天津市四校2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期末四校联考 高二数学 一、选择题 (本题共9小题，每小题5分，共45分) 1. 已知集合. 则A∩B= ( ) A. {-1,3} B. {1,2} c. {1,3} D. {2,3} 2. 若x>0,则“x≥3”是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 的大致图像是( ) 4.下列说法中，正确的是( ) A.经验回归直线 是由成对样本数据 中的两点确定的 B.如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1 C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 根据小概率值α=0.005的x²独立性检验. 可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 5.某次期末数学考试共9道单项选择题(每个题有4个选项)，某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布 则以下说法错误的是 ( ) C. E(4X+1)=10 高二数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知函数. 则该函数的零点所在区间是( ) A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2) 7.某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡。现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有 ( ) A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 8.已知函数 正数m，n满足,则 的最小值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 9.已知函数 若在[1, +∞)上恒成立，则实数a的取值范围是( ) C. (0,e] D. [e,+∞) 二、填空题 (本题共6小题，每小题5分，共30分) 10.设随机变量X服从正态分布N(3,σ²),且P(X≤5.5)=0.7, 若P(X≤a)=0.3, 则a= . 11.在 的展开式中，常数项为 . 12.已知一种服装的销售量y (单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x, y的经验回归方程为= 则a= . x 1 2 3 4 5 y 7.5 6 3.3 a 1 高二数学试卷第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒(3个盲盒内人物一定不同)，求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 ；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E(X)= . 14. 若 在 上有两个极值点，则a的取值范围是 . 15. 函数 若 恰有三个零点，则实数a的取值范围 是 . 三、解答题(本题共5题，共75分) 16.(本题14分)已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X). 17. (本题 15分) 三棱台 中, 若AA₁⊥平面ABC, AB⊥AC, M, N分别是BC, BA中点. (1)求证: BB₁∥平面C₁MA; (2)求直线AC₁与平面C₁MN 所成角的正弦值； (3)求三棱锥 的体积. 高二数学试卷 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18.(本题15分)已知函数 在 时取得极值. (Ⅰ) 若 (i)求函数的单调区间； (ii) 求曲线处的切线方程; (Ⅱ)若 且x₁≠x₀,求证: (注: 18. (本题15分)已知等差数列 满足 已知数列 的前n项和 为 ，且满足 (1)求数列 的通项公式； (2)设 求{cₙ}的前2n项和; (3)设 在d₁和d₂之间插入1个数成等差数列; 在 和 之间插入2个数成等差数列; 以此类推, 在和 之间插入n个数 , , ……, ,使(成等差数列.若 求 . 20.(本小题16分)已知函数 (Ⅰ) 若当恒成立, 求实数a的取值范围; (Ⅱ) 若关于有两个不同实数根x₁, x₂, 且 (i)求实数a的取值范围； (ii) 求证: 高二数学试卷 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024一2025学年度第二学期期末四校联考 高二数学答案 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1.A2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.B 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）（双空题对一个空给3分，两个给 5分) 100.5/月 11.-96 12.2.2 13. 83 152 14.1) 15.（←2,2-25人U2,+∞) 三、解答题（本题共5题，共75分） 16.(本小题14分) 解(1)记A=“取出的4个球颜色相同”， 则P()= CC 3 CC3 50' 3 所以取出的4个球颜色相同的概率为 50 …3分 (2)记B=“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则PB)=C5cC+CCC_2 CC 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为} …6分 (3)X的可能取值为1,2,3,4， …7分 则Px=)=CCS-2.3 ￥10025 P(X=2)-Cccic+CiCi4221 C 10050' PX-3)-Cicici+ccici40-2 CC 2=1005' P(X=4)=S C -63 C 10050' …11分 高二数学参考答案第1页共8页 所以X的分布列为： 2 3 4 3 2 3 25 50 5 50 …12分 .E(X)=1 3 21 312 +2× +3×二+4× …14分 25 50 U 505 17.(本小题15分) 解(1)以点A为原点，直线AB,AC,AA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， (没画图扣1分) …1分 A0,0,0),B(2,0,0),C0,2,0),B,1,0,2),C(0,1,2),4(0,0,2), B M1,1,0,N1,0,0),.BB=(-1,0,2) …2分 设平面C,MA的一个法向量为n=(x,y,),， B AM=11,0),AC=(0,1,2), n.AM=x+y=0 n4C-y+22=0◆z=l,n=(2,-2,, …4分 :BB·n=0,BB⊥n,又：BB,文平面C,MA 所以B,B1/平面CMA: …5分 (2)AC=(0,l,2),CM=1,0,-2),NM=(0,1,0), 设平面CMN的一个法向量为m=(a,b,c),则 m·NM=b=0 m.CM=a-2c=0' 令c=1,m=(2,0,1), …7分 设直线AC,与平面C,MN所成角为8， 高二数学参考答案第2页共8页 sin0-kosCm …9分 所以直线AC与平面CMN所成角的正弦值为 …10分 (3)法一：设点M到平面AAC的距离为d, VA-GM=V=3Sc'd, …11分 因为平面4AC的一个法向量为v=(1,0,0), …12分 AM.v AM=1l,0),d= =1 …14分 '-G,='-AdG= …15分 法二：AA=(0,0,2),平面CMA的法向量为n=(2,-2,1), 设点A,到平面C,MA的距离为d,∴.d= 3' …12分 又AM=V2,AC=5,CM=V5, …14分 VA-GM== …15分 18.(本小题15分) 解(I)f"(x)=3x2-2x+a,若函数f(x)在x=1时取得极值，则f'()=0, 即3-2+a=0,所以a=-1, …2分 此时"(x)=3x2-2x-1=(x-103x+1), …3分 (i)令f'(x)>0,得x<-二或x>1, 3 令f)<0,得-<x<1, …4分 3 高二数学参考答案第3页共8页 所以f)的增区间为(-0，一学和1，+0)，f)的减区间为（←， 此时函数∫(x)在x=1时取得极小值，符合题意. …5分 (ⅱ)f(0)=1,∫"(0)=-1，所以切点为(0,1)，切线斜率为-1， …7分 从而切线方程为：y一1=-x,即x+y-1=0. …8分 (Ⅱ)因为函数f(x)在x=x。时取得极值， 所以f'(x)=0,即3x-2x。+a=0,所以a=-3x+2x。, …9分 又因为若f(x)=f(x),所以x-x2+ax+1=x-x+ax。+1, …10分 即x-x-x2+x6+a此-a=0, 即(3-xx+x后+x0--+a)=0, …11分 因为x≠x。,所以x+x+xx一为-x+a=0, 即x+x后+x。-x-x。-3x+2x。=0, …12分 即x2-2x+xx。-x+x0=0, 即(6-x)x+2x)-(x-x)=0, …14分 所以x1+2x。=1. …15分 19.(本小题15分)(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0)， a+d=2a 由题意 2a+7a=9'可得a=d=l, …1分 故数列{an}的通项公式an=n(n∈N), …2分 当n=1时，S1=2b-2=b,解得b=2. …3分 当n22时，Sn1=2bn1-2, 高二数学参考答案第4页共8页 所以Sn-Sn1=2b。-2bn1=bn,即bn=2b1, …4分 而6=2≠0，故6，≠0，故62=2，n22, ∴数列b}是以2为首项，2为公比的等比数列， …5分 所以bn=2"(neN). …6分 (2) 6=y0=r2=(r[+a2小e分 a.(a+1)b 所以T2n=G+C3+C+…+C2n (2n+1)-22m2 …10分 (3)因为d,=62' 11 设Mn=1+1+2+…+x1+…+xm 则M-4+4+号+d)+…+学d+4） …11分 =4+34+54++(2m-d+nd] 设A=1+35 2n-1 222+ +… 20, 所似宁 2n-1 2*…* 两式相减得 2 20人 2n-11 2*2 2+1 高二数学参考答案第5页共8页 == 所以M,= A+ 1n33n+6 22可 22*2 …13分 2 111 设N=d+…+d=(兮+2+…+2 11 …14分 所以P=M,+N,=22 53n+10 …15分 20.(本小题16分)(I)若当x>0时，了)≥x恒成立，即C之x恒成立， 即a≥在(0，+四)上恒成立， …1分 e ◆8-号，则8-24- …2分 所以当x∈(0,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(2，+oo)时，g'(x)<0,g(x) 单调递减， …3分 4 所以g(x)m=g(2)= …4分 e 4 4 所以a之。，即a的取值范围是[。，+o). …5分 (Ⅱ)(1)若关于x的方程f(x)=1有两个不同实数根x,2, 即a=(x≠0)有两个不同实数根x,x, e 等价于y=a与()=产6x≠0)的图象有两个交点。 …6分 因为)=1 er …7分 所以当x∈(-o,0)和(0，l)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(L,+o)时，H(x)<0,h(x)单调递减， …8分 高二数学参考答案第6页共8页 且当x∈(-0,0)时，h(x)<0,当xe(0,+o)时，h(x)>0, …9分 所以)=h0=,所以a的取值范围是(0，马. …10分 (ⅱ)方法（一） 由(1)知，0<x<1<x2, 由(1)知，xs e …11分 的根为，即a=4, 设a=4 e'x ae?, 所以=点=454，从而555= 4 …12分 en e'xs e'xz e?, 所以x(2-xx<42-2=4e2-2, 13分 ae2 令u(x)=e(2-x),则t'(x)=e(1-x), 所以当x∈(0，l)时，u'(x)>0,，u(x)单调递增， …14分 从而u(x)<u()=e, …15分 从而x(2-x)x<4红2-2.4e2-2<4」 …16分 ae2 (进)方法（二） 由（1)知，0<x<1<x2, 构造函数u)=+x--, …11分 er 则w)=l+2r-.w--2+ e4)=3-x 所以当x∈(0，l)时，"(x)>0,从而u"(x)单调递增， 因为w0)=-2+2<0,w0=>0, e 高二数学参考答案第7页共8页 所以存在x。,使得当x∈(0，x)时，u"(x)<0,'(x)单调递减， 当x∈(xol)时，(x)>0,n(x)单调递增， 又因为10)=1-2>0，M0=0, e 所以存在x%,使得当x∈(0，x)时，(x)>0,u(x)单调递增， 当x∈(xl)时，t'(x)<0,u(x)单调递减， 又u(0)=u(0)=0, …13分 所以在(0，上)>0恒成立，即三>-x-}+, e e 设a=-x-少+的根为，即a=-化-少+， e 则a=-k-+=乏>-6-+ e en e 从而x>书· 又由a=-k,-2+得，(2-)=ae,从而x(2-x)<ae, …14分 又由(I)知， ee'x 设a=4的根为无，即a= 4 4 ，x4= ex ae, 所以a=点=4≤4，从而5≤无= 4 -≤ …15分 en e'xs e'x2 e3 所以x(2-出<e 4 …16分 高二数学参考答案第8页共8页