精品解析：广东省揭阳市华美实验学校2023--2024学年八年级下学期数学期中质检试题

广东省揭阳市华美实验学校2023--2024学年八年级下学期数学期中质检试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、∵，∴，故原选项正确，符合题意； D、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，把点向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点坐标平移的性质，把点横坐标保持不变，纵坐标减3即可求解． 【详解】解：把点向下平移3个单位，即横坐标保持不变，纵坐标减3，故把点向下平移3个单位后所得的点的坐标是． 故选：D． 【点睛】此题考查了点坐标的平移问题，解题的关键是点坐标平移的性质． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，根据题意在数轴上画出对应的取值范围是解答的关键． 根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是B． 故选：B． 6. 如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形的内角和求得答案即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理的逆定理，先根据旋转的性质得到，再根据勾股定理的逆定理即可解决问题； 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点．，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角定义，解题的关键在于熟练掌握线段的垂直平分线性质． 根据线段垂直平分线性质可推出，通过直角三角形性质和三角形外角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 若方程组的解为x、y，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，由加减消元法得出，结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵方程组的解为x、y，且， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DM=DE，AD=AD，AD是△ABC的角平分线， ∴△ADE≌△ADM， ∵DE=DG， ∴DM=DG， ∴MN=GN， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， ∴△DFE≌△DNM， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMD=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 边长为2的等边三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，过点A作，垂足为D，利用等边三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：是等边三角形，过点A作，垂足为D， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 12. 如果点在第三象限内，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第三象限的点的横纵坐标都为负，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限内， ∴ 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据点所在象限求参数，解不等式组，熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 13. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 【答案】(4，3) 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝______． 【答案】3cm 【解析】 【详解】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF， ∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF． ∵DE∥BC， ∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为3cm． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形． 16. 如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集． 根据图象，确定的图象在图象下方的自变量取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数为常数，且的图象与直线都经过点， ∴时，， 故答案为：． 三、解答题（一）（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可． 本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式的解集为． 18. 如图．中，是的高．．求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：，， ，， 是高， ， ， ． 19. 对于任意实数、，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 解集中恰有两个整数解，小于6的连续两个整数是4，5， ， ， a的范围为． 20. 如图，已知线段MN和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】 如图所示：P点即为所求 【解析】 【分析】使P到点M、N的距离相等，就要画的线段垂直平分线，且到的两边的距离相等，就要画角的平分线，两线的交点就是点P． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了尺规作图的一般作法．熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键． 四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分） 21. 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 【答案】 （1）证明：在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）在和中，利用即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得，从而求解． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 又， 又中，， 中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确证明三角形全等． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）把向右平移3个单位得，请画出并写出点的坐标； （2）把绕原点旋转得到，请画出． 【答案】（1） 如图所示：即为所求， ； 点的坐标为； （2）如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 我们把符号“”称为二阶行列式．规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． （3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意． （1）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集即可得出答案； （2）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中的不等式解集即可求出求的值； （3）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中得不等式解即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：， ∴， 解得：， 解集与（1）中的不等式解集相同， ， 解得：． 【小问3详解】 解：， ∴， 解得：， 不等式的解都是（1）中的不等式的解， ， 解得：． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元． ①求关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元；（2）①（且为正整数）；②商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大． 【解析】 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题； （2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，根据（1）的结论以及总利润等于每台电脑的利润乘以总数列出函数关系式，根据题意建立一元一次不等式组，确定的范围； ②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意，得： 解得， 答：每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元． （2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，依题意得： ， 即， 解得， 关于a的函数关系式为：（且为正整数）， ②， ， 随的增大而减小， 且为正整数， 当时，取得最大值， 则购进B型电脑（台）， 答：商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程组和不等式组是解题的关键． 25. 如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当秒时，求的长； （2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ （3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据题意，，，点P在线段上，则，结合是等腰三角形，得，此时；解答即可． （3）根据等腰三角形性质和判定，分三种情况，解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 当秒时，，， 此时，， 又， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，，， 点P在线段上，则， 由是等腰三角形， 得， 此时； 解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵动点Q的速度为，设运动时间为， ∴点Q运动路程， ∵点Q在上， ∴所以运动时间大于，， ∵是等腰三角形， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时， 则， 过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， 此时，； 当时，此时， 此时，， 综上所述，点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市华美实验学校2023--2024学年八年级下学期数学期中质检试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 4. 在平面直角坐标系中，把点向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点．，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程组的解为x、y，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 边长为2的等边三角形的面积为______． 12. 如果点在第三象限内，那么的取值范围是___________． 13. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 15. 如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝______． 16. 如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 三、解答题（一）（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分） 17. 解不等式组． 18. 如图．中，是的高．．求的长． 19. 对于任意实数、，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，求的取值范围． 20. 如图，已知线段MN和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹） 四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分） 21. 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）把向右平移3个单位得，请画出并写出点的坐标； （2）把绕原点旋转得到，请画出． 23. 我们把符号“”称为二阶行列式．规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． （3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元． ①求关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 25. 如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当秒时，求的长； （2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ （3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $