1.3 证明 同步练习 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

1.3证明 同步练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题是真命题的是(    ) A. 同位角相等 B. 无论取任何数， C. 相邻两个奇数的和一定能被整除 D. 若，则 2.下列命题是真命题的是(    ) A. 同位角相等 B. 垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 3.下列命题中，是真命题的是(    ) A. 内错角相等 B. ，，是直线，若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4.下面四个命题中，是真命题的个数有(    ) 互相垂直的两条线段一定相交 有且只有一条直线垂直于已知直线 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.判定命题“若，则”是假命题，下面所列举的反例正确的是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.世界杯足球赛小组赛，每个小组个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，败队得分，平局时两队各得分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积(    ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 7.下列命题中是真命题的是(    ) A. 两个锐角之和为钝角 B. 两个锐角之和为锐角 C. 钝角大于它的邻补角 D. 锐角小于它的余角 8.下列命题中，是真命题的是(    ) A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 9.某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10.一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划天完成为正整数，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚天完成，若丙单独完成这项工程需要天，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知，，中只有一句是真的，则苹果在________箱子里． 12.给出下列个命题： 垂线段最短； 两条直线被第三条直线所截，内错角相等； 互补的角是邻补角； 同旁内角相等，两直线平行； 同旁内角的两个角的平分线互相垂直其中是真命题的是______填写命题的序号即可 13.一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有人”另一个成员李四说：“张三是老实人”据此可判断李四是______填“老实人”或“骗子”． 14.对顶角相等，这个命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某学校开田径运动会，其中一个项目是由名运动员进行短跑比赛，赛后名观众介绍了这场比赛的结果． 甲说：是第二名，是第三名；  乙说：是第三名，是第五名； 丙说：是第一名，是第二名；  丁说：是第二名，是第四名； 戊说：是第一名，是第四名． 实际上他们每个人只说对了一半．那么这名运动员的名次究竟各是多少？ 16.本小题分 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如，，等都是“对称数”． 观察：；； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除． 验证： 若这个“对称数”是，请通过计算验证小红的猜想； 设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 17.本小题分 大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明注明理由；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 18.本小题分 求证：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的两条角平分线互相垂直．写出已知、求证，并给予证明 19.本小题分 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于，已知：如图，，求证： 方法一证明：如图，过点作   方法二证明：如图，过点作    20.本小题分 如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点，点，分别在和上． 将正方形绕点按顺时针旋转，判断命题“线段与的长始终相等”是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 如图，将正方形绕点按顺时针旋转，连接，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与线段的长始终相等？请说明你的理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：：两直线平行，同位角相等，故为假命题； ：当为大于小于的数时，，故为假命题； ：设两个相邻奇数分别为：，， 和为：，为的倍数，一定能被整除，为真命题； ：若，则或，故为假命题； 故选：． 根据平行实数的运算法则计算即可． 本题考查了命题的判定，相关知识点有：平行线的性质、不等式的性质、整式的加减、乘方等知识点，熟悉每个知识点是解题关键． 2.【答案】  【解析】解：两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题； B.垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题； C.必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题； D.平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题． 故选：． 逐一分析判断即可． 本题主要考查了学生判断命题真假的能力，解题关键是正确理解相关定理． 3.【答案】  【解析】解：对于，两直线平行，内错角相等，故A选项是假命题，不符题意， 对于，在同一平面内，若，，则，故B选项是假命题，不符题意， 对于，当，时，满足，但，，不满足，故C选项是假命题，不符题意， 对于，根据不等式的性质，若，则，故D选项是真命题，符合题意， 故选：． 根据数学基础知识对选项逐一判断即可解答． 本题考查了平行线的性质，垂线的性质，不等式的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上数学基本知识． 4.【答案】  【解析】解：互相垂直的两条线段不一定相交，故本小题错误； 应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本小题错误； 应为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题错误； 应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本小题错误； 综上所述，真命题的个数是． 故选：． 根据相交的定义，垂线的性质，平行线的性质，点到直线的距离的定义对各小题分析判断即可得解． 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5.【答案】  【解析】解：“若，则”是假命题， 反例，，， ， 而， “若，则”是假命题， 故选：． 假命题举反例说明即可． 本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6.【答案】  【解析】解：个队单循环比赛共比赛场，每场比赛后两队得分之和或为分即打平，或为分有胜负，所以场后各队的得分之和不超过分， 若一个队得分，剩下的个队得分之和不超过分，不可能有两个队得分之和大于或等于分，所以这个队必定出线， 如果一个队得分，则有可能还有两个队均得分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选：． 易得小组赛的总场数为小组数小组数，可得个队的总积分，进而分类讨论小组得分或分能否出线即可． 本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 7.【答案】  【解析】解：、两个角的和是，是锐角，不正确； B、两个的角之和是，是钝角，不正确； C、钝角大于，它的补角小于，正确； D、锐角的余角是，不正确． 故选：． 根据锐角，钝角，补角、余角的定义结合反例即可作出判断． 本题考查了锐角，钝角以及余角和补角的相关概念，掌握锐角，钝角，补角、余角的定义是解答本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故A符合题意； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行的前提是在同一平面内，故B不符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等，故C不符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故D不符合题意， 故选：． 利用平行线的判定方法，对顶角的定义，平行线的性质以及点到直线的距离的定义，分别判断即可解答． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关定义及性质． 9.【答案】  【解析】解：因为地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且只有两位老师说对了， 所以地理老师的话一定是错误的， 因为冠军只有一个，故历史老师和语文老师的话不能都对， 故政治老师的话一定是正确的，根政治老师的话没有矛盾的是历史老师， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的， 故冠军一定是丙， 故选：． 根据数学推理与论证的关系求解． 本题考查了推理与论证，掌握数学推理能力是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：第一种：甲乙丙； 第二种：丙甲乙； 第三种：乙丙甲； 我们发现只要经过的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的．所以只要看最后那几天就行． 若第一种情况，最后甲乙，那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符题意．所以第一种情况，最后应该是甲； 那么第二种情况最后就是丙甲； 第三种情况就是乙丙；所以甲丙 甲乙丙，因为丙单独天做完，工效为，所以通过计算得到甲单独天完成，乙单独天完成， ． 故选：． 考虑三种情况，第一种：甲乙丙；第二种：丙甲乙；第三种：乙丙甲；我们发现只要经过的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的．所以只要看最后那几天就行．若第一种情况，最后甲乙，那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符题意．所以第一种情况，最后应该是甲；那么第二种情况最后就是丙甲；第三种情况就是乙丙；所以甲丙 甲乙丙，因为丙单独天做完，工效为，所以通过计算得到甲单独天完成，乙单独天完成，则． 本题考查推理与论证，解题的关键是根据题意正确推理． 11.【答案】黄  【解析】【分析】 本题考查了推理与论证的知识，做题中学会分情况讨论如果苹果在红箱子里正确那么也正确，违背了只要一个为真；如果苹果在黄箱子里，错误正确；如果苹果在蓝箱子里，错正确．所以苹果在黄箱子里． 【解答】 解：若苹果在红箱子里正确错误 若苹果在黄箱子里错误正确 若苹果在蓝箱子里错正确 故苹果在黄箱子里． 12.【答案】  【解析】解：是公理，正确； 忽略了两条直线必须是平行线，故错误； 举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故错误； “同旁内角互补，两直线平行”，故不符合平行线的判定，是错误的； 当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故错误； 所以真命题是． 故答案为：． 根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 本题考查了真命题，余角和补角，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键． 13.【答案】骗子  【解析】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知： 老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， 而张三说有人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子， 而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子． 故答案为骗子． 此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理． 本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 14.【答案】相等的角是对顶角  假  【解析】解：对顶角相等这个命题的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题； 故答案为：相等的角是对顶角；假． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，由此求解即可． 本题主要考查了命题与定理，对顶角、邻补角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15.【答案】解：若假设甲说的第一句“是第二名”是正确的，则经过推理得出丙说的“是第二名”也是正确的，这与假设相矛盾，所以此假设不成立，则甲说的“是第三名”才是正确的，则“是第二名”是错误的；据此可得：乙说“是第三名是错误的，是第五名是正确的”； 丙说“是第一名是错误的，是第二名是正确的”； 丁说“是第二名是错误的，是第四名是正确的”． 戊说“是第一名是错误的，是第四名是正确的” 所以第一，第三，第二，第五，第四  ．  【解析】本题考查推理与论证因为每个人说对了一半，错了一半，所以此题可以采用假设法进行推理，如果推理得出的结果与假设相矛盾，则此假设不成立，据此即可解答先假设甲说的第一句“是第二名”是正确的，则第二句“是第三名”就是错误的；据此可得：丁说“是第二名”是正确的，“是第四名”就是错误的，则戊说“是第一名”就是正确的；则丙说“是第一名”就是错误的，则“是第二名”就是正确的，这样假设的甲说“是第二名”是正确的相矛盾，所以此假设不成立，则甲说的第二句才是正确的，据此进行推理即可解答． 16.【答案】  【解析】解：； ； ． 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被整除． 故答案为：、 ，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被整除； ， ，为整数， 能被整除， “对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被整除． 根据运算结果计算即可； 根据题意可得，即可求解； 根据题意可得，即可求解． 本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． 17.【答案】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交，如图， 已知， 两直线平行，同位角相等， 已知， 两直线平行，同位角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行； 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图，，，而．  【解析】利用平行线的判定与性质可证明命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．利用反例可说明命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题． 本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了平行线的判定与性质． 18.【答案】已知：，，分别平分，，，交于点， 求证：． 证明：， 两直线平行，同旁内角互补， ，分别平分，， ， ， ， ．  【解析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的和是，然后根据角平分线的定义求出这对同旁内角和的一半是，即可求证一对同旁内角的平分线互相垂直． 19.【答案】证明：方法一：过点作， 则， 两直线平行，内错角相等 点，，在同一条直线上， 平角的定义 ． 即三角形的内角和为． 方法二：延长，如图， ， ，， ， ． 即三角形的内角和为．  【解析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为． 方法二：延长，由平行线的性质得：，，再由平角的定义可得，即可得到三角形的内角和为． 20.【答案】解：线段与的长始终相等是假命题，当点落在上时，； 如图，结论：． 理由：连接． ， ， 四边形，四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ．  【解析】是假命题； 结论：连接，证明≌，可得结论． 本题考查命题与定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$