精品解析：海南省海口市景山海甸分校2024-2025学年九年级上学期期中阶段评估数学试题

2024—2025学年度第一学期 九年级数学学科期中阶段性学习效果评估 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 7. 某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将△ABC沿直线AD翻折，使点B与AC边上的点E重合，若AB=9，AC=AD=5，则BD的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（ ） A. B. C. D. 12. 在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 当时，化简：__________ 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 15. 如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则__________． 16. 如图，在中，是的中点，延长至点，使，延长交于点，则的值为__________． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1）； （2） （3） 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售．增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 19. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； （2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率． 20. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 21. 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于24米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°． （1）求AB的长（结果保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4） 22. 在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F （1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，①求证：BP=BF； ②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值； ③当BP=9时，求BE•EF的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期 九年级数学学科期中阶段性学习效果评估 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根．直接利用算术平方根的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，先化简，再看被开方数是否等于2，即可判断，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】A. ，不能与合并，不符合题意； B. ，不能与合并，不符合题意； C. ，不能与合并，不符合题意； D. ，能与合并，符合题意； 故选：D． 3. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，再根据平方差公式即可得出答案． 【详解】，， 故选D． 【点睛】本题考查了平方差公式及二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的方法，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 6. 若方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题有两种解法：①利用方程根的定义，将代入得到，解得，从而解一元二次方程即可得到方程的另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系，设两个根分别为、，则，将一个根是代入即可得到方程的另一个根是；从而得到答案． 【详解】解：（方法一）利用方程根的定义及解方程： 方程的一个根是， 将代入得到，解得， 方程为，解得、， 方程的另一个根是； （方法二）利用一元二次方程根与系数的关系： 设方程的两个根分别为、， 由根与系数的关系可得， 将一个根是代入上式即可得到方程的另一个根是； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义、解一元一次方程、解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识，把握基本题型的求解方法是解决问题的关键． 7. 某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键． 9. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后利用正弦函数的定义即可求出． 【详解】解：在中，，D是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，锐角三角函数等，解题的关键是根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出的长度． 10. 如图，将△ABC沿直线AD翻折，使点B与AC边上的点E重合，若AB=9，AC=AD=5，则BD的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先设∠C=x，先由平角的性质及三角形可得到∠EDB=∠CAD，再利用图形翻折变换的性质可得到∠CAD=∠DAE，由相似三角形的判定定理可得到△DBE∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：设∠C=x， 在△ACD中，∠CAD=180°-2x， ∵∠EDB=180°-∠ADC-∠ADE=180°-2x， ∴∠CAD=∠EDB， ∵∠CAD=∠DAE，∠B=∠B， ∴∠DAE=∠EDB， ∴△DBE∽△ABD， === 所以BD= =6． 故选C． 【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难易适中． 11. 图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据正确的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H， 则，， ∵斜坡的坡度，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 12. 在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．由矩形的性质得到，，再根据M，N分别为的中点，易证四边形是矩形，推出，，由折叠的性质求出，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵M，N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 当时，化简：__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 15. 如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是矩形，得，而沿着过点A的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，有，，在中，，可得，设，则，在中可得，即可解得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿着过点D的直线折叠，使点D落在边上，落点为E， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的折叠为题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程解决问题． 16. 如图，在中，是的中点，延长至点，使，延长交于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“等边对等角”可得，从而可得，由此可证∽，列比例式可得的值，再由，是的中点，即可得出的值． 【详解】， ． ， ． 又， ． ， ． 又， ∽， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义． （1）先算括号里，再算乘法； （2）先代入特殊角的三角函数值，再算乘法，后算加减即可； （3）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值化简，再算乘法，后算加减． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售．增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价30元 【解析】 【分析】设每件衬衫应降价x元，然后根据商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元． 根据题意得(45-x)(20+4x)=2100， 解得x1=10，x2=30． 因尽快减少库存，故x=30． 答：每件衬衫应降价30元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 19. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； （2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】解：（1）画树状图如下： 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种． ∴P（恰好选中甲、乙两位同学）= （2） P（恰好选中乙同学）=． 【点睛】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 21. 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于24米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°． （1）求AB的长（结果保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4） 【答案】（1）AB的长为米； （2）这辆校车超速，理由： （千米）， 校车从A到B用时为（小时）， 则这辆校车的速度约为（千米/小时）， 因为， 所以这辆校车超速． 【解析】 【分析】（1）先在中，利用正切三角函数可求出AD的长，再在中，利用正切三角函数可求出BD的长然后根据线段的和差即可得； （2）先利用“速度路程时间”求出这辆校车的速度，然后与45进行比较即可得． 【详解】（1）由题意得：米， 在中，，即， 解得（米）， 在中，，即， 解得（米）， 则（米）， 答：AB的长为米； （2）略 【点睛】本题考查了正切三角函数等知识点，掌握利用正切三角函数解直角三角形是解题关键． 22. 在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F （1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，①求证：BP=BF； ②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值； ③当BP=9时，求BE•EF的值． 【答案】 （1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵E是AD中点， ∴AE=DE， 在△ABE和△DCE中，， ∴△ABE≌△DCE（SAS）； （2）①证明：在矩形ABCD，∠ABC=90°， ∵△BPC沿PC折叠得到△GPC， ∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC， ∵BE⊥CG， ∴BE∥PG， ∴∠GPF=∠PFB， ∴∠BPF=∠BFP， ∴BP=BF； ②；③108. 【解析】 【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论； （2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论； ②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论； ③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）①略 ②当AD=25时， ∵∠BEC=90°， ∴∠AEB+∠CED=90°， ∵∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠CED=∠ABE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABE∽△DEC， ∴， 设AE=x， ∴DE=25﹣x， ∴， ∴x=9或x=16， ∵AE＜DE， ∴AE=9，DE=16， ∴CE=20，BE=15， 由折叠得，BP=PG， ∴BP=BF=PG， ∵BE∥PG， ∴△ECF∽△GCP， ∴， 设BP=BF=PG=y， ∴， ∴y=， ∴BP=， 在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==； ③如图，连接FG， ∵∠GEF=∠BAE=90°， ∵BF∥PG，BF=PG=BP， ∴▱BPGF是菱形， ∴BP∥GF， ∴∠GFE=∠ABE， ∴△GEF∽△EAB， ∴， ∴BE•EF=AB•GF=12×9=108． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $