精品解析：福建省福州第四中学2023-2024学年高一下学期第二学段检测数学试卷

福州四中2023-2024学年第二学期第二学段检测高一数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的四则运算以及模的运算公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 正六边形中，=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算可得； 【详解】解：由，得， 故选：B． 4. 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的定义判断各选项. 【详解】根据题意， 选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：A. 5. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 且满足， 则下列命题正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例可判断ACD，由面面垂直判定定理可判断B. 【详解】在正方体中，记平面ABCD为，平面为， （1）当记为n，直线为m，时，可知A错误；（2）当记为n，直线为m，时，可知C错误；（3）记AC为m，为n时，可知D错误；由面面垂直判定定理可知B正确. 故选：B 6. 从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求5条线段中任取3条的结果数，再用列举法求这3条线段能构成一个三角形的结果数，即可求出概率. 【详解】五条线段中任取3条有  种结果，这些结果等可能出现. 要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，故只有：这四种可能， 故所求概率为  . 故选：B 7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题： 甲、乙两人比赛， 假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为， 先胜3局者将赢得全部奖金8万， 但进行到甲胜0局， 乙胜2局时， 比赛因故不得不终止， 为公平起见， 甲应分配到（ ） A. 0 万 B. 1 万 C. 万 D. 4 万 【答案】B 【解析】 【分析】求出进行到甲胜0局， 乙胜2局时，甲获胜的概率，从而求出甲应分配到的钱数. 【详解】接下来，甲要获胜，则要连胜3场，因此甲获胜的概率为， 因此甲应分配到（万元） 故选：B 8. 四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定三角形ABD为等边三角形，求出外接圆半径r,直接利用球和锥体的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果． 【详解】四棱锥各顶点在同一球面上, ，, 则四边形四点共圆，对角互补，，故为等边三角形， 又，则点P在底面射影为的中心H，球心O在PH所在直线上， 设外接圆半径为r，则,， 设外接球的半径为， 当球心O在PH上，故，即，解得（大于PH长度，舍去）． 同理当球心O在PH延长线上，则即，解得成立， 故球的表面积为 故选：B 二、选择题（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则， 即，方程无解， 所以不存在，使得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，， 则在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：CD. 10. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，与不独立 C. 当时， D. 当时，与不独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义、积事件、并事件的性质逐一判断即可. 【详解】A：当时，事件表示次中全部正面朝上，，所以本选项说法正确； B：当时，，，由上可知， 显然，所以与不独立，因此本选项说法正确； C：当时，，，， 所以，故本选项说法正确； D：当时，，，， 显然，所以与独立，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11. 已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点，点E，F分别是棱BC、的中点，则（ ） A. AP与始终保持垂直 B. EF与所成角的正弦值为 C. 点C到平面AEF的距离为 D. 以A为球心，AB为半径的球面与四边形的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的性质以及线面垂直的判定与性质，可得其正误；对于B，根据异面直线的夹角以及正方体的性质，利用锐角三角函数，可得其正误；对于C，利用等体积法，根据三棱锥的体积公式以及三角形的面积的公式，可得其正误；对于D，根据球与正方体的性质，可得交线的轨迹，利用圆锥的性质，可得其正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在正方体中，易知，平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，由题意可作图如下： 因为分别为的中点，所以在正方体中，， 在中，， 在正方体中，易知平面， 因为平面，所以， 在中，，则， 所以与所成角的正弦值为，故B错误； 对于C，由题意可作图如下： 在正方体中，易知平面， 所以三棱锥的体积， 因为平面，所以，则， 易知，， 在中，， 则，所以， 即点到平面的距离，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 在正方体中，易知，平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 由题意可得交线为圆锥底面周长的一半，圆锥的顶点为，底面直径为， 则交线的长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，进而可以求解. 【详解】由，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为. 故答案： 13. 在正三角形中，，D是的中点，E是的中点，则__________． 【答案】##-1.5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，, 所以， 故答案为： 14. 已知，，，则的值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数和差公式，根据同角三角函数的商式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】因为， ， 所以， 分子分母同时除以，得①． 由于，所以，所以， 所以， 所以，，代入①， 得，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证： （1）平面平面； （2）直线平面． 【答案】(1)证明：∵是直三棱柱，∴平面． 又∵平面，∴． 又∵平面，∴平面． 又∵平面，∴平面平面 （2）证明：∵，为的中点，∴． 又∵平面，且平面，∴． 又∵平面，，∴平面． 由（1）知，平面，∴∥． 又∵平面平面，∴直线平面 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系． 【解析】 【分析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可．它可由已知是直三棱柱和证得． （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可 【详解】（1）略； （2）略. 16. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差. 【答案】（1） 平均数67分，80%分位数76.67分 （2）55.4 【解析】 【分析】（1）由频率和为1，求出成绩落在的频率；由样本的平均数公式及百分位数的计算公式得出结果； （2）根据分层抽样的样本平均数及方差公式求得结果. 【小问1详解】 成绩落在的频率为， 补全的频率分布直方图，如图 样本的平均数（分） 设80%分位数为，则， 解得：（分）； 【小问2详解】 由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取30人和20人 分层抽样的平均值：（分） 分层抽样的方差： 所以这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为55.4 17. 已知角，，角和的终边分别与单位圆交于，两点． （1）若，求的值； （2）若，点的横坐标为，求的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，再结合的范围可得，然后代入式子利用诱导公式化简即可； （2）对化简可得，由点的横坐标为，结合任意角的三角函灵敏的定义可求出的值，再利用两角和与差的正余弦公式可求出，从而可求出的值． 【小问1详解】 由，得，又，，所以， 所以 ， 【小问2详解】 由，得，， 又，所以，则 因为点的横坐标为， 所以，， 所以 18. 如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长． 【答案】（1）；（2）时，最长为. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即得解； （2）先求出，设,，，利用余弦定理求出即得解. 【详解】（1）在△中，由余弦定理得 所以. 所以四边形的面积. （2）由题得 所以， 设,， 所以， 所以 所以， 因为， 所以时，最长为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是设,求出；其二是求出. 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四中2023-2024学年第二学期第二学段检测高一数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 正六边形中，=（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 5. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 且满足， 则下列命题正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 6. 从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题： 甲、乙两人比赛， 假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为， 先胜3局者将赢得全部奖金8万， 但进行到甲胜0局， 乙胜2局时， 比赛因故不得不终止， 为公平起见， 甲应分配到（ ） A. 0 万 B. 1 万 C. 万 D. 4 万 8. 四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，与不独立 C. 当时， D. 当时，与不独立 11. 已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点，点E，F分别是棱BC、的中点，则（ ） A. AP与始终保持垂直 B. EF与所成角的正弦值为 C. 点C到平面AEF的距离为 D. 以A为球心，AB为半径的球面与四边形的交线长为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为______． 13. 在正三角形中，，D是的中点，E是的中点，则__________． 14. 已知，，，则的值为_______. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证： （1）平面平面； （2）直线平面． 16. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差. 17. 已知角，，角和的终边分别与单位圆交于，两点． （1）若，求的值； （2）若，点的横坐标为，求的值． 18. 如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $