精品解析：辽宁省沈阳市重点高中联合体2024-2025学年高二下学期期末检测数学试卷

辽宁省2024-2025学年度（下）重点高中联合体高二年级期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题否定的法则求解即可. 【详解】将“”改为“”，将“”改为“”， 故． 故选：C． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，所以． 故选：B． 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，再求. 【详解】因为，所以， 则． 故选：C． 4. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性质，求得，进而求得的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以． 故选：B． 6. 某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（ ） A. 0.095 B. 0.45 C. 0.14 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报， 由题意，可得， 所以． 故选：C． 7. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的公比为q，根据等比数列前n项和基本量运算求得，然后利用等比数列基本量运算求解即可. 【详解】设的公比为q， 因为， 所以，所以． 故选：A． 8. 若对任意，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由类比分式的减法运算法则、除法和乘法的等价性化简原不等式，通过构过新函数，结合导数的几何意义和直线斜率公式进行运算求解即可. 【详解】由，得，即． 设． 易知， 则有， 显然函数在时，单调递增，于是有， 所以函数单调递增， 于是有，显然有，于是有， 显然当时，， 则直线在的图象的下方，在的图象的上方． 设过原点且与图象相切的直线斜率分别为， 切点分别为． 由，得，解得 同理，由， 得，解得， 所． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用不等式性质即可判断；选项B，举反例，利用反例可证B错误；选项C，移项后运用基本不等式可证；选项D，将选项化为两个完全平方式之和，利用平方的性质即可证. 【详解】由题意， A项，∵，∴，故A正确； B项，当时，不成立，故B错误； C项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C正确； D项，∵，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知随机变量X满足，则（ ） A. B. C. D. 记，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程，求得的值，可判定A正确；根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；利用期望的公式，求得，可判定C错误；根据，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】由随机变量X满足， 根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 由，所以B正确； 由期望公式，可得，所以C错误； 由，则，， ，所以，所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 有极大值，也有极小值 B. 没有最大值，也没有最小值 C 对任意 D. 当方程恰有2个不同实根时，a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】求得，得出的单调性，结合极值的定义，可判定A正确；根据的单调性，得到是函数最小值，可判定B错误；由，可判定C正确；把恰有2个不同实根，转化为与的图象有两个交点，结合图象，得出不等式，求得的范围，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为，所以， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确； 对于B中，由函数，可得时，， 又由在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以是的最小值，所以B错误； 对于C中，当时，且，所以C正确； 对于D中，由在上递增，递减，在上递增， 且时，，当时，， 且，， 要使得恰有2个不同实根，即函数与的图象有两个交点， 如图所示，则满足或， 即，所以D错误 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过恒不为零，将问题转化为方程没有实根，再通过判别式即可确定的取值范围. 【详解】由题意，， ∴恒不为零， 即方程没有实根， ∴， 解得， 故答案为：. 13. 已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的．若每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2次取球后恰好停止的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得每次取到白球和橙球的概率，结合独立重复试验的概率公式和对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意知，每次取到白球的概率为，取到橙球的概率为，且每次取球是相互对立的， 所以所求概率为． 故答案为： 14. 已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当n为奇数时，得到，当n为偶数时，得到，得到数列为等比数列，求得，结合二项式的展开式，即可求解. 【详解】当n为奇数时，，所以． 当n为偶数时，，所以，所以， 所以数列是首项为4、公比为2的等比数列， 所以， 所以， 又由, 可得被整除的余数为，即被整除的余数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得，解得， 所以． 【小问2详解】 设的公比为q，则，因为，3，成等差数列， 所以，即，解得，所以． 16. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为时，恒成立，设，求得，得到函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 解：由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 云计算是一种通过互联网按需提供可扩展计算资源的服务模式，其应用不限于企业ⅠT优化，更是渗透到教育、医疗、制造等垂直领域，推动智能化与高效化发展．某媒体进行“你是否了解云计算？”的问卷调查，统计了200名调查者，结果如下 男 女 不了解 35 50 了解 65 50 （1）根据调查结果回答：有把握认为性别与是否了解云计算有关吗？ （2）下表为2020—2025年中国云计算市场规模（单位：千亿元，2025年为预测规模），其中2020—2025年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6 年份代码x 1 2 3 4 5 6 市场规模y 1.67 2.11 2.59 3.10 3.64 4.26 根据上表数据求得y关于x的回归方程为，用相关系数r判断该回归方程是否有价值． （若，则认为回归方程有价值，反之则无）附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有 （2），该回归方程有价值． 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的取值，求得回归方程为，求得，得到，求得，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由列联表中的数据，可得， 因为，所以有的把握认为性别与是否了解云计算有关． 【小问2详解】 解：由的取值依次为1，2，3，4，5，6，可得， 因为回归方程为， 所以， 所以， 所以，故该回归方程有价值． 18. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，两式相减得，结合得出数列的定义，即可证得数列为等差数列； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）由（1）得，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 两式相减得， 因为，所以，所以， 又因为，令，可得，解得或（舍去）， 则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 【小问2详解】 解：由（1）知，数列的通项公式为，则， 可得， 则， 两式相减得， 所以，即数列的前n项和. 【小问3详解】 解：由（1）知，所以， 则， 所以． 19. 已知定义在D上的函数的导函数为，且满足，记． （1）若，且为奇函数，判断的奇偶性； （2）若，从数列的前5项中任取不同两项，记这两项差的绝对值为X，求X的分布列； （3）若，证明：． 【答案】（1）偶函数； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，的，两边求导得，结合函数奇偶性的定义，即可求解，所以，所以是偶函数． （2）根据题意，求得，得到X的可能取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列； （3）求得，设，得到，得出递减，根据，得到存在，使得，进而得到单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：因为是奇函数，所以， 两边求导得，即， 所以，所以是偶函数． 【小问2详解】 解：因为，所以，则， 所以的前5项依次为1，3，5，7，9， 所以X的可能取值为2，4，6，8， ，， 所以X的分布列如下 X 2 4 6 8 P 【小问3详解】 证明：因为，所以， 所以，可得 设，则， 所以在区间上单调递减， 因为， 所以存在，使得，故， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省2024-2025学年度（下）重点高中联合体高二年级期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 6. 某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（ ） A 0.095 B. 0.45 C. 0.14 D. 0.1 7. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则（ ） A B. C. D. 10 已知随机变量X满足，则（ ） A. B. C. D. 记，则 11. 已知函数，则（ ） A. 有极大值，也有极小值 B. 没有最大值，也没有最小值 C. 对任意 D. 当方程恰有2个不同实根时，a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则的取值范围是______． 13. 已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的．若每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2次取球后恰好停止的概率为______． 14. 已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 16. 已知函数． （1）若，求图象在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 17. 云计算是一种通过互联网按需提供可扩展计算资源的服务模式，其应用不限于企业ⅠT优化，更是渗透到教育、医疗、制造等垂直领域，推动智能化与高效化发展．某媒体进行“你是否了解云计算？”的问卷调查，统计了200名调查者，结果如下 男 女 不了解 35 50 了解 65 50 （1）根据调查结果回答：有的把握认为性别与是否了解云计算有关吗？ （2）下表为2020—2025年中国云计算市场规模（单位：千亿元，2025年为预测规模），其中2020—2025年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6 年份代码x 1 2 3 4 5 6 市场规模y 1.67 211 2.59 3.10 3.64 4.26 根据上表数据求得y关于x的回归方程为，用相关系数r判断该回归方程是否有价值． （若，则认为回归方程有价值，反之则无）附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）若，求数列的前n项和． 19. 已知定义在D上的函数的导函数为，且满足，记． （1）若，且为奇函数，判断的奇偶性； （2）若，从数列的前5项中任取不同两项，记这两项差的绝对值为X，求X的分布列； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$