精品解析：2025年福建省中考数学模拟试卷

2025年福建省中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各数：﹣0.4，π，3.1415926，﹣ ，﹣，，中无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据：无限不循环小数就是无理数这个定义判断即可. 【详解】根据无理数的概念可知：是无理数， 共3个， 故选C. 【点睛】常见的无理数有3种：开方开不尽的数，含的数，有特定结构的数. 2. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式的意义和性质是解答本题的关键．根据二次根式的意义和性质解答即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：， 故选：B． 4. 如图所示物体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面观察得到的图形是主视图． 【详解】解：从正面看得到的图形是一个长方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图． 5. 把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解答即可． 本题考查了不等式组解集的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，数轴表示的解集为； A. 的解集是无解，故本选项不符合题意； B. 的解集是，故本选项不符合题意； C. 的解集是，故本选项符合题意； D. 的解集是，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知与互为相反数，且，下列各式不成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数只有符号不同的两个数，平方运算，绝对值，有理数的除法，计算解答即可． 本题考查了相反数，绝对值，有理数的平方，除法，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解：A. ，正确，不符合题意； B. 因，则，正确，不符合题意； C. ，错误，符合题意； D. 由，得，正确，不符合题意； 故选：C． 7. 若与互补，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据得到平行线，再利用平行线的性质，对顶角性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设直线分别为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为1575平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设长为步，列方程为， 故选：B． 9. 如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠ACD＝90°，∠ADC＝∠ABC，证出∠ADC＝∠DAC，得出AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝AC，即可的AC的长． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵AD是⨀O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝∠DAC， ∴∠ADC＝∠DAC， ∴AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝AC， ∴AC＝＝＝2， 故选A．   【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，证明△ACD是等腰直角三角形是解题关键． 10. 已知二次函数的图象经过原点，它可以由二次函数的图象平移得到，则a的值是（ ） A. 4 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式求出m的值，然后根据抛物线平移不改变二次项的系数的值，即可求得a=2． 【详解】解：∵二次函数y=（m-2）x2-4x+2m-8的图象经过原点， ∴2m-8=0， 解得m=4， ∴m-2=2， ∵二次函数y=（m-2）x2-4x+2m-8的图象由抛物线y=ax2（a≠0）平移得到， ∴a=m-2=2， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线平移不改变二次项的系数的值是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 某公司今年盈利万元，记作万元，去年亏损万元，可记作：______． 【答案】万元 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解正负数可以用来表示具有相反意义的量． 根据正负数表示相反意义的量，盈利记为正，那么亏损就记为负． 【详解】解：盈利和亏损是一对具有相反意义的量．已知盈利500万元被记作万元，按照这种表示方法，亏损就应该用负数来表示．所以去年亏损200万元，可记作万元． 故答案为：万元． 12. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：是公路的中点， ， ， ， ，两点间的距离为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，然后根据求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 则，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 15. 某中学规定：学生综合数学成绩是由平时、期中、期末：：的比计算所得．若某同学本学期三项成绩依次为分、分、分，则他本学期综合成绩是______分． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的计算公式，结合平时、期中、期末成绩的权重以及对应分数来计算综合成绩． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：85． 16. 最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程（米）与王老师出发的时间（分钟）之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与一元一次方程的应用，先由函数图象求出王老师、周老师的速度；设周老师跑了a分钟第一次和王老师相遇，根据相遇列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，王老师的速度为：（米/分钟）， 周老师的速度为：（米/分钟）； 设周老师跑了a分钟第一次和王老师相遇， 由题意得：， 解得，， ∴王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了：（米）， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 将，代入可得， 原式． 18. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 19. 如图，在平行四边形中，连接过点作于点，过上一点作于点，交于点；过作于点，连接． （1）若，，，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1）8 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，四点共圆的证明，圆的性质等，熟练掌握相关知识，并灵活运用是解题的关键． （1）在中，由勾股定理求出，再利用平行四边形对边相等的性质求解； （2）过点作，交的延长线于点，由，得四点共圆，推出， 再先后证明四点共圆，四点共圆，推出，由得， 再证明得，最后进行等量代换即可． 【小问1详解】 ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作，交的延长线于点，连接，，， ，且， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ，，且， ， ， ， ， ，且，， ， ， ． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：．；．；．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）83；85；30 （2）八年级学生竞赛成绩较好，见解析 （3）220 【解析】 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的m值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：在七年级10名学生的竞赛成绩中83出现的次数最多，故众数83； 把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，86，故中位数 ， 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的有3人，A组占40%，所以C组 ， 故答案为：83；85；30 【小问2详解】 解：七年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好．（合理即可） 【小问3详解】 解：七年级：（人） ，八年级：（人）． 估计这次参加科普知识竞赛成绩优秀的学生人数是（人）． 【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到，其中点与点A对应，点与点对应，点与点对应． （1）若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点A对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标． 【答案】（1）是由沿方向一次平移单位长度得到的． （2）点、点 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质、旋转作图、勾股定理等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）连接，然后用勾股定理求得的长即可解答； （2）先根据旋转的性质求得对应点、，然后直接读出点、点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， 根据勾股定理可得：， ∴是由沿方向一次平移个单位长度得到的． 【小问2详解】 解：如图：即为所求； 由坐标系可得：点、点． 22. 综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论； （2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到； （3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，从而得到结果． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， 平分， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ． 23. 若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． （1）判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． （2）设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】（1）27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 （2）能，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过将原式变形得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【小问1详解】 解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； 【小问2详解】 解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； 【小问3详解】 解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）连接，点P为抛物线第四象限上的动点，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，交x轴于点E，连接、、、，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】（1），， （2）当时，此时P点为.． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． （1）根据抛物线的表达式为，当求出A、B两点坐标，时与y轴交点坐标； （2）由待定系数法确定直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． 当时；，解得，， 当时；， ∴点A、B、C的坐标分别为，，， 【小问2详解】 由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设，则点坐标为 ∵P，D都在第四象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为，． 25. 数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心在轴正半轴上，点为第一象限内的一个动点，据此： 【前提条件】假若，； 【探究规律】 （1）如图，连接并延长交轴于点，那么在点移动过程中，否有为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值． 【归纳总结】 （2）如图，小明发现做题越来越有意思，于是作，，交轴于点，连接，点为线段的三等分点以点为圆心，以线段为半径作，设半径为，在点移动过程中，是否有为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值． 【拓展提升】 （3）如图，若圆心和半径大小均不固定，那么点，，，，，均为动点，作轴，交动圆于点，两点为直线右侧的两个动点，并且那么在点运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值． 【答案】（1）为定值，；（2）为定值，；（3）不为定值， 【解析】 【分析】（1）连接和，证明，推出，利用相似三角形的性质求解； （2）连接，作于，证明，推出，可得 ，在中，，由得，，由推出，推出，由题意， ，在中，由勾股定理得，，可得 ，整理可得结论； （3）不是定值．有最小值．如图3中，设与交于点，则，设，由，令，推出，整理得，再根据，可得，整理得，求出的取值范围，可得结论． 【详解】解：【探究规律】如图，为定值，理由如下： 连接和， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ； 【归纳总结】如图，为定值，理由如下： 连接，作于， 由知：， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， 在中， ， 由得， ， ， ， ， ， 是的三等分点，， ，， 在中， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 化简得， ； 不是定值．有最小值． 理由：如图中，设与交于点，则，，设． ， ， ，令，， ， 整理得， ， ， 整理得， ， 的最小值为， 最小值是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，一元二次方程的根判别式，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二元一次方程，利用根的判别式解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各数：﹣0.4，π，3.1415926，﹣ ，﹣，，中无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示物体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知与互为相反数，且，下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若与互补，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 10. 已知二次函数的图象经过原点，它可以由二次函数的图象平移得到，则a的值是（ ） A. 4 B. -2 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11 某公司今年盈利万元，记作万元，去年亏损万元，可记作：______． 12. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是______． 15. 某中学规定：学生综合数学成绩是由平时、期中、期末：：的比计算所得．若某同学本学期三项成绩依次为分、分、分，则他本学期综合成绩是______分． 16. 最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级的王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程（米）与王老师出发的时间（分钟）之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了______米． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 计算：． 19. 如图，在平行四边形中，连接过点作于点，过上一点作于点，交于点；过作于点，连接． （1）若，，，求的长． （2）若，求证：． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：．；．；．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到，其中点与点A对应，点与点对应，点与点对应． （1）若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点A对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标． 22. 综合与实践： 问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 23. 若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M一个平方差分解． （1）判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． （2）设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）连接，点P为抛物线第四象限上的动点，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，交x轴于点E，连接、、、，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 25. 数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心在轴正半轴上，点为第一象限内的一个动点，据此： 【前提条件】假若，； 【探究规律】 （1）如图，连接并延长交轴于点，那么在点移动过程中，是否有为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值． 【归纳总结】 （2）如图，小明发现做题越来越有意思，于是作，，交轴于点，连接，点为线段的三等分点以点为圆心，以线段为半径作，设半径为，在点移动过程中，是否有为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值． 【拓展提升】 （3）如图，若圆心和半径大小均不固定，那么点，，，，，均为动点，作轴，交动圆于点，两点为直线右侧的两个动点，并且那么在点运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $