2.7探索勾股定理 同步练习 2025—2026学年 浙教版数学八年级上册

2.7 探索勾股定理 同步练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，正方形是由个边长为的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将折叠，使边与重合，折痕为，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，于，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.学习解直角三角形时，小明编了这样一道题： 已知：在中，，，，解这个直角三角形． 从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤： 由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数； 由，的值，根据的正切值得到的度数； 由，的值，根据勾股定理得到的值； 由，的值，根据的余弦值得到的度数． 请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是(    ) A. B. C. D. 5.勾股定理最早出现在周髀算经“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，，，，，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，，，若此类勾股数的勾为为正整数，则弦是结果用含的式子表示(    ) A. B. C. D. 6.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图所示的四边形若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，把一张长为的长方形纸对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开后得到一个等腰梯形．若剪掉部分的面积为，则打开后的等腰梯形的腰长为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由个全等的直角三角形拼接而成．若记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，且，则的值是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.如果三角形的三边长分别为，，，那么最长边上的中线长为          ． 12.如图，，两点在数轴上，点表示的数是，是数轴上方一点，且，过点作数轴的垂线．若垂线段的长是，垂足表示的数是，则点表示的数是          ． 13.如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、、均在格点上，则的长为          ，的长为          ，的长为          ． 14.我们知道，三个正整数，，满足，那么，，成为一组勾股数；如果一个正整数能表示成两个非负整数，的平方和，即，那么称为“广义勾股数”现有下列结论：是广义勾股数；是广义勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数；若，，，其中，，，，均是正整数，则，，是一组勾股数．其中正确的是          填序号． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在中，点为的中点，其中，，，求的长． 16.本小题分 如图，在中，，，，． 求线段的长； 求的周长． 17.本小题分 定义：如图，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”． 如图，已知，是线段的“勾股分割点”，，，求的长； 如图，已知点是线段上一定点，请用尺规作图在线段上作一点，使得点，是线段的“勾股分割点”不写作法，保留作图痕迹，画一种情形即可． 18.本小题分 如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为，，之间的距离为，求的长． 19.本小题分 已知和都是等腰直角三角形，，，． 如图，连接，，试说明线段与的数量关系和位置关系． 如图，若将绕点顺时针旋转，当点恰好在边上时，求证：． 20.本小题分 阅读下面材料： 已知，在中，，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点．    如图，当，点是边中点时，求的长； 当点在的延长线上时，根据题意补全图形，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， ， ， 解得． 故选C． 首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积公式计算出的长即可． 此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 4.【答案】  【解析】【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意； B. 条件需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意； C. 由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意； D. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数； 故选：． 5.【答案】  【解析】解：为正整数， 为偶数，设其股是， 则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】如图，由题意，得四边形即为打开后的等腰梯形，且，，，所以，所以故打开后的等腰梯形的腰长为． 8.【答案】  【解析】解：，，， ， 为的平分线，将沿直线翻折得， 、、共线，，， ， 在中，设，则， ， ， 解得， ， 故选：． 由勾股定理求出，求出，设，则，得出，解方程求出即可得解． 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选A． 10.【答案】  【解析】因为个直角三角形全等，四边形、四边形、四边形是正方形， 所以，． 所以，． 所以， 所以， 所以． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】 解：， 该三角形是直角三角形， 最长边上的中线长为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】          【解析】由题图中网格，得，，． 14.【答案】  【解析】提示：因为为非负整数，所以不是广义勾股数，故错误；因为，所以是广义勾股数，故正确；举反例，如，，而为非负整数，故错误；设两个广义勾股数分别为，，则，即，所以是广义勾股数，故正确；因为，所以，，是一组勾股数，故正确． 15.【答案】解：，，， 又， ， 是直角三角形且， ， ， 又点为的中点， ．   【解析】根据勾股定理的逆定理求出，求出线段长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 16.【答案】解：， ． 在中，，，， ． ，， 为等腰直角三角形， 又， ，， ．  【解析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：在中利用勾股定理求出的长；根据等腰直角三角形的性质求出、的长． 由可得出，在中，利用勾股定理即可求出的长； 由、可得出为等腰直角三角形，结合的长度可得出、的长度，再利用周长的定理即可求出的周长． 17.【答案】解：设，则． 当为直角三角形的斜边时， 可得， 解得， 的长为． 当为直角三角形的直角边时， 可得为直角三角形的斜边， ， 解得， 的长为． 综上所述，的长为或． 如图，过点作的垂线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 此时，，为直角三角形， 以，，为边的三角形是直角三角形， 即点，是线段的“勾股分割点”， 则点即为所求．   【解析】设，则当为直角三角形的斜边时，由勾股定理得，求出的值即可；当为直角三角形的直角边时，可得为直角三角形的斜边，由勾股定理得，求出的值，即可得出答案． 过点作的垂线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点，是线段的“勾股分割点”． 本题考查作图复杂作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则，所以因为，，之间的距离为，，之间的距离为，所以，，所以因为，所以，所以在和中，所以≌，所以，所以，所以．   【解析】略 19.【答案】【小题】 解：设分别交，于点，，又，，≌，又，． 【小题】 证明：连接，，即又，，≌，在中，，，在中，，又，．   【解析】 略  略 20.【答案】解：点是边中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． 解：如图，    ，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． ， ， ．   【解析】【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先由勾股定理求得，再证明，得，即可求解； 根据题意画出图形，再证明，得，即可得出结论． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$