精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

宁朔中学2024-2025（二）高一数学期末考试测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，， 则 B. 若，，， 则 C 若，，， 则 D. 若，， 则 8. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，多选和错选得0分） 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 10. 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 11. 下列命题中正确的是（ ） A 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若非零满足，则与的夹角是 D. 若为锐角，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 13. 已知且，则向量与的夹角是______． 14. 锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有道不同的题目，其中选择题道，判断题道，甲、乙两人各抽一道（不重复）． （1）甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，，． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁朔中学2024-2025（二）高一数学期末考试测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理求解即可. 【详解】由，知，解得. 故选：D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测规则结合边长计算求解. 【详解】由直观图可知，，，且， 所以， 所以的周长为. 故选：B. 4. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解. 【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，， 则，，， 则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 . 故选:C. 5. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果. 【详解】根据题意： 又 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，， 则 B. 若，，， 则 C. 若，，， 则 D. 若，， 则 【答案】D 【解析】 【分析】空间中线面、面面位置关系的判定，需结合立体几何基本定理进行推理. 【详解】A、也有可能在平面内，命题错误. B、只垂直于平面内的一条直线,不足以推出线面垂直，或者从面面垂直的性质角度看其缺少的条件，故结论不正确. C、只垂直于平面内的一条直线，不足以推出,也不足以推出,命题错误. D、由面面平行的性质可得:命题正确. 故选：D. 8. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积运算律结合可得，再根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，则， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，多选和错选得0分） 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差、方差、众数、平均数、百分位数的定义和公式对选项逐一计算判断即可. 详解】对于选项A： 极差是数据中最大值与最小值之差，所以这组数据的极差为，A正确； 对于选项B： 这组数据的平均值为， 所以方差为，B错误； 对于选项C： 这组数据的平均数为4，众数为4，所以C正确； 对于选项D： 因为，是整数，所以这组数据的第40百分位数为第二项和第三项的平均值为， 所以D正确. 故选：ACD. 10 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若非零满足，则与的夹角是 D. 若为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】左右同时平方可得即可判断A；举反例即可判断B；利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断C；由利用夹角为锐角排除夹角为0的情况可判断D. 【详解】对于A，，可得， 即，即， 则，因，则， 则与共线且反向，故A正确； 对于B，当向量都与垂直时，满足， 但是与不一定相等，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，由， 得，则为锐角即为锐角， 所以，解得且，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 【答案】240 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征即高一年级抽取人数占比即为高一学生人数所占总学生人数占比，列式即可求解. 【详解】因为三个年级学生人数之比依次为，所以高一年级抽取的比例为，得. 则高三年级抽取人数为. 故答案为：. 13. 已知且，则向量与的夹角是______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直表示、数量积的运算律、夹角的运算公式计算即可. 【详解】设向量与的夹角为， 因为，且， 则， 可得，所以， 又，所以. 故答案为：. 14. 锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有道不同的题目，其中选择题道，判断题道，甲、乙两人各抽一道（不重复）． （1）甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件，列举所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件发生的概率； （2）记事件甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出事件发生的概率. 【小问1详解】 解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件， 记两道选择题分别为、，两道判断题分别为、， 所有的基本事件有：、、、、、、、 、、、、，共种， 其中事件包含的基本事件有：、、、，共种， 由古典概型的概率公式可得. 【小问2详解】 解：记事件甲、乙二人中至少有一人抽到选择题， 则事件包含的基本事件有：、、、、、 、、、、，共种， 由古典概型的概率公式可得. 16. 在中，角，，所对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可求得，由此即可得解； （2）由三角形面角公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， ， 又， ，即. 又，. 【小问2详解】 ，的面积为， ，即. 由余弦定理可得， 即， 又，. 的周长为. 17. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，则有，由异面直线定义得或其补角即为所求，根据等边三角形性质求解即可； （2）连接，利用中位线性质得，最后利用线面平行的判定定理证明即可； （3）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 连接，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； 【小问2详解】 连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，所以直线平面． 【小问3详解】 .因为正方体的棱长为1，所以. 所以， 故三棱锥的体积为 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2）第75百分位数为84，平均数为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数和平均数的计算公式即可求解， （3）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 平均数约为 ； 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，，． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积公式直接计算. （2）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合余弦定理逆定理推理得证. （3）过作于，过作于，判定角为二面角的平面角，求出各边长，进而求出正弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，四边形是平行四边形，， 故的面积， 而平面，且，所以； 【小问2详解】 中，由余弦定理得， 则，由勾股定理逆定理得， 由平面，平面， 则，而平面，因此平面， 又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 在平面内过作于， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，于是， 在平面内过作于，连接， 由平面，则平面， 又平面，因此， 即为二面角的平面角，而， 则，， 在中，，， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$