第1章 勾股定理 单元测试2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试答题卡 学校:_________姓名：_________班级：_________考号：_________ 一．选择题（共12小题）（请将答案填写在各试题的答题区内） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二．填空题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答） 13. 14. 15. 16. 17. 三．解答题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．以下列各组数为一个三角形的三边长，不能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13 2．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为　　 A．15 B．16 C．17 D．25 3．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母所代表的正方形的面积为　　 A．5 B．10 C．7 D．25 4．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了　　 A． B． C． D． 5．如图，在△中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是　　 A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 6．下列条件中，不能断定为直角三角形的是　　 A． B． C． D． 7．已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为　　 A．5 B．12 C．13 D．17 8．如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 9．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走　　米路． A．20 B．30 C．40 D．50 10．如图，分别以△的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是　　 A．18 B． C．24 D．48 11．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部处与处之间的距离为　　 A． B． C． D． 12．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结与相交于点，延长交于点，若是的中点，，则的长　　 A． B． C．2 D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，△中，，，，则　　 ． 14．如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为 　　． 15．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形、、．若，，则　　 ． 16．如图所示，点所表示的数是 　　 ． 17．如图，在△中，已知，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．则线段的长为 　　 ． 三．解答题（共5小题） 18．已知：四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 19．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； （2）求观景台与观景台之间距离的长． 20．在△中，，，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断与的关系，并证明． （2）若，，且△是钝角三角形，求第三边的长的取值范围． 21．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为（绳子一直是直的） （1）若，，求从定滑轮到点的绳长； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 22．如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A D A A D C B A C D 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题） 1．以下列各组数为一个三角形的三边长，不能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【解答】解：、因为，不能构成直角三角形，此选项正确； 、因为，能构成直角三角形，此选项错误； 、因为，能构成直角三角形，此选项错误； 、因为，故能构成直角三角形，此选项错误． 故选：． 2．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为　　 A．15 B．16 C．17 D．25 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：直角三角形两直角边的长分别为9，12， 斜边长为， 故选：． 3．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母所代表的正方形的面积为　　 A．5 B．10 C．7 D．25 【分析】根据三个正方形的三条边组成一个直角三角形，得到字母所代表的正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和，即可得出结果． 【解答】解：由勾股定理得字母所代表的正方形的面积为； 故选：． 4．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：△中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 故选：． 5．如图，在△中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是　　 A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可． 【解答】解：在△中，， ， 线段的长度即为点到直线的距离， 故选：． 6．下列条件中，不能断定为直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】、根据勾股定理的逆定理进行判定即可； 、根据三角形的内角和为180度，即可计算出的值； 、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状； 、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【解答】解：、正确，符合勾股定理的逆定理，故成立； 、正确，因为，，则，故为直角三角形； 、正确，因为，所以设，，，则，故为直角三角形； 、错误，因为，所以设，则，，故，解得，，，故此三角形是锐角三角形． 故选：． 7．已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为　　 A．5 B．12 C．13 D．17 【分析】直接根据勾股定理求解． 【解答】解：坐标原点与点之间的距离， 故选：． 8．如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ， 又，， ． 故选：． 9．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走　　米路． A．20 B．30 C．40 D．50 【分析】根据勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：在△中， 米，米， （米， （米， 走这条近路可以少走20米的路． 故选：． 10．如图，分别以△的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是　　 A．18 B． C．24 D．48 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据计算即可． 【解答】解：根解据勾股定理可得， ． 故选：． 11．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部处与处之间的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知，，，，，再由勾股定理求出，则，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，，，，，， ， ， ， ， 即底部处与处之间的距离为， 故选：． 12．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结与相交于点，延长交于点，若是的中点，，则的长　　 A． B． C．2 D． 【分析】根据正方形性质得，，，，，，由全等三角形的性质得，，证明是△的中位线得，进而得是线段的垂直平分线，则，在证明△和△全等得，进而得，设，则，，在△中，由勾股定理求出即可得出的长． 【解答】解：四边形是正方形，， ，， 四边形是正方形， ，，，， 由全等三角形的性质得：，， 点是的中点，， 是△的中位线， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在△和△中， ， △和△， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，△中，，，，则　　 ． 【分析】直接根据勾股定理求解． 【解答】解：由勾股定理得，， 故答案为：． 14．如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为 　3　． 【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【解答】解：根据题意得：， 为的中点，， ， 故答案为：3． 15．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形、、．若，，则　8　 ． 【分析】由勾股定理可知：代入计算即可． 【解答】解：由勾股定理得：， ，， ， ， 故答案为：8． 16．如图所示，点所表示的数是 　　 ． 【分析】由勾股定理求出，得到，即可得到点所表示的数． 【解答】解：由勾股定理得：， 由题意得到：， 点所表示的数是． 故答案为：． 17．如图，在△中，已知，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．则线段的长为 　　 ． 【分析】由勾股定理求出，再由线段垂直平分线的性质得，设，则，然后在△中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即线段的长为， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．已知：四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）先判断出△是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积． 【解答】解：（1）在△中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在△中，，，， ， △为直角三角形，且， ． 19．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； （2）求观景台与观景台之间距离的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，依据垂线段最短即可得出结论； （2）设观景台与观景台之间距离的长为 ，利用勾股定理列等式即可求得的长． 【解答】解：（1）步道是露营区到湖边的最短路径， 理由如下： ， ， ， ， 即， 步道是露营区到湖边的最短路径； （2）设观景台与观景台之间距离的长为 ， ， ， 由勾股定理得， 即， 解得， 观景台与观景台之间距离的长为． 20．在△中，，，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断与的关系，并证明． （2）若，，且△是钝角三角形，求第三边的长的取值范围． 【分析】（1）①过点作于点，如图1所示，在△与△中，由勾股定理可推出，即可得出结论；②过点作交的延长线于点，如图2所示同法①可得结论； （2）当为钝角时，由（1）②得，即；当 为钝角时，由（1）②得，即．即可得出结果． 【解答】（1）①证明：过点作于点，如图1所示， 则． 在△中，， 在△中，， ， ， 整理得． ，， ， ②解：，证明如下： 过点作交的延长线于点，如图2所示， 则， 在△中，， 在△中，， ， ， 整理得， ，， ， （2）解：当为钝角时，由（1）②得， 即； 当为钝角时，由（1）②得， 即． 综上所述，第三边的长的取值范围为或． 21．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为（绳子一直是直的） （1）若，，求从定滑轮到点的绳长； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 【分析】（1）根据勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽． 【解答】解：（1）过点作于， 由题意知：，， ， ， 由题意可知：四边形是矩形， ，， ， 在△中， ， 定滑轮到点拉着的绳长为； （2）由（1）知，， ， 比长， ， 在△中， ， ， ， 桥面的宽长为． 22．如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求的值． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）分、两种情况，根据勾股定理计算． 【解答】解：（1），， ， 在中，； （2）当时，， 则（秒， 当时，，即， 解得，， 当或时，为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$