专题16：三角函数的图像与性质 （5大考点+10大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题16 三角函数的图像与性质 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 知识点三、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 知识点四、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 知识点五、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 知识点六、平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 考点一 三角函数的定义域与值域 题型01：三角函数的定义域 【名师点拨】三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 【例1】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【例2】（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）函数的定义域为________． 【例3】（2025上海高三阶段练习）函数的定义域为______． 【跟踪训练】 1.（静安2023一模1）函数的定义域是 . 2.（2025上海高三模拟）函数y＝的定义域为________． 题型02：y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域 【名师点拨】(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域 (2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)； 【例4】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）若函数的最小值为，则__________． 2.（2020·上海市进才中学高三期中）已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______. 题型03：二次函数模型 【名师点拨】(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制； 对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。 = (2)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。 【例5】（2025上海高三阶段练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例6】（2025上海高三模拟）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）函数的最大值为_________________ 2．（2025上海高三阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型04：分式型 【名师点拨】形如分式型：等 三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。 ①基本类型一:、型 方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法． ②基本类型二：型． 转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值； 【例7】（2025上海高三阶段练习）求函数的最大值及最小值． 【例8】（2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）函数的定义域为__________． 2．（2025上海高三模拟）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型05：根据三角函数的值域（最值）求参数 【例9】（2025上海高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）若函数在区间上的最大值是，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2023·上海·高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________. 3．（2023·上海·高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________． 考点二 三角函数的图象 题型06：五点法作图 【名师点拨】(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 【例10】（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数在区间上的大致图象. 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 2.已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 题型07：三角函数图像的变换 【名师点拨】 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成 【例11】（2021·上海高三一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【例12】（青海省玉树州州直高中2021-2022学年高三下学期第四次大联考数学（理科）试题）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【跟踪训练】 1．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 2.（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________． 3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点三 三角函数的周期性 题型08：三角函数的周期性 【名师点拨】定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （1） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （2） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变. 【例13】（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 【例14】（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【例15】（2023·高一课时练习）下列函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数序号为______． 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 2．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 3.(2020·南开区模拟)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 4.(2020·云南保山模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数的序号为(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 5．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 考点四 三角函数的单调性 题型09：求三角函数的单调区间 【名师点拨】（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得． （2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为 ，将变形为，再求函数的单调区间． （3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆． 【例16】（2022·上海市松江二中高三阶段练习）函数在上的单调递减区间为______. 【例17】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 【跟踪训练】 1.已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 2.（浦东2023一模11）已知定义在上的函数为偶函数，则的单调减区间为 . 题型10：根据三角函数的单调性求参数 【名师点拨】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； (3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 【易错提醒】要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．　 【例18】（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 2．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）若在上是严格递增函数，的最大值是_____. 3．（2023·上海金山·统考一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 考点五 三角函数的奇偶性和对称性 题型11：判断三角函数的奇偶性 【名师点拨】1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　 2.函数具有奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【例19】已知函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)． (1)若f(x)为偶函数，则φ＝________； (2)若f(x)为奇函数，则φ＝________. 【例20】(2020·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是(　　) A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x 【跟踪训练】 1．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型12：奇偶性的应用（识图、求值、求参数） 【例21】（2023·上海青浦·统考一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 【跟踪训练】 1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，则______． 2．（2023秋·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 题型13：三角函数的对称性 【名师点拨】 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法： 【例22】（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）函数 的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【例23】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值在处取到，则是（    ）． A．奇函数，且关于点成中心对称 B．偶函数，且关于点成中心对称 C．奇函数，且关于点成中心对称 D．偶函数，且关于点成中心对称 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称 2．（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）函数图象的对称中心可能是(    ) A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一专题练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点七 三角函数的零点问题 题型14：三角函数的零点问题 【名师点拨】巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题 解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．　 【例24】（2020·上海南汇中学高三期中）已知函数在上有两个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例25】（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________. 【跟踪训练】 1．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________. 2.（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）方程的解集为_____________． 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 5．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 6．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 考点七 根据条件确定解析式 题型15：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 【名师点拨】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入； ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　 【例26】（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式_________． 【例27】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为(　　) A．f(x)＝2sin(2x－) B．f(x)＝2sin(2x＋) C．f(x)＝2sin(2x＋) D．f(x)＝2sin(2x－) 2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(－)＝________. 题型16：知式选图 【例28】（2023春·吉林白山·高三统考期中）函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【跟踪训练】 1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）函数的图像大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2025上海高三阶段练习）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型17：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式 【例29】（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________. 【跟踪训练】 1．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________. 2．已知函数满足： ①的最大值为2；②；的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值． 考点八 三角函数性质的综合应用 题型18：三角函数性质的综合 【名师点拨】探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．对于y＝asin x＋bcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．　 【例30】（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【例31】（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若函数关于点中心对称，求在上的值域． 【跟踪训练】 1.（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 题型19：三角函数与平面向量综合 【例32】（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【跟踪训练】 1.（徐汇2023二模）已知向量，，函数． （1）设，且，求的值； （2）在△中，，且△的面积为，求的值． 2.（2023崇明一模） 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，. （1）求角B大小； （2）设，当时，求的最小值及相应的x. 题型20：三角函数与解三角形综合 【例33】（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【跟踪训练】 1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设，. (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求面积的最大值. 2．（2022·上海徐汇·三模）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值. 题型21：新定义问题 【例34】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【跟踪训练】 1.定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 1．（2025·上海春考）函数在上的值域为 ． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024上海春考）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0． （1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域； （2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围． 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A．B．C． D． 7．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 8．【2022年上海市高考数学第3题】函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 　　　　． 9．【2020年上海市高考数学第18题】已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0． （1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）的解集； （2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）f（﹣x）f（x），x∈[0，]，求g（x）的值域． 10．【2019年上海市高考数学第15题】已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　　　） A． B． C． D． 11．【2018年上海市高考数学第18题】设常数a∈R，函数f（x）＝asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（）1，求方程f（x）＝1在区间[﹣π，π]上的解． 12．【2017年上海市高考数学第18题】已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈（0，π）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b＝5，若f（A）＝0，求△ABC的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题16 三角函数的图像与性质 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 知识点三、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 知识点四、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 知识点五、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 知识点六、平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 考点一 三角函数的定义域与值域 题型01：三角函数的定义域 【名师点拨】三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 【例1】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 【例2】（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）函数的定义域为________． 【答案】且 【详解】由题意得，， 即 解得且，， 故定义域为：且， 故答案为：且． 【例3】（2025上海高三阶段练习）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题意可得，解得，分别令k=-1、0、1，综合即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 令k=-1，解得， 令k=0，解得， 令k=1，解得， 综上，定义域为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（静安2023一模1）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】，则， 2.（2025上海高三模拟）函数y＝的定义域为________． 【答案】：{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 【解析】：法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 法三：sin x－cos x＝sin(x－)≥0， 将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 题型02：y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域 【名师点拨】(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域 (2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)； 【例4】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）若函数的最小值为，则__________． 【答案】/ 【分析】根据三角恒等变换化简整理得，结合正弦函数求最值. 【详解】∵， ∴函数的最小值为， 此时，即. 故答案为：. 2.（2020·上海市进才中学高三期中）已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______. 【答案】 【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在的单调性可得，利用整体法可求当取最大值时，的值域． 【详解】， 令，则， 故的减区间为， 由题设可得为的子集， 故且，故，故， 当时，，故， 故的值域为．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法． 题型03：二次函数模型 【名师点拨】(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制； 对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。 = (2)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。 【例5】（2025上海高三阶段练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再利用闭区间上的二次函数求解作答. 【详解】依题意，函数， 令，则，当，即时，， 所以函数的最小值是. 故选：D 【例6】（2025上海高三模拟）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 【答案】　 【解析】令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得sinxcosx＝(1－t2)， 所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求． 因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1， 当t＝－时，ymin＝－－， 当t＝1时，ymax＝1， 所以原函数的值域为 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）函数的最大值为_________________ 【答案】 【分析】化简函数解析式，结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值. 【详解】函数，令，， 则，，所以当时，函数取得最大值为. 故答案为：. 2．（2025上海高三阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得； 【详解】解：根据题意，设， 则， 则原函数可化为，， 所以当时，函数取最大值. 故选：C. 题型04：分式型 【名师点拨】形如分式型：等 三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。 ①基本类型一:、型 方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法． ②基本类型二：型． 转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值； 【例7】（2025上海高三阶段练习）求函数的最大值及最小值． 【答案】最大值为，最小值为0 【分析】表示过，的直线的斜率，结合几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，进而结合圆的切线性质求解即可. 【详解】解：表示过，的直线的斜率， 由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值， 所以设切线的斜率为，则直线方程为，即， 则，解得或， 所以函数的最大值为，最小值为0． 【例8】（2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，， 令，由，得， 所以，则. 由，得， 所以，则原函数可化为， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 故当时，取得最大值，此时取得最小值. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设可得，故， 故函数的定义域为. 故答案为：. 2．（2025上海高三模拟）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一： 因为，所以 ∴或，∴或 故的值域为 解法二：由，得，易知， 所以，则，解得或 故的值域为． 故选：B． 题型05：根据三角函数的值域（最值）求参数 【例9】（2025上海高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数的问题，根据值域即可求实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以，且，又的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）若函数在区间上的最大值是，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】把函数化为的二次函数,根据求出函数的最大值,由此求得的值. 【详解】函数 由,得,所以时, 函数在区间上取得最大值,解得 故选: 2．（2023·上海·高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意先求出的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解. 【详解】因为，，所以， 又因为函数（常数）在区间没有最值， 所以，解得，所以的取值范围是 故答案为：. 3．（2023·上海·高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________． 【答案】． 【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 因为函数在上有唯一的最小值-2， 所以，解得， 故的取值范围是. 故答案为： 考点二 三角函数的图象 题型06：五点法作图 【名师点拨】(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 【例10】（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数在区间上的大致图象. 【答案】（1），单调增区间是.（2）图见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定的解析式，从而可得的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果. 【详解】 （1）由题意知， 根据函数的图象关于直线对称， 得， 即， 又，所以，则， 则 ， 则函数的最小正周期， 令，得， 故函数的单调增区间是. （2）列表如下： 0 0 1 2 1 1 3 2 故在区间上的大致图象是： 【点睛】 三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【答案】(1)补充表格见解析， (2) 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 （2）若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. 2.已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】　(1)y＝2sin的振幅A＝2， 周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sin X. 列表如下： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点画出图象，如图所示： (3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象； 再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象； 再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象； 再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin(2x＋)的图象． 题型07：三角函数图像的变换 【名师点拨】 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成 【例11】（2021·上海高三一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项. 【详解】函数 所以将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，即得到函数的图象. 【例12】（青海省玉树州州直高中2021-2022学年高三下学期第四次大联考数学（理科）试题）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】 由题意，由于函数， 观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 先通过诱导公式将化为，设平移了个单位，从而得到方程，求出，得到答案. 【详解】 ， 设平移了个单位，得到， 则，解得：， 即向右平移了个单位. 故选：B 2.（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________． 【答案】 【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：， 函数图象关于点成中心对称，则：， 整理可得：， 则当时，有最小值. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由是函数的对称轴可得，所以再由，求得，再化为，再通过左加右减即可得解. 【详解】 依题意，直线是函数的图像的一条对称轴， 则，即， 解得，因为，所以， 所以函数． 将的图像， 向右平移个单位长度得． 故选：B． 考点三 三角函数的周期性 题型08：三角函数的周期性 【名师点拨】定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （1） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （2） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变. 【例13】（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 【例14】（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论. 【详解】易知，其中， 由周期公式可得其最小正周期为. 故选：A 【例15】（2023·高一课时练习）下列函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数序号为______． 【答案】③④ 【详解】由题知，的大致图象为 由图知，并不是周期函数，故①错误； 的大致图象为 由图知的最小正周期为，故②错误； 最小正周期为，故③正确； 最小正周期为，故④正确. 故答案为：③④ 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 2．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 3.(2020·南开区模拟)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 【答案】　C 【解析】由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C. 4.(2020·云南保山模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数的序号为(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】　(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos的最小正周期T＝＝π； ④y＝tan的最小正周期T＝，故选A. 5．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 考点四 三角函数的单调性 题型09：求三角函数的单调区间 【名师点拨】（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得． （2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为 ，将变形为，再求函数的单调区间． （3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆． 【例16】（2022·上海市松江二中高三阶段练习）函数在上的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】令解不等式，再结合范围即可. 【解析】令，解得， 令得，所以函数在上的单调递增区间为. 故答案为：. 【例17】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 【答案】A 【解析】作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图． 由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A. 【跟踪训练】 1.已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则＝0，所以sin＝0， 解得φ＝，故f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为． 2.（浦东2023一模11）已知定义在上的函数为偶函数，则的单调减区间为 . 【答案】 【解析】法一：为偶函数 也为偶函数为奇函数 法二：为偶函数 （共同） 令，则同号 故的单调减减区间为 题型10：根据三角函数的单调性求参数 【名师点拨】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； (3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 【易错提醒】要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．　 【例18】（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 2．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）若在上是严格递增函数，的最大值是_____. 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简得，利用整体代换的方式，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得，由可确定，由此可得的最大值. 【解析】； 当时， 在上严格递增，， 解得：； 由得：；由得：； 又，，，则的最大值为. 故答案为：. 3．（2023·上海金山·统考一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据增函数和对称中心特征，求出范围，进而得到答案. 【详解】因为，则，函数()在区间上是严格增函数， 所以，即； 又因为的图像关于点对称，则（），则（）， 所以（），解得（）， 结合，所以或. 故答案为：或. 考点五 三角函数的奇偶性和对称性 题型11：判断三角函数的奇偶性 【名师点拨】1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　 2.函数具有奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【例19】已知函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)． (1)若f(x)为偶函数，则φ＝________； (2)若f(x)为奇函数，则φ＝________. 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)因为f(x)＝3sin(2x－＋φ)为偶函数， 所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝. (2)因为f(x)＝3sin(2x－＋φ)为奇函数， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z， 又φ∈(0，π)， 所以φ＝. 【例20】(2020·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是(　　) A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x 【答案】D 【解析】由f(x)＝f(－x)可知函数是偶函数，且f(x－π)＝f(x)，则函数的周期为π.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)＝sinxcosx＝sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2π，故错误；D项中f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，该函数是周期为π的偶函数，故选D. 【跟踪训练】 1．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性与奇偶性逐项分析判断. 【详解】对于A：，即， 则的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，A不符合题意； 对于B：的定义域为， 由，可知为偶函数，B不符合题意； 对于C：的定义域为， 由，可知为奇函数， 在上单调递增，但在定义域内不是单调函数, C不符合题意； 对于D：的定义域为， 由，可知为奇函数, 在定义域内单调递增，D符合题意. 故选：D. 2．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为， 若函数是偶函数，则，即 ，又，故或， 若，则为偶函数， 所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型12：奇偶性的应用（识图、求值、求参数） 【例21】（2023·上海青浦·统考一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 【答案】； 【分析】根据函数为奇函数进行求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，即， 则， 得， 则，其中， 所以该函数的所有零点是. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，则______． 【答案】 【详解】由于是奇函数， 所以， 所以， 此时，经验证可知是奇函数，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 2．（2023秋·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数为奇函数， 则，取，则． 故选：D 题型13：三角函数的对称性 【名师点拨】 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法： 【例22】（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）函数 的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【详解】的对称轴满足，即， 当时，A满足，其他选项不满足. 故选：A 【例23】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值在处取到，则是（    ）． A．奇函数，且关于点成中心对称 B．偶函数，且关于点成中心对称 C．奇函数，且关于点成中心对称 D．偶函数，且关于点成中心对称 【答案】D 【详解】由最大值在处取到可得， 所以，故为偶函数，且关于对称， 故选:D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称 【答案】A 【详解】解：依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到， 因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以， 因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称； 故选：A 2．（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）函数图象的对称中心可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 当时，． 故选：C． 3．（2023·全国·高一专题练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，令 当时，，ABD均符合题意， 故选：C 4．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，解不等式求出，再由周期公式求出，最后由可得答案. 【详解】，，则，， ∴，解得，因为，所以， 即，， ，，， 即，又 ∴. 故选：D. 考点七 三角函数的零点问题 题型14：三角函数的零点问题 【名师点拨】巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题 解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．　 【例24】（2020·上海南汇中学高三期中）已知函数在上有两个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，由，可得，利用函数零点的对称性可得，即可求得，进而求出的值. 【详解】， 因为，所以， 因为在上有两个零点， 所以， 所以， 所以 故选：D 【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的图象与性质，着重考查了函数的零点，求得最关键，属于中档题. 【例25】（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】设函数的最小正周期为， 由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点， 则，则， 注意到，解得， ∵，则， 由题意可得：，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【答案】或或. 【分析】由得则满足的k恰有两解，即求. 【解析】由得即， ∵函数在区间上恰有两个零点， ∴，即满足的k恰有两解， 又，所以k取1,2或2,3或3,4， 当k取1,2时，且，即； 当k取2,3时，且，即， 当k取3,4时，且，即， 所以的取值范围是或或. 故答案为：或或. 2.（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数和的图象，要想使方程恰有5个实数解，则需直线处在函数在内的曲线切线和之间． 【详解】解：作出函数和的图象如图： 若方程恰有5个实数解， 则直线处在函数在内的曲线切线和之间． 函数是周期为4的周期函数， ，此时． ，， 此时两个函数不相交． 当，时，，， ，，． 由，得， 则由，得， 整理得，解得， 当，时，，， ，，． 即，将代入整理得， 即， 由判别式得 要使方程恰有5个实数解，则， 即的取值范围为， 故选：B． 3．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）方程的解集为_____________． 【答案】 【分析】由已知可得，然后利用正切函数的性质可求得结果. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以方程的解集为， 故答案为： 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 5．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 6．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案. 【解析】由已知得：恒成立，则 ， ， 由得， 由于在区间 上恰有3个零点， 故，则， ， 则, 只有当时，不等式组有解，此时，故， 故答案为： 考点七 根据条件确定解析式 题型15：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 【名师点拨】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入； ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　 【例26】（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式_________． 【答案】. 【分析】根据函数的图象，得到，求得，再根据和，列出方程求得的值，即可求解. 【解析】由函数的图象，可得，即可，所以， 所以， 又由，可得， 即，且，可得，解得， 又由，即，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 【例27】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 【跟踪训练】 1.如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为(　　) A．f(x)＝2sin(2x－) B．f(x)＝2sin(2x＋) C．f(x)＝2sin(2x＋) D．f(x)＝2sin(2x－) 【答案】B 【解析】由题意知，A＝2，函数f(x)的图象过点(0，)，所以f(0)＝2sin φ＝，由|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)．故选B. 2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(－)＝________. 【答案】－ 【解析】由函数的图象可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)，所以f(－)＝－. 题型16：知式选图 【例28】（2023春·吉林白山·高三统考期中）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】的定义域为， 因为，所以为偶函数，排除B、D. 当时，，，则，排除C选项， 故选：A. 【跟踪训练】 1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义得到的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除BC； 又，故A正确，D错误. 故选：A 2．（2025上海高三阶段练习）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 函数是奇函数，排除AC； 当时，， 此时图像在轴的上方，排除B. 故选：D 题型17：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定） 【例29】（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】 由题可得，进而可得，取，即得. 【详解】 ∵，，且， ∴，， ∴，， 令，，，，， 令，，. 故答案为：（答案不唯一）. 【跟踪训练】 1．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据值域，求得A值，根据x范围，求得周期，进而可得值，根据对称轴，求得值，经检验，即可得答案. 【详解】 由题意，设，由的最小值为-2，得A=2， 若为半个周期长度，则， 则， 由①，不妨令，解得， 所以，经检验，符合①②条件， 故答案为：（答案不唯一） 2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足： ①的最大值为2；②；的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值． 【答案】(1) (2)， 【解析】 【分析】 （1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式； （2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可. (1) 由条件③，得又，所以． 由条件①，得，又，所以． 由条件②，得，又，所以． 所以． 经验证，符合题意． (2) 函数的单调递增区间为． 由，得．又因为， 所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，． 故在区间上的单调递增区间为，最小值为. 考点八 三角函数性质的综合应用 题型18：三角函数性质的综合 【名师点拨】探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．对于y＝asin x＋bcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．　 【例30】（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项. 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 【例31】（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若函数关于点中心对称，求在上的值域． 【答案】(1)最小正周期为， (2) 【解析】 【分析】 （1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解； （2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解. (1) ．∴的最小正周期为， 令，∴的单调递增区间为 (2) ． ∵关于点中心对称，∴，∵，∴． ∴．当∴． 【跟踪训练】 1.（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 【答案】C 【分析】求出即可判断选项A；由正弦函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断C；判断，即可判断D． 【详解】对于A，若，则， ，不是最值， 所以不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则， 当时，，因为正弦函数在上不单调， 所以函数在上不是增函数，故B错误； 对于C，，则， 因为函数在上最大值为1， 所以，解得，故C正确； 对于D，若，函数， 因为， 所以函数的最小正周期不是，故D错误． 故选：C． 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 题型19：三角函数与平面向量综合 【例32】（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【跟踪训练】 1.（徐汇2023二模）已知向量，，函数． （1）设，且，求的值； （2）在△中，，且△的面积为，求的值． 解：（1）由题意得==． 由，得， 于是，因为，所以 ； （2）因为，由（1）知． 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是. 因为△ABC的面积为，所以，于是. ① 由余弦定理得，所以．  ② 由①②可得或 于是． 由正弦定理得， 所以． 2.（2023崇明一模） 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，. （1）求角B大小； （2）设，当时，求的最小值及相应的x. 【答案】（1） （2）当时，有最小值. 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解； （2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值. 【小问1详解】 由已知条件得， 由正弦定理得， 即，, 则， ∵，∴， 又∵ ,∴; 【小问2详解】 , ∵,∴,， 则的最小值，其中，即当时，有最小值. 题型20：三角函数与解三角形综合 【例33】（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 【跟踪训练】 1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设，. (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求面积的最大值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）化简，结合与正弦函数的单调性令或，求解即可； （2）结合锐角三角形及可得，利用余弦定理可得，再根据基本不等式求得的范围，进而由三角形面积公式求解. （1） 由题意，， 因为，所以， 由正弦函数的单调性可知，当或， 即或时，函数递增， 所以的单调递增区间是和. （2） 由题意，，所以， 因为锐角，则，故， 由余弦定理，，故， 由基本不等式，，故，当b=c时等号成立 因此，，当时，面积取得最大值. 2．（2022·上海徐汇·三模）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，代入点、的坐标，可分别求出、的值，可得出函数的解析式； （2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值. 【解析】（1）解：由图象可知，函数的最小正周期为，. 因为点在函数的图象上，所以，即. 又，则，从而，即. 又点在函数的图象上，所以由，得. 此时，则在附近单调递增，合乎题意， 所以函数的解析式为. （2）解：由，所以，， 因为， ， ，则，所以，或，可得或， 当时，因为，可得. 又因为，所以， 解得； 当时，因为，可得， 因为，所以， 解得. 所以或. 题型21：新定义问题 【例34】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 【跟踪训练】 1.定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 1．（2025·上海春考）函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 3．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 4．（2024上海春考）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0． （1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域； （2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论． （2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出a的取值范围． 【解答】解：（1）当ω＝1时，f（x）＝sin（ωx+）＝sin（x+）． 因为x∈[0，π]，所以令， 根据y＝f（t）＝sint在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为sin＝1，最小值为sin＝﹣sin＝﹣． 因此函数的值域为[﹣，1]． （2）由题知，所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+）． 当f（x）＝0时，，即． 当k＝3时，，所以，即． 因此，a的取值范围为[，）． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 7．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 8．【2022年上海市高考数学第3题】函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 　　　　． 【答案】π 【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1 ＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x ＝2cos2x ＝cos2x+1， Tπ． 故答案为：π． 9．【2020年上海市高考数学第18题】已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0． （1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）的解集； （2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）f（﹣x）f（x），x∈[0，]，求g（x）的值域． 【答案】(1){x|或，k∈Z}． (2)[． 【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω，所以f（x）＝sin． 令sin，故或，整理得或． 故解集为{x|或，k∈Z}． （2）由于ω＝1， 所以f（x）＝sinx． 所以g（x）sin（2x）． 由于x∈[0，]， 所以． ， 故， 故． 所以函数g（x）的值域为[． 10．【2019年上海市高考数学第15题】已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R， f（x+a）为偶函数， 则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]， 由于函数为偶函数， 故：a＝6， 所以：， 当k＝1时．ω 故选：C． 11．【2018年上海市高考数学第18题】设常数a∈R，函数f（x）＝asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（）1，求方程f（x）＝1在区间[﹣π，π]上的解． 【答案】(1)a＝0； (2)x或x或x或x 【解答】解：（1）∵f（x）＝asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）＝﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， ∴﹣asin2x+2cos2x＝asin2x+2cos2x， ∴2asin2x＝0， ∴a＝0； （2）∵f（）1， ∴asin2cos2（）＝a+11， ∴a， ∴f（x）sin2x+2cos2xsin2x+cos2x+1＝2sin（2x）+1， ∵f（x）＝1， ∴2sin（2x）+1＝1， ∴sin（2x）， ∴2x2kπ，或2xπ+2kπ，k∈Z， ∴xπ+kπ，或xπ+kπ，k∈Z， ∵x∈[﹣π，π]， ∴x或x或x或x 12．【2017年上海市高考数学第18题】已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈（0，π）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b＝5，若f（A）＝0，求△ABC的面积． 【答案】(1)[，π）； (2). 【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x ＝cos2x，x∈（0，π）， 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kππ≤x≤kπ，k∈Z， k＝1时，π≤x≤π， 可得f（x）的增区间为[，π）； （2）设△ABC为锐角三角形， 角A所对边a，角B所对边b＝5， 若f（A）＝0，即有cos2A0， 解得2Aπ，即Aπ， 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 化为c2﹣5c+6＝0， 解得c＝2或3， 若c＝2，则cosB0， 即有B为钝角，c＝2不成立， 则c＝3， △ABC的面积为SbcsinA5×3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$