精品解析：新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团第三师图木舒市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

第三师图木舒克市第一中学高一年级期末考试试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 矩形的直观图是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 三角形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 2. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】列出关于实数的方程，即可求得实数的值 【详解】由，，，有，解得． 故选：B 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 4. 下表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 空气质量指数（AQI） 20 28 24 33 31 35 36 38 则这些空气质量指数的75%分位数为（ ） A. 35 B. 35.5 C. 36 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38， 又，所以75%分位数是． 故选：B． 5. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，结合对应三角函数值符号及复数的坐标表示确定点所在象限即可. 【详解】由题设，而，则， 所以对应点在第二象限. 故选：B 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解. 【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误； 对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确； 对于选项C，若，，则，所以选项C正确； 对于选项D，在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，但，所以选项D错误. 故选：BC. 11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果. 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件． 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A错误； 对于B，因为， 则，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确． 故选:BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式求解模长即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，， 所以两人都没有击中靶心的概率为， 所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为. 故答案为： 14. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式得到，再由诱导公式及两角和的正切公式得到方程，求出. 【详解】因为， 又， 所以，即， 显然，所以， 所以， 即，解得或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，O为坐标原点. （1）若，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出、的坐标，由垂直向量的坐标关系列出等式求解m；（2）直接利用公式进行求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 又因为，所以，解得. （2）由（1）知：，， 设，所成的角为 则. 【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示、向量夹角的求解，属于基础题. 16. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】（1）0.008；平均数为，中位数； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 数学成绩的平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； 【小问2详解】 抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面ACF． 【答案】（1） 连接BD，因为四边形ABCD是正方形，所以． 在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以； （2） 设BD交AC于点O，连接FO，如图所示． 因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点， 又F是棱的中点，以， 又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF， 又平面，所以平面平面ACF． 【解析】 【分析】（1）根据正方体性质及线面垂直的判定、性质定理证明线线垂直即可； （2）连接BD，交AC于点O，连接FO，利用线面平行的判定证明平面ACF、平面ACF，再根据面面平行的判定证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案； （2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【小问1详解】 ， ， 则， ，， 又，； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 即，， 所以,（当且仅当时取“＝”）， 故，， 的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接，如图所示. 因为，易得，所以， 又，，所以， 又平面平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接交于点，连接， 则，且，所以四边形是平行四边形， 为中点，.因为平面， 所以直线是直线在平面内的射影， 所以是直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成角的平面角. 如图所示，过点作，垂足为，连接， 因为，所以,易得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以，所以， 在直角中，由平面平面，则，解得， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三师图木舒克市第一中学高一年级期末考试试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 矩形的直观图是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 三角形 D. 平行四边形 2. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 4. 下表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 空气质量指数（AQI） 20 28 24 33 31 35 36 38 则这些空气质量指数的75%分位数为（ ） A. 35 B. 35.5 C. 36 D. 37 5. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，，，则______． 13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 14. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，O为坐标原点. （1）若，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值. 16. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面ACF． 18. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $