专题1.2 子集、全集、补集（八大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 题型1 求集合的子集、真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 1．（23-24高三上·辽宁朝阳·月考）集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先判断集合A的元素个数，再利用集合的子集个数公式计算即可. 【详解】， 因为，所以满足条件的集合的个数为. 故选：D. 2．（23-24高三上·浙江衢州·月考）已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据题意得集合的所有非空真子集，再求和即可. 【详解】解：因为集合的所有非空真子集：， 所以，，即. 故选：B 3．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分中只有一个奇数和没有奇数，再结合条件，即可求解. 【详解】若中只有一个奇数，则集合可以是， 若中没有奇数，则或，所以符合条件的集合共有6个， 故选：D. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·周测）若集合⫋ ，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】87 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先考虑反面的两种情况，即中不含有奇数和中只含有一个奇数时集合的个数，再求出不考虑奇数条件时集合的个数，相减即可得出答案. 【详解】考虑反面的两种情况： 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即. 若中只含有一个奇数，则有4种可能，集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即. 不考虑奇数条件时集合共，故共有个. 故答案为：87. 5．集合的非空真子集有个 ． 【答案】30 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】首先用列举法表示集合，即可得到其元素的个数，再根据含有个元素的集合的非空真子集有个计算可得. 【详解】解：因为，所以集合含有个元素， 则其非空真子集有个； 故答案为： 6．（24-25高一上·江西上饶·周测）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 【答案】290 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】写出集合的所有非空真子集，得到，化简得到的值. 【详解】集合的所有非空真子集有： ，，，，，，，，，， ，，，， 所以有， 解得：. 故答案为：290. 7．集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 题型2 集合的子集（真子集）的个数问题 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1．（24-25高三上·山东日照·月考）已知集合，，则集合的非空真子集个数为（   ） A．12 B．10 C．16 D．14 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用分类讨论求得集合，进而可求得集合的非空真子集个数 【详解】因为， 当时，，当时，或或， 当时，或或， 所以，所以集合的非空真子集个数为. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 3．（24-25高一上·云南昆明·周测）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、常用数集或数集关系应用 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 4．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得. 【详解】集合含有个元素， 所以集合的真子集有个. 故选：C 5．（24-25高一上·山西晋城·月考）集合的真子集的个数是 . 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数. 【详解】由题意得，为4的正因数，故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：7. 6．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据给定条件，结合子集的概念求解即可. 【详解】满足条件的集合为： ，，，，，，，， 共8个. 故答案为：8. 题型3 集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．已知集合A＝{x|x＝ (2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A≠B 【答案】C 【难度】0.85 【分析】由题意分别确定结合A和集合B，然后考查两者之间的关系即可. 【详解】由题意可得： A＝{x|x＝ (2k＋1)，k∈Z}， B＝{x|x＝k±，k∈Z}， 故A＝B. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断. 【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 3．（多选题）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】利用集合的意义，逐项判断即可作答. 【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是； 对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是； 对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是； 对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是. 故选：ABD 4．（23-24高一上·贵州遵义·周测）（多选题）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】利用集合相等的定义即可判断各选项. 【详解】对于A，是点集，是数集，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：CD. 题型4 空集 空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）下列关系中表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】根据空集不含任意元素，元素与集合的关系用，集合与集合的关系用，可得结论． 【详解】空集不含任意元素，故A错误； 因为，所以，故B正确； 是实数，故C错误；， ，故D错误． 故选：B． 2．（24-25高三上·浙江·周测）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类 【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断. 【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确. 故选：B. 6．（23-24高一上·浙江金华·月考）（多选题）下列说法中错误的是（    ） A．∅与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合、空集的概念以及判断 【分析】根据集合的相关概念和性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：∅：不含任何元素的集合，：仅含有一个元素0的集合， 所以∅与表示不同的集合，故A错误； 对于选项B：根据集合的无序性可知：集合＝与＝表示同一个集合，故B正确； 对于选项C：因为方程＝的解为1，2， 结合集合的互异性可知：方程＝的所有解的集合可表示为，故C错误； 对于选项D：因为集合的元素为实数， 根据实数的性质可知无法逐一列举，故D错误； 故选：ACD. 题型5 集合的关系用韦恩图表示 Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】解出集合，再根据求出的取值范围. 【详解】由题意可知，根据图示可知，所以的取值范围是. 故选：D 2．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系 【解析】由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 3．设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【详解】集合,,,故选A. 4．（24-25高一上·上海·周测）已知全集，则正确表示集合和关系的维恩图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】运用两集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，而 所以， 故选:C. 5．（多选题）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、判断两个集合的包含关系、子集的概念 【分析】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断. 【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知， 集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确； 集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确； 集合U中有元素不在集合B中，C选项正确； 集合A、B、U不相等，D选项错误. 故选：ABC. 题型6 判断集合间的关系 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1．（24-25高一上·江苏扬州·周测）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 2．（24-25高二上·山西·周测）（多选题）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意，化简集合，得到，结合选项，即可求解. 【详解】由题意得，集合，， ， 所以，结合选项，可得A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（多选题）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，两者不相等，故B错误； 对于C，因为点与点不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误； 对于D，空集是任意集合的子集，故D正确． 故选：AD． 4．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：B 5．（24-25高一上·陕西西安·周测）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选题）已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系 【分析】根据条件，先求出集合，再对各个选项逐一分析判断即可得到结果. 【详解】由，得到，所以，则选项A正确； 对于选项B，因为集合与集合间的关系是包含关系，所以选项B错误； 对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确； 对于选项D，因为，集合含2个元素，故集合A的真子集个数为，所以选项D错误. 故选：AC. 7．（24-25高一上·陕西宝鸡·周测）（多选题）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 题型7 根据集合间的关系求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（23-24高一上·山东·期中）（多选题）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可； （2）由集合间的包含关系，对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. 4．已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 【答案】（1）或   （2）   （3）能， 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）由是的子集，确定实数的取值范围， （2）由是的子集，确定实数的取值范围； （3）假定、相等，确定的值 【详解】（1）当时，，不满足； 当时，， 由，得解得； 当时，， 由，得解得；. 综上可知，当时，或. （2）当时，，满足； 当时，得解得； 当时，得解得 综上可知，当时，. （3）当且仅当且时，，由第（1）（2）分析可知. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的包含关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）根据B⊆A分或两种情况进行解答即可； （2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围； （2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m的范围． 【详解】（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}， 由B⊆A得或， 即或m+1＞2m﹣1， 解得2≤m≤3或m＜2， 所以实数m的取值范围是； （2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A⊆B得， 解得3≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[3，4]； （3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A＝B得，无解， 所以实数． 题型8 全集及补集运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的补集 图形 符号 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，集合，所以，故中的元素个数为3. 故选：C． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】先化简集合，再由补集的定义即可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由于集合中的元素只有1，，故． 故选：C． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义进行计算即可． 【详解】全集，集合，则， 故选：C 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用集合的补集运算即可. 【详解】由全集可得：， 因为集合，所以， 故答案为：. 7．（19-20高一·浙江杭州·期末）若集合，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【解析】由集合补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】化简集合，再求补集. 【详解】，且， 当时，，故． 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 4．已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出. 【详解】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·周测）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 6．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先求出集合M、N，然后根据集合之间的关系选出对应的韦恩图. 【详解】解：由题意得： 由题意得， 所以N是M的真子集． 故选：B 7．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【详解】由可得，则， 则. 故选：B. 二、多选题 8．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】解方程组求得的值，得到方程组的解的有序数对，集合M是这个有序数对构成的集合，据此作出判定. 【详解】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 9．（24-25高一上·浙江·周测）（多选题）已知集合，，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据题意得出，集合表示直线图象上点的坐标，即可判断ABC；判断出在直线的图象上，即可判断D． 【详解】由题可知，，集合表示直线图象上点的坐标， 所以，故A正确； 因为集合与中元素种类不同，故B错误，C正确； 因为，所以在直线的图象上，故D正确； 故选：ACD． 10．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选题）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用、子集的概念 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 11．（多选题）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合间的关系判断各个选项； 【详解】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误； 对于B，由，知，，则，则B正确； 对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确； 对于D，，所以，所以D错误. 故选：BC. 12．（多选题）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】结合韦恩图，由子集，补集的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图可知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误； 故选：AC 三、填空题 13．（24-25高一上·山东聊城·周测）集合的非空真子集有 个. 【答案】30 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出给定的集合的元素个数即可求出其非空真子集个数. 【详解】由元素互异性知，集合A中有5个元素，所以非空真子集有. 故答案为：30 14．（24-25高一上·江苏常州·月考）满足关系的集合有 个. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为：,共4个. 故答案为：4. 15．已知集合====，则集合的关系为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、描述法表示集合 【详解】，为偶数，为奇数，为奇数，，故答案为. 16．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空集的性质及应用 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 17．（23-24高一上·江苏常州·周测）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得. 【详解】由集合，，得，而， 所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为： 18．设全集，集合，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【解析】根据题中条件，由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为全集，集合， 则. 故答案为：. 19．（23-24高一上·陕西西安·周测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据图形及集合的交集、补集运算求解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为, 又，，， 所以 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）当时，求出集合A，根据题意可知，据此求解； （2）若则，则和3为方程的两个解，由韦达定理求解即可； （3）由，求出所有可能满足题意的m，由此得到集合D，再根据集合中恰有2个元素求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， ， ∴，故或, 解得或. （2）若则, 和3为方程的两个解, 由韦达定理得，解得, 此时, 故. （3），所以， ①若， 当时,则，不满足，所以； 当时,则， 当时,即，此时，满足, 当时,即，此时，满足, ②若 当时，, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时，即，由，得， 由根与系数的关系得解得. 且符合题意，此时, 综上所述，实数的所有可能值构成的集合，而，易知， 当时，，因为集合中恰有2个元素，所以，解得； 当时,，因为集合中恰有2个元素，所以，此不等式无解， 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 子集、全集、补集 题型1 求集合的子集、真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 1．（23-24高三上·辽宁朝阳·月考）集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（23-24高三上·浙江衢州·月考）已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 3．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·周测）若集合⫋ ，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 5．集合的非空真子集有个 ． 6．（24-25高一上·江西上饶·周测）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 7．集合的子集有 ；其中真子集有 ． 题型2 集合的子集（真子集）的个数问题 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1．（24-25高三上·山东日照·月考）已知集合，，则集合的非空真子集个数为（   ） A．12 B．10 C．16 D．14 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·云南昆明·周测）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 4．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高一上·山西晋城·月考）集合的真子集的个数是 . 6．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 题型3 集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．已知集合A＝{x|x＝ (2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A≠B 2．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（多选题）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州遵义·周测）（多选题）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 题型4 空集 空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）下列关系中表述正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·周测）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江金华·月考）（多选题）下列说法中错误的是（    ） A．∅与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 题型5 集合的关系用韦恩图表示 Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． 4．（24-25高一上·上海·周测）已知全集，则正确表示集合和关系的维恩图是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 题型6 判断集合间的关系 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1．（24-25高一上·江苏扬州·周测）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·周测）（多选题）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（多选题）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西西安·周测）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选题）已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 7．（24-25高一上·陕西宝鸡·周测）（多选题）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 根据集合间的关系求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（23-24高一上·山东·期中）（多选题）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 4．已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 题型8 全集及补集运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的补集 图形 符号 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设全集，集合，则 ． 7．（19-20高一·浙江杭州·期末）若集合，则 ． 8．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 一、单选题 1．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·周测）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 6．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·浙江·周测）（多选题）已知集合，，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选题）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 11．（多选题）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 12．（多选题）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一上·山东聊城·周测）集合的非空真子集有 个. 14．（24-25高一上·江苏常州·月考）满足关系的集合有 个. 15．已知集合====，则集合的关系为 ． 16．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 17．（23-24高一上·江苏常州·周测）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    18．设全集，集合，则 19．（23-24高一上·陕西西安·周测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 ．    四、解答题 20．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$