第08讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第08讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根含参问题 典型例题七 立方根的实际应用 典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）8的立方根是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握若一个数的三次方等于即，则是的立方根成为解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是8的立方根． 故选D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义是即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【即时训练】 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，由已知可得与互为相反数，即得，进而解方程即可求解，掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， 即， 解得， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【答案】D 【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围． 【详解】解：要使成立， ∵任意一个实数都有立方根， ∴为任意数， 则m为任意数， 故选：D． 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 －0.2 【分析】根据实数的性质依次化简即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 故答案为：－0.2；；；． 【点睛】此题主要考查实数的性质化简，解题的关键是熟知立方根的定义． 【例4】（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题目中的思考过程是解题关键．仿照目中的思考过程推理即可． 【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数； （2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7； （3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343， 由此立方根的十位上的数是6，所以， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）在实数，，，中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A．是负整数，是有理数，不合题意； B．是正整数，是有理数，不合题意； C．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； D．是有限小数，是有理数，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键． 2．（24-25七年级上·温州·期中）正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 ． 【答案】 正数 负数 零/0 【分析】根据立方根的意义判断即可． 【详解】因为正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， 故答案为：正数；负数；零． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【答案】(1)一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． (2)①，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【分析】本题考查了立方根，平方根，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想说出四次方根的定义和性质，是解答本题的关键． （1）类比题目中平方根和立方根的定义，说出四次方根的定义，由此得到答案． （2）①根据四次方根的定义，求出答案．②根据①中的结果，得到四次方根的性质． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根以及立方根的概念，熟练掌握平方根以及立方根的概念是解决本题的关键． 根据平方根以及立方根的概念化简求解即可． 【详解】解：A：，故本选项不符合题意； B：，，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图是嘉淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①    （×） ②9的立方根是3    （√） ③1的平方根是    （√） ④    （√） A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，掌握“与实数相关的概念及运算”是解本题的关键.由算术平方根的含义可判断①，由立方根的含义可判断②，由平方根的含义可判断③，由算术平方根可判断④，从而可得答案． 【详解】解：；故①判断正确； 9的立方根是，故②判断错误； 1的平方根是，故③判断正确； 故④判断正确； ∴小刚的得分为分． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）计算： ， ， ． 【答案】 【分析】分别根据立方根、绝对值、平方根的定义来计算这三个式子．本题主要考查了立方根、绝对值、平方根的定义，熟练掌握各定义的含义是解题的关键． 【详解】解： ，即 故答案为：，， ． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）依据图中呈现的运算关系，请写出图中 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据题意可得，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，绝对值．首先计算算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）人教版七年级上册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 【答案】(1)；； (2)不是有理数，理由见解析 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是． 两边平方得①． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即． 所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数． （2）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得， 于是．两边立方得． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． 3．（24-25七年级上·浙江·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的十位上的数是 ； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：①两；②5；任务2： 【分析】本题主要考查了立方根的估算，熟练掌握通过比较立方数确定立方根位数、个位和十位数字的方法是解题的关键． 任务1： ①通过比较、与的大小，确定立方根的位数． ②先划去后三位，得到新数，再通过比较立方数确定十位上的数． 任务2：模仿素材步骤，先比较、与的大小确定位数；根据个位数字找对应立方数个位确定个位数字；划去后三位，比较立方数确定十位数字，进而得立方根． 【详解】任务1： ①，， ，即是两位数． 故答案为：两； ②划去后面的三位得， ，， ，即的十位上的数是． 故答案为：5； 任务2： 解：第一步：∵，，， ∴，即是个两位数． 第二步：∵110592的个位上的数是2，而， ∴的个位上的数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， ∴，即的十位上的数是4． ∴． 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【答案】B 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动 3 位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动 1 位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的值为（    ） A．或0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】直接利用“立方根等于本身的数为-1,0,1”求出x的值后，代入到所求表达式中进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 当时，； 当时，； 当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的概念，解决本题的关键是牢记“立方根等于本身的数为-1,0,1”． 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果，那么 ，的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，绝对值的含义，根据立方根的含义可得，的绝对值是的相反数，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 的绝对值是， 故答案为：， 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）根据图中呈现的运算关系，可知 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，因此只需要根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，根据一个数的立方根求这个数，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知a的平方根是，的立方根是b，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题考查的是平方根，立方根，算术平方根的含义，先根据平方根，立方根的含义求解，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵a的平方根是， ∴， ∵的立方根是b， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】(1)，，的平方根为 (2)，的立方根为 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解； （2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ； 的立方根是3， ， ， ， ， ， ， 的平方根为； （2）解：由（1）知，， 的算术平方根是4， ， ， ， ， 的立方根为． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12，见解析 【分析】此题考查了平方根和立方根知识的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 先运用平方根和立方根知识求得m，n的值，再求得的值，最后运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解：由题目，可知． ． 把代入，得． ． 的算术平方根为12． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的概念与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项正确，符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：6.69． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【分析】利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根， ∴B选项的结论不符合题意； ∵， ∴ ∴C选项的结论不符合题意； ∵， ∴ ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）定义运算，如，那么 ． 【答案】5 【分析】根据定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了新定义运算，算术平方根和立方根的计算，解题的关键是正确列出算式求解． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 【答案】56 【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是，接着得出，确定的十位数是5，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵， ∴的立方根是一个两位数； ∵的个位数是，且 ∴能确定的个位数字是6； 如果划除后面的三位数，得到175， ∵， ∴， ∴的十位数字是5， 即， 故答案为：56 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． （1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）根据定义求一个数的四次方根； （4）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①∵ ∴的四次方根是； ②0的四次方根是0； ③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）①； 故答案为：； ②， ∴． 故答案为：． 【典型例题六 立方根含参问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若，，则值为（　　） A．9或-3 B．-5或7 C．-9或3 D．1或-11 【答案】B 【分析】根据平方根与立方根的意义得到x+1＝±3，y＝﹣3，解得x＝2或﹣4，然后把x、y得值分别代入所求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵（x+1）2＝9，y3＝﹣27， ∴x+1＝±3，y＝﹣3， ∴x＝2或﹣4，y＝﹣3， ∴当x＝2，y＝﹣3时，2x﹣y＝7； 当x＝﹣4，y＝﹣3时，2x﹣y＝﹣5． 故选：B 【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，一个正数有两个平方根，负数的立方根是负数，熟练掌握平方根和立方根的性质是解决本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为27时，输出的值是（    ） A．3 B． C． D．32 【答案】B 【分析】利用立方根的定义，将x的值代入如图所示的流程，取27的立方根为3，为有理数，再次代入，得，为无理数符合题意，即为y值． 【详解】根据题意，x=27，取立方根得3，3为有理数，再次取3的立方根，得，为无理数.符合题意，即输出的y值为. 故答案选：B. 【点睛】此题考查立方根、无理数、有理数，解题关键在于掌握对有理数与无理数的判定. 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）若，则的取值为 【答案】或0 【分析】利用等式的性质将两边变为，得到，再分1-2a=0和1-2a≠0，两种情况分别求出a值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴若1-2a=0，即a=，等式成立， 若1-2a≠0，即a≠， 则，则a=0， 综上：a的值为或0， 故答案为：或0． 【点睛】本题考查了等式的性质，算术平方根和立方根的定义，解题的关键是根据已知等式得到． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知是有理数，若，则的所有值为 ． 【答案】12或 【分析】根据平方和立方的意义求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：∵a2=64，b3=64， ∴a=±8，b=4， ∴当a=8，b=4时， ∴a+b=8+4=12， 当a=-8，b=4时， ∴a+b=-8+4=-4， 故答案为：12或-4 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）求下列各式中x的取值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键． （1）移项，系数化成1，再根据平方根定义求出即可． （2）移项，再根据立方根定义求出即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 系数化为1得， 解得． （2）解：， 移项得， 开立方得， 解得． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根解方程， 熟练掌握求立方根和平方根的方法是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可求解； （2）根据立方根解方程即可求解． 【详解】（1）解： 或 或； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）（1）已知是的整数部分，求的平方根． （2）已知：关于x的多项式的值与x的取值无关．求的值． 【答案】（1）；（2）25 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点．熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的性质可得，求出a、b，再估算无理数的大小得出，再求出答案即可； （2）（1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与x的取值无关得出，再去括号，然后合并同类项即可化简，再把代入化简后的结果，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得：， ∵， ∵c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2） ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 当时，原式． 【典型例题七 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，该几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根解决问题，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为，则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【分析】本题主要考查平方根、立方根及次方根的意义，解题的关键是类比平方根和立方根的定义及性质． 类比平方根和立方根的定义及性质解答即可． 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 【典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案． 【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意； B.，，32的5次方根是2，故不符合题意； C.设 则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意； D.由的判断可得：错误，故不符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 【答案】 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵=2.477， ∴， ∵=1.8308，=0.18308， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)18 (2)够用，剩余79平方厘米 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答． 【详解】（1）依题意得：(cm)，即：正方形纸板的边长为18厘米； （2）依题意得：(cm)， 则剪切纸板的面积(cm2)， 剩余纸板的面积(cm2) 即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据平方根和立方根的意义化解，去绝对值，然后计算加减即可； （2）根据立方根的意义解方程即可． 【详解】（1） ； （2） 解得． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的意义的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的求解，立方根的求解，根据算术平方根以及立方根的定义逐项进行计算求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可． 【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根， 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 4．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）两个实数，若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义， 首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵n的立方根是， ∴， 把，代入， 所以的算术平方根是4． 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）实数与互为倒数，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的倒数，然后根据立方根的定义，即可求出a的值． 【详解】解：， 的倒数为， 与互为倒数， ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·浙江丽水·开学考试）若，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】根据零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）利用计算器求得，，，则 ． 【答案】324.6 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点，每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，据此进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：324.6 9．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【答案】42 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 10．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查利用立方根和平方根求方程； （1）利用立方根的概念解方程即可； （2）根据平方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 或． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，先分别根据对话内容，列式，求出；故，，所以，然后得出，且，得，因为为的立方根，故，即可作答． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ，， ， ，且， ； 为的立方根，， ， 即． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根含参问题 典型例题七 立方根的实际应用 典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）8的立方根是（    ） A． B． C． D．2 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）的值是 ． 【即时训练】 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例4】（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）在实数，，，中，无理数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·温州·期中）正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 ． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图是嘉淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①    （×） ②9的立方根是3    （√） ③1的平方根是    （√） ④    （√） A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）计算： ， ， ． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）依据图中呈现的运算关系，请写出图中 ． 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算：． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）人教版七年级上册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 3．（24-25七年级上·浙江·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的十位上的数是 ； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的值为（    ） A．或0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果，那么 ，的绝对值是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）根据图中呈现的运算关系，可知 ． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知a的平方根是，的立方根是b，求的算术平方根． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则 ； （2） 已知，，则 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根．                                3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）定义运算，如，那么 ． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【典型例题六 立方根含参问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若，，则值为（　　） A．9或-3 B．-5或7 C．-9或3 D．1或-11 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为27时，输出的值是（    ） A．3 B． C． D．32 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）若，则的取值为 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知是有理数，若，则的所有值为 ． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）求下列各式中x的取值 (1) (2) 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）（1）已知是的整数部分，求的平方根． （2）已知：关于x的多项式的值与x的取值无关．求的值． 【典型例题七 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，该几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ． 【例4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 2．（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 【典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）两个实数，若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是（    ） A．16 B．8 C． D．4 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）实数与互为倒数，则a的值是 ． 7．（23-24七年级上·浙江丽水·开学考试）若，则k的值为 ． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）利用计算器求得，，，则 ． 9．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 10．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$