福建省福州第四中学2023-2024学年高一下学期第二学段检测数学试卷

福州四中2023-2024学年第二学期第二学段检测高一数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 正六边形中，=（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 5. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 且满足， 则下列命题正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 6. 从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题： 甲、乙两人比赛， 假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为， 先胜3局者将赢得全部奖金8万， 但进行到甲胜0局， 乙胜2局时， 比赛因故不得不终止， 为公平起见， 甲应分配到（ ） A. 0 万 B. 1 万 C. 万 D. 4 万 8. 四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，与不独立 C. 当时， D. 当时，与不独立 11. 已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点，点E，F分别是棱BC、的中点，则（ ） A. AP与始终保持垂直 B. EF与所成角的正弦值为 C. 点C到平面AEF的距离为 D. 以A为球心，AB为半径的球面与四边形的交线长为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为______． 13. 在正三角形中，，D是的中点，E是的中点，则__________． 14. 已知，，，则的值为_______. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证： （1）平面平面； （2）直线平面． 16. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差. 17. 已知角，，角和的终边分别与单位圆交于，两点． （1）若，求的值； （2）若，点的横坐标为，求的值． 18. 如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 福州四中2023-2024学年第二学期第二学段检测高一数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##-1.5 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】(1)证明：∵是直三棱柱，∴平面． 又∵平面，∴． 又∵平面，∴平面． 又∵平面，∴平面平面 （2）证明：∵，为的中点，∴． 又∵平面，且平面，∴． 又∵平面，，∴平面． 由（1）知，平面，∴∥． 又∵平面平面，∴直线平面 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系． 【16题答案】 【答案】（1） 平均数67分，80%分位数76.67分 （2）55.4 【17题答案】 【答案】（1）1 （2） 【18题答案】 【答案】（1）；（2）时，最长为. 【19题答案】 【答案】（1） ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）； （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $