精品解析：浙江省杭州高级中学（贡院校区）2024-2025学年高一上学期分班考试数学试题

数学 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分120分，考试时间100分钟. 2.考试过程中，不得使用计算器； 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图直线与双曲线交于点、，过作轴于点，连接BM，若，则值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 若：，，（），则：代数式值等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，且满足，，则的值为（ ） A. 23 B. C. D. 5 如下图所示，（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组，只有正数解的概率为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某校初三两个毕业班学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）. A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分） 9. 在中，，若斜边AB是直角边的3倍，则的值是__________. 10. 如图，在中，，，，则__________. 11. 已知非零实数a、b满足，则等于__________. 12. 如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为__________. 13. 时，函数的最小值为，则实数a的值为__________. 14. 如图，正方形的边长为，点、分别是边、上的动点，沿所在直线折叠正方形，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为__________. 15. 已知实数满足，，则__________. 16. 实数x，y，z满足，，则z的最大值是__________. 17. 已知对任意正整数n都有，则__________. 18. 已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若b是关于x的方程的整数根，则b的值为__________. 三、解答题：本大题有5小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B作轴，垂足为C，连接AC，求的面积. 20. 解关于x的不等式. 21. 已知关于x的方程有实根. （1）求a取值范围； （2）若原方程的两个实数根为，且，求a的值. 22. 如图，内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是的内心.求证： （1）OI是的外接圆的切线； （2） 23. n个正整数满足如下条件：且中任意个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分120分，考试时间100分钟. 2.考试过程中，不得使用计算器； 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图直线与双曲线交于点、，过作轴于点，连接BM，若，则值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可求的值. 【详解】因为的图象在第一、三象限，所以. 根据反比例函数的对称性，可知， , 所以,又∵， ∴, 故选：B 2. 中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线性质及四边形面积求法求得答案. 【详解】依题意，分别为中点，连接，则是的中位线， 因此的面积. 故选：C 3. 若：，，（），则：代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把都用表示出来，代入化简即可. 【详解】由题意：，解得：，（）， 所以. 故选：D. 4. 已知实数，且满足，，则的值为（ ） A. 23 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形给定等式，利用韦达定理及二次根式化简计算得解. 【详解】由，得，同理， 则是方程的两个不等实根，且， 因此，. 故选：B 5. 如下图所示，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用七边形内角和和外角和性质即可. 【详解】在七边形中，其内角和为， 即 ， 因为七边形的外角和为，即， 则， 故选：C. 6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组，只有正数解的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程，根据方程的解要满足的要求分析共有多少种可能即可求解概率. 【详解】当时，方程组无解； 当时，解得，由已知，即或. 又因为，所以可取的值为 共13组，而时，共可以有36组， 故满足题意的概率. 故选：D 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形性质、圆周角与同弧所对圆心角的关系求出，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】连接，设，在正方形中，， 由，得， 又，则，解得， 令，则，所以. 故选：D 8. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）. A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 【答案】B 【解析】 【分析】设最后一排有人，排了排，根据人数和为100列式，再探索方程解的个数. 【详解】设最后一排的人数为，一共排了排，则： ， 所以 所以. 因为，，，与奇偶性不同， 所以：若，则； 若，则. 其余均不合题意. 故选：B 二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分） 9. 在中，，若斜边AB是直角边的3倍，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求得直角边，根据正切函数的定义，可得答案. 详解】由题意作图如下： 由题意可得，则， 所以. 故答案为：. 10. 如图，在中，，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角定理，结合等腰三角形的性质求解. 【详解】因为，所以，所以. 所以. 由，得：， 所以. 根据三角形的外角定理，可得, 所以：，即. 故答案为： 11. 已知非零实数a、b满足，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，化简原式得，根据非负数的性质先求出的值，可得答案. 【详解】由题意可得，解得，则， 所以原式可化简为， 则，可得且，解得，， 所以. 故答案为：. 12. 如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形的边角关系，确定的长度，再根据，可得对应边成比例，求出的长. 【详解】因为等腰，，，所以. 又因为，所以. 所以. 在和中，，. 所以. 所以. 故答案：. 13. 时，函数的最小值为，则实数a的值为__________. 【答案】或3 【解析】 【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解. 【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，，，则； 当时，，，解得或，无解； 当时，，，解得，则， 所以实数a的值为或3. 故答案为：或3 14. 如图，正方形的边长为，点、分别是边、上的动点，沿所在直线折叠正方形，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论. 【详解】在正方形中，. 根据题意，为直角三角形. 若，则，所以； 若，则，又， 所以. 故答案为：或 15. 已知实数满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再化简，代入求值即可. 【详解】因为，所以. 又，所以. 所以 故答案为： 16. 实数x，y，z满足，，则z的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式，结合基本不等式构造关于的二次不等式，解二次不等式可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以， 又， 因为. 所以， 整理得：. 所以的最大值为：. 故答案为： 17. 已知对任意正整数n都有，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据数列的前项和求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和. 【详解】当时， 当时，，， 两式相减得： 时，上式也成立， 所以，. 所以. 当时， 所以 . 故答案：. 18. 已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若b是关于x的方程的整数根，则b的值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】将代入方程可得是2009的5个不同约数的积，再求出2009的所有约数并推理确定5个约数，进而求出. 【详解】依题意，，令， 由是5个不同的整数，是整数，得是5个不同的整数，且， 由，得有6个正约数， 有6个负约数，则从这12个约数中取出5个，其积为， 取出的5个约数不可能全是正数，因5个正约数乘积不小于， 因此取出的5个约数中有负约数，必为偶数个，不可能有4个， 因4个负约数的积不小于， 于是5个约数中，有两个负约数，3个正约数，而两个负约数积的最小值为， 3个正约数积的最小值为，且， 则，， 因此，而，所以. 故答案为：10 三、解答题：本大题有5小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B作轴，垂足为C，连接AC，求的面积. 【答案】（1）和； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）的信息求出线段长，边上高即可求出面积. 【小问1详解】 由在反比例函数的图象，得，则，， 于是，解得，则， 所以一次函数与反比例函数的解析式分别为和. 【小问2详解】 由（1）知，，由轴于C，得，点到直线距离， 所以的面积为. 20. 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 21. 已知关于x的方程有实根. （1）求a取值范围； （2）若原方程的两个实数根为，且，求a的值. 【答案】（1）； （2）10 【解析】 【分析】（1）换元转化为整式方程求解，再按二次项系数是否为0，结合判别式分类讨论求出范围. （2）利用根与系数的关系列式求解. 【小问1详解】 令，则的值域为. 原方程化为， 当时，，原方程有实根，则； 当时，，解得，则且. 当时，解得. 当时，可得，当时，可得. 综上所述a取值范围是. 小问2详解】 由（1）及已知，得方程的两个根满足， 则，即，而，所以. 22. 如图，内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是的内心.求证： （1）OI是的外接圆的切线； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形内心的性质和同弧上圆周角性质，从及等角对等边即可证得是的外心，然后证得，即可证得答案； （2）由（1）可以得到，，即可证得答案. 【小问1详解】 如图，易知，， 所以，，同理，，故点是的外心， 连接，因为是的中点，且，所以，即， 故是外接圆的切线. 【小问2详解】 如图，过点作于点，设与交于点， 由，则，因为，， 所以≌，所以， 因为是的内心，所以， 故. 23. n个正整数满足如下条件：且中任意个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. 【答案】9 【解析】 【分析】通过分析数之间的差值关系，结合已知的最大数和最小数来确定的最大值. 【详解】设中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数，. 即. 于是，对任意，都用为整数， 所以能被整除. 于是：为整数. 所以：是的正约数. 又，所以的约数有：. 又， 所以. 所以的最大值为8， 所以的最大值为9. 另一方面：令，，， ，，， ，，， 则这9个数满足题设要求. 综上所述，的最大值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$