意； B．，故不正确，不符合题意； C．，故正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则和积的乘方和幂的乘方的运算法则求解． 【详解】∵am=2，an=3 ∴a4m-3n=a4m÷a3n=（am）4÷（an）3=16÷27=． 故选B． 【点睛】此题考查了同底数幂的除法以及积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，将原式通分后，化简得到结果． 【详解】解：原式 故选C． 5. 等腰三角形的周长为26，一边为11，则腰长为（ ） A. 11 B. 7.5 C. 11或7.5 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，分两种情况讨论：当11为腰长时，底边为4，验证是否满足三角形三边关系；当11为底边时，腰长为7.5，同样验证三边关系．两种情况均成立． 【详解】当11为腰长时： 另一腰也为11，底边长为． 验证三边关系：，，均成立． 此时腰长为11． 当11为底边时： 两腰之和为，故每边腰长为． 验证三边关系：，，均成立． 此时腰长为7.5． 综上，腰长为11或7.5， 故选C． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧．两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED．一定正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得到，则DE垂直平分BC，所以EB＝EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝∠C，然后根据等角的余角相等得到∠A＝∠EBA. 【详解】由作法得，而D为BC的中点，所以DE垂直平分BC，则EB＝EC， 所以∠EBC＝∠C， 而， 所以∠A＝∠EBA， 所以①②正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质特点是解决本题的关键. 7. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是(　 　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB=∠BAD． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE， 又∠BAD=∠BAC-∠CAD，∠CAE=∠DAE-∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∵∠DAC=60°，∠BAE=100°， ∴∠BAD=（∠BAE-∠DAC）=（100°-60°）=20°， 在△ABG和△FDG中，∵∠B=∠D，∠AGB=∠FGD， ∴∠DFB=∠BAD=20°． 故选B． 【点睛】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，准确识图也是考查点之一． 8. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 9. 已知直线及直线外一点，要求利用尺规作图过点作直线的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ） A. 两种作法都正确 B. 两种作法都错误 C. 左边作法正确，右边作法错误 D. 右边作法正确，左边作法错误 【答案】A 【解析】 【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线； 【详解】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F， 作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F， 作法2中,，先作的平分线， ∴ 再以点D为圆心DA为半径作圆，交的平分线于点F， ∴， ∴， ∴，即内错角相等， 连接， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴两种作法都正确 故选：A. 【点睛】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理. 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若分式值为0，则x的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据分式的值等于0，可得分子等于0，分母不等于0，进而即可求解． 【详解】解：∵=0， ∴且≠0， ∴x=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，掌握“分式的值等于0，可得分子等于0，分母不等于0”是解题的关键． 12. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 13. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 【答案】对应角相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 14. 如图，在中，，，垂足为D，E、F分别是上的点，且，如果，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一，可得，根据斜边和直角边对应相等可以证明，利用角的关系即可求得的度数．解题的关键是熟练运用等腰直角三角形三线合一性质． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中，， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 已知、两地相距40千米，、两地相距50千米，甲乙两车分别从、两地同时出发到地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达地，设乙车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程即可． 【详解】解：设乙车的速度为千米/小时，则甲车的速度为千米/小时， 由题意得，． 故答案为：． 16. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的四则混合运算，原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后化为最简结果即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 已知，则的值为___________ 【答案】-4 【解析】 【分析】根据已知求出a﹣b的值，把a﹣b当作一个整体代入，把所求代数式化成含有a﹣b的形式，代入后进行约分即可求出答案． 【详解】∵﹣=2，∴b﹣a=2ab，即a﹣b=﹣2ab，∴原式==－4． 故答案为－4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和约分的应用，解答此题的关键是把所求的代数式化成含有a﹣b的形式，题型较好，有一定的代表性，难度适中．用了整体代入的思想． 18. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和幂的运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意最后要检验； （1）方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程即可； （2）方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验，把代入得， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘得：， 解得：， 检验，把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 21. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 又， ． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 先化简，再求值：，并从0，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴，即， ∴当时，原式，当当时，原式． 23. 我们知道．假分数可以化为带分数，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或大等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和）． 例如：； ． 请根据上述条件解决下列问题： （1）将分式化为带分式； （2）若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】（1） （2）或0或4或 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用所给的带分式的形式进行解答即可； （2）结合题目所给的方式进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵分式的值为整数， ∴，， 解得：或0或4或． 24. 感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用： 如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 【答案】 感知：证明：∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 应用： 【解析】 【分析】本题为三角形的综合运用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于通过三角形全等找出对应的边角关系. 探究：证明，可得； 应用：过A点作的高线，垂足为F．先证明，可得，利用面积求得，则的面积可求出． 【详解】感知：略 应用：解：过A点作的高线，垂足为F． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的面积是， ∴的面积是． 25. 某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克6元 （2）超市在这两次苹果销售中共盈利4040元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键． （1）设试销时该品种苹果的进价是每千克元，根据等量关系“本次数量=试销时的数量”列出分方程求解即可． （2）先求出试销时和第二次进的苹果数量，再根据“”列出算式计算即可． 【小问1详解】 解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元， 依题意可得：，解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元． 【小问2详解】 解：试销时购进苹果的质量为（千克）， 第二次购进苹果的质量为（千克）， 盈利为（元）． 答：超市在这两次苹果销售中共盈利4040元． 26. （1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 【答案】（1）解：， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $