1.1《探索勾股定理》同步练习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

1.1《探索勾股定理》小节复习题 【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A． B．6 C． D． 2.如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 3.如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．40 C．16 D．8 4.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1.在中，∠B=90°，，，则 ． 2.若直角三角形的两直角边长分别为，，则该直角三角形的斜边的长为 ． 3.若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 4.若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】 1.若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ． 2.直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ． 3.如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 4.睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是∆ABC的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出∆ABC的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则∆ABC的面积为 ． 【题型4 勾股定理与网格问题】 1.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 2.如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 3.如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为 ． 4.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，∆ABC的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【题型5 勾股定理与折叠问题】 1.已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长． 2.如图，在∆ABC中，∠B=90°，，，将∆ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 3.如图，将长方形沿折叠，使∆ABC落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 2.中，斜边，则的值是 ． 3.如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 4.如图，等腰直角∆AOB，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】 1.如图，∆ABC和都是等腰直角三角形，，D为边上一点， 求证： (1)； (2)． 2.如图，在∆ABC中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 3.如图，已知∆ABC与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 4.如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【题型8 勾股定理的证明方法】 1.【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在∆ABC中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，∠ABD=90°，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 2.如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 4.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在∆ABC中，是边上的高，，，，设，求x的值． 参考答案 【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1.A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算．根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：A． 2.B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 3.A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形和正方形的面积和为， 故选：A． 4.B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∵A、B、F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长是25， 故选：B． 【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1.4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：4． 2. 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 故答案为：． 3. 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一直角边为x,根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设另一直角边为x， ∵斜边的长为13，一条直角边长为5， ∴， ∴． 故答案为：． 4.或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当为斜边，为直角边时；当、都为直角边时，分别利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当为斜边，为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 当、都为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 故答案为：或． 【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】 1. 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为 由题意得， ∴， 故答案为：． 2. 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为， 则 解得 故答案为：． 3.1 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 4.84 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 【题型4 勾股定理与网格问题】 1. 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案． 【详解】连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： 【变式训练】 2. 【知识点】勾股定理与网格问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3.5 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：5 4.2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出∆ABC是直角三角形，由三角形面积公式得到∆ABC的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 1.解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 2.（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 3.（1）证明：长方形沿对角线对折，使∆ABC落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1.73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 2.2 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 3.40 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 4.50 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵∆AOB和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】 1.（1）证明：∵∆ABC和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 3.（1）．理由如下： ∵∆ABC与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得∆ACD≌∆BCE， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4.（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【题型8 勾股定理的证明方法】 1.（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 2.（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积， ∴； （2）解：①当，时，， 长方形的面积是； 故答案为：28； ②当，时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积． 3.（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 4.解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$