第07讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第07讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的算术平方根 典型例题二 求一个数的平方根 典型例题三 平方根概念理解 典型例题四 利用算术平方根的非负性解题 典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题七 估计算术平方根的取值范围 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根概念 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·单元测试）若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： ； ． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）1的平方根是 ， ， ． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ） A．1 B．2 C．9 D．4 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）如果一个数的平方根是，那么这个数是 ． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【典型例题一 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）化简后的值为（   ） A． B．4 C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波期末）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）16的算术平方根为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）化简： ； ； ． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·单元测试）某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 4．（2024七年级上·浙江嘉兴·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【典型例题二 求一个数的平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）的负的平方根是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）若是16的算术平方根，则的平方根为 ． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【典型例题三 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）若一个正数的平方根是和，则a为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课前预习）一个正数有 个平方根，零只有 个平方根，它是0本身； 没有平方根． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25七年级上·浙江·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江期中·期中）已知，则 ， ． 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）已知满足，则的平方根是 ． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 3．（2025七年级上·浙江嘉兴·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若和是m的平方根，则 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知3是的一个平方根，是的一个平方根．则 ． 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 4．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）已知，，那么 ． 【例4】（2024七年级上·浙江嘉兴·专题练习）观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式： ； 3．（2025七年级上·浙江嘉兴·专题练习）观察下列各式： ，②，…… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【典型例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知，，，，则的值约是 ． 3．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）面积为的空地被400块相同的正方形地砖刚好铺满，每块地砖的边长是 m． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）已知一个长方体，其长、宽、高之比为4：2：1，底面积为，则这个长方体的体积为 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，把两个边长等于1个单位长度的小正方形通过裁剪、拼接的方法获得一个大正方形． (1)说明裁剪、拼接方法，画出示意图； (2)计算大正方形的边长； (3)借助圆规在数轴上找到大正方形的边长对应的数． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）定义一种新运算“◎”：，则等式中x的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·浙江温州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）对a，b，定义运算“*”如下：，已知，则实数m等于 ． 【例4】（24-25六年级上·上海·期中）定义：对于正整数、、，图形，已知， ． 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）对于实数a，b，定义的含义为当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 3．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 4．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 1．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 2．（24-25七年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 3．（2025七年级上·贵州·专题练习）一个正数x的两个平方根分别是与，求x和m的值． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如果a是2025是算术平方根，则的算术平方根是（　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）的平方根是 ． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，为实数，且，则 ． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ． 9．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的浙江嘉兴马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知正数m的两个平方根分别为和，求m和a的值． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 14．（2025·浙江·模拟预测）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的算术平方根 典型例题二 求一个数的平方根 典型例题三 平方根概念理解 典型例题四 利用算术平方根的非负性解题 典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题七 估计算术平方根的取值范围 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需判断各选项是否为负数即可． 【详解】解；A、，结果为正数，存在平方根，不符合题意． B、，绝对值非负，存在平方根，不符合题意． C、为负数，在实数范围内没有平方根，符合题意． D、的平方根为本身，存在平方根，不符合题意． 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·单元测试）若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正数的平方根的含义，利用正数的两个平方根互为相反数可得答案； 【详解】解：正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是，这两个平方根的和是． 故答案为：， 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： ； ． 【答案】 5 3 【分析】本题主要考查了求算术平方根及算术平方根的意义，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据算术平方根的意义即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：5，3. 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）1的平方根是 ， ， ． 【答案】 0.3 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根，算术平方根和立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：1的平方根是， ， ， 故答案为：，0.3，． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ） A．1 B．2 C．9 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）如果一个数的平方根是，那么这个数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的计算，掌握平方个的计算方法是解题的关键． 根据求一个数的平方根的计算方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个数是， 故答案为： ． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵，， ∴； 故答案为：． 【典型例题一 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）化简后的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根意义是解题的关键． 利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波期末）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，通过比较表格中不同边长对应的面积与1亩的面积（平方米），确定边长的范围即可． 【详解】解：由表可知，当时，， 当时，， 因， 故边长应在至之间， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）16的算术平方根为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是理解算术平方根的意义．直接根据算术平方根的意义求解． 【详解】解∶ 16的算术平方根为4， 故答案为∶4． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）化简： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了算术平方根的知识，根据算术平方根定义化简即可． 【详解】解：；；． 故答案为：；；． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·单元测试）某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握算术平方根的运算法则是解题的关键． 根据题意代入数字运算寻找规律即可解答． 【详解】根据题意得：，，，，，， ∴每次进行一次循环， ∵， ∴第步后，显示的结果是； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题考查算术平方根，理解并掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数组” ∵，不是整数， ∴不是“完美数组”； （2）∵为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20， ∴为正整数， 当时：，解得：， 此时：，符合题意； 当时：，解得：（不符合题意，舍去）； 故． 4．（2024七年级上·浙江嘉兴·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根： （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别将算式中的算术平方根去掉，再运用有理数加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； 故答案为：； （2）解：由题意，得：时，，时，； 故答案为：； （3）解： ． 【典型例题二 求一个数的平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的定义．如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是求平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义求出这个正数，即可求解． 【详解】解：一个正数的正的平方根是， 这个正数是， 比这个正数大的数的平方根是， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）的负的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，可得，求出的负的平方根即可． 【详解】解：， ， 的负的平方根是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）若是16的算术平方根，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，先根据算术平方根的定义求出，从而得出，最后由平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是16的算术平方根， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【答案】（1）；；（2）6或 【分析】本题考查绝对值，平方根的定义，求代数式的值，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据绝对值得定义解题即可；根据平方根的定义可得结果； （2）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：（1）若，则，若，则； 故答案为：；； （2）∵，， ∴，， 即或，， 异号， 当时，；当时，． 当，时，． 当，时，． 的值为6或． 【典型例题三 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根， 选项符合题意， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答． 【详解】解：0有平方根， ，有平方根， ，有平方根， ，没有平方根， ，没有平方根， ，有平方根， 中，当时，没有平方根， 综上所述，一定有平方根的数共有4个． 故选：B． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）若一个正数的平方根是和，则a为 ． 【答案】3 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出关于a的方程，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟知一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和， ∴，解得：． ∴， ∴这个正数m的值为． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课前预习）一个正数有 个平方根，零只有 个平方根，它是0本身； 没有平方根． 【答案】 两 一 负数 【解析】略 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可； （2）根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，， 解得， 则． （2）将与的值代入，得 ． 则． 故的算术平方根是6． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【答案】这个数为4，小张错在第（3）（5）（6），共3个错处． 【分析】根据知道一个数的平方根时，要求这个数需要平方，由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，从而可对求得的m的值作出取舍． 【详解】解：可以看出小张错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”；当时，这个数的算术平方根为；这个数为，故（3）错误； 当时，这个数的算术平方根为（舍去），故（5）错误； 综上可得，这个数为4，故（6）错误； 所以小张错在第（3）（5）（6）． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25七年级上·浙江·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质得，，求得的值，再计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，， ∴ ∴帛画的面积为， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·浙江期中·期中）已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值的性质与算术平方根的非负性，解题关键是熟练掌握绝对值的性质与算术平方根的非负性． 根据非负数的性质列式求出a、b的值即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得． 故答案为：2，． 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）已知满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：∵，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 2．（2025·浙江·模拟预测）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 3．（2025七年级上·浙江嘉兴·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出a，b和c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到，，即可求出a、b的值； （2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，3． （2）由题意可得：， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性质． 【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的性质，同一个正数的两个不相等的平方根互为相反数；因此，与5互为相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：∵与5是同一个正数的两个不相等的平方根， ∴， ， ， ， 验证：当时，，此时−5与5是正数25的两个不相等的平方根，符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求出a的值． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别为， ∴， 解得：， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若和是m的平方根，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，先结合一个数的平方根有两个，互为相反数，进行列式得，再进行解方程，或者，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵和是m的平方根， ∴， 整理得， 解得， 或， 则， ∴， ∴， 故答案为：3或． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知3是的一个平方根，是的一个平方根．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， ∴， ∵是的一个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数；用夹逼法估算无理数的方法；以及一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据实数与数轴，平方根的定义，无理数的估算，逐个进行判断即可． 【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确； ②∵，∴， ∴，故②说法正确； ③∵， ∴， ∴，则，故③说法正确； ④∵和是m的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴，故④说法正确； 综上：正确的有②③④， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的性质，根据正数的平方根互为相反数求出x值是解题的关键． 由正数的平方根互为相反数，可得，即可求得x的值，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数是． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 4．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的定义 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得的值，将的值代入中，可得正数的值； （2）根据立方根的定义解方程即可； 掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．观察题干可知是将的小数点向左平移2个单位，再利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【答案】C 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，先根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【例4】（2024七年级上·浙江嘉兴·专题练习）观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，求解即可； （2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：0.1，10； （2）①，． 故答案为：17.32；0.01732； ②． 故答案为：560． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式： ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，根据题意找到规律即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式： ， 第4个等式：， ， 由上述规律可得，第n个等式为：， 故答案为：． 3．（2025七年级上·浙江嘉兴·专题练习）观察下列各式： ，②，…… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律题，发现出规律是解题的关键． （1）根据给定的式子发现出规律即可得解； （2）总结规律得：，再结合求解即可． 【详解】（1）解：∵， ②， …… ∴根据此规律得：， 故答案为： （2）总结规律得：， ∴原式 ． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 【典型例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】3（大于1且小于均可） 【分析】本题主要考查了估算算术平方根的取值范围，根据题意可得，则，进而可得，据此额快递答案． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴符合题意， ∴正方形的边长可以是3， 故答案为：3（大于1且小于均可）． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【分析】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解． 【详解】（1）解：， 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ， 即， ∴， 的“共同体区间”为． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义，实数与数轴，求得是解题的关键． 根据正方形的面积得出正方形的边长为，从而可得，进而得到点E所表示的数． 【详解】J解：正方形的面积为3， 正方形的边长为， ∴， E点所表示的数为． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）面积为的空地被400块相同的正方形地砖刚好铺满，每块地砖的边长是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出一块地砖的面积，再根据算术平方根的定义求出边长即可． 【详解】解：由题意，得：每块地砖的边长是； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）已知一个长方体，其长、宽、高之比为4：2：1，底面积为，则这个长方体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据比例设正方形的边长，由底面积为，求出值，进而求出长方体体积． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm（根据比例4∶2∶1）． ∴， 解得：，（负值舍去） 长方体的体积为（立方厘米） 故答案为． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不能截得题目中要求的长方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用以及实数的大小，掌握算术平方根的定义，实数的大小比较是解题的关键； （1）根据题意求得大正方形的面积为，即可求解； （2）设截出的长方形的长为，宽为，根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：， ∴拼成的大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是； 故答案为：4． （2）解：不能， 理由如下： 设截出的长方形的长为，宽为， 则，解得，那么，， ， 不能截得题目中要求的长方形纸片． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，把两个边长等于1个单位长度的小正方形通过裁剪、拼接的方法获得一个大正方形． (1)说明裁剪、拼接方法，画出示意图； (2)计算大正方形的边长； (3)借助圆规在数轴上找到大正方形的边长对应的数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，熟知正方形边长即为正方形的面积的算术平方根是解题的关键． （1）把每个小正方形分成两个等腰直角三角形，然后拼接即可； （2）根据正方形边长即为正方形的面积的算术平方根解答即可； （3）在数轴上的位置做一个垂线，截取个单位长度，然后以原点为圆心，这一点与原点的距离为半径作弧，交正半轴的交点解为大正方形的边长对应的数． 【详解】（1）解：裁剪、拼接方法如图所示； （2）解：大正方形的边长为； （3）解：大正方形的边长对应的数如图所示． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）定义一种新运算“◎”：，则等式中x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的平方根，先理解定义得，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·浙江温州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算及求一个数的平方根，根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根为． 故选C． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）对a，b，定义运算“*”如下：，已知，则实数m等于 ． 【答案】 【分析】先利用新定义的运算法则，将转化为我们熟悉的实数的运算，根据已知条件需分两种情况进行讨论，即可求得答案． 【详解】解：当时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，，解得或（不符合题意，舍去）， 综上可知，， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海·期中）定义：对于正整数、、，图形，已知， ． 【答案】 【分析】根据题意，得，整理得，求平方根即可． 本题考查了新运算，平方根，熟练掌握平方根，正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，整理得， 解得． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵, ∴，故B选项的结论不符合题意； 任何实数a都有奇数次方根， ∵， ∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）对于实数a，b，定义的含义为当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据无理数的估算和定义新运算，求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且a和b为两个连续正整数， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的平方根，无理数的估算，定义新运算．理解并掌握新定义，是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 4．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)实数a，b的这种新运算满足交换律； 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 的平方根为 （3）解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 【例2】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， ∵， ∴，即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长． 故答案为：24． 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 1．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 3．（2025七年级上·贵州·专题练习）一个正数x的两个平方根分别是与，求x和m的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得即可求解，理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如果a是2025是算术平方根，则的算术平方根是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】∵a是2025是算术平方根， ∴的算术平方根是． 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，． 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是． 故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据所给数据，依次求出，，，，纸的长和宽的比值，然后发现规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算各类型长宽比： ：； ：； ：； ：； ：； 所有比值均接近； ∴型纸的长与宽的比为， 故选：． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，原式先计算，再计算的平方根即可． 【详解】解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出16的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：16的算术平方根式4，4是有理数， 4的算术平方根式2，2是有理数， 2的算术平方根是， ∵是无理数， ∴y的值是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左或者向右移动2位，算术平方根的小数点向左或向右移动1位，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知： ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴有无数个正数满足；故③错误； ∵， ∴；故④错误； 故正确的个数有2个； 故答案为：2． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的浙江嘉兴马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． （1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； 【详解】（1）解：， ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴的平方根是； （3）解： ， ∴的平方根是； 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知正数m的两个平方根分别为和，求m和a的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟知非负数的两个平方根互为相反数是解题的关键； 根据非负数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程求出a即可解决问题． 【详解】解：因为正数m的两个平方根分别为和， 所以， 解得：， 所以； 所以． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 14．（2025·浙江·模拟预测）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为长为，宽为，，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∵， ∴， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $$