精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年九年级下学期中考押题数学试卷（一）

兰州市学府致远学校中考数学押题卷（一） 一、选择题 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是 ， 故选A． 2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　) A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】解：5300万=53000000=. 故选C. 【点睛】在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）. 3. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可求． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 5. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得：，故C正确． 故选：C． 6. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可得到结论． 【详解】解：∵Δ=b2-4ac=＜0， ∴方程总没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种， ∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为， 故选：A． 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 9. 如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质．先利用线段垂直平分线的性质可得：，利用直角三角形的两个锐角互余可得：，再从而得，在中利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 根据题意用弧长公式计算即可. 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（）， 故选：C. 11. 如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 分两种情况讨论，当时，由，得到，求得y与x之间函数关系；当时，同理求得，求得y与x之间函数关系，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 当D是边的中点时， ∴， 当时， 由题意得，则， ∴， ∴， ∵，开口向上，当时，y有最大值为； 当时， 由题意得，，， ，则， ∴， ∴， ∵，开口向下，当时，y有最大值为2； 综上，图象经过点和两点，且图象分别是开口先向上后向下的两段抛物线， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 13. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即， ∵平移后的直线与轴交于， ， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图是甲、乙两组同学根据本组最近次数学平均成绩分别绘制成的折线统计图，由统计图可知______组进步较大（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，关键是正确识别图形信息；根据图形反馈信息进行判断即可. 【详解】解：∵甲组的成绩变化从到，乙组的成绩变化是从到， ∴乙组进步更大； 故答案为：乙． 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 三、解答题（本大题11小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 解方程∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤， 根据解分式方程的方法，把分式方程转化为整式方程即可解答，计算完要注意验根 【详解】解： ， 经检验，是方程的解， 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法，除法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求反比例函数与一次函数的表达式： （2）过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 21. 下面是小东设计的“作平行四边形，使”的作图过程． 作法：如图，①画； ②在的两边上分别截取； ③以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； ④连接． 则四边形为所求的平行四边形． 根据小东设计的作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形为所求的平行四边形．（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1） 图形如图所示： （2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】（1） （2）小军第一次投掷实心球不能得满分 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【小问1详解】 解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 23. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为的中点 … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：） 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）设，先是等腰直角三角形，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． 【小问1详解】 综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． 【小问2详解】 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． 24. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； （2）1.6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，结合“三线合一”得到．即可得为的中位线，有则有．即可判定结论； （2）由题意得，由（1）知：，进一步证明，则代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为5， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆和三角形的结合，涉及圆周角定理、三线合一、三角形的中位线定理、圆的切线判定和相似三角形的判定和性质，结合的关键是做出辅助线并找到对应的三角形关系． 25. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立． 理由：是等腰直角三角形，四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：设交于点， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质， （1）是等腰直角三角形，四边形是正方形，得出边角关系，再利用证明即可求解， （2）设交于点，根据得出，再证明，即可求解； （3）过点作于点，可得N为的中点，再利用勾股定理等求出，再根据可求出，进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，            在正方形中，， ， ． 在等腰直角中，， ，， 在中，， 在中，， ， ． 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离”，记作． 已知点． （1）d（点O，直线BC）=_________； （2）线段L是直线上的一部分，若，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2 （2）最小值-1，最大值 （3）t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2 【解析】 【分析】(1)根据点到直线的距离最短，确定计算即可． (2)根据题意，分别利用最小距离直接是1和垂线段最短，距离为1，两种情况计算即可． (3)圆在三角形外部的左边，三角形内部，三角形外部的右边三种情况计算即可． 【小问1详解】 如图，∵B(-2，-2)，C(6，-2) ∴BC∥x轴，O到BC的距离为2， 故d（点O，直线BC）=2， 故答案为：2． 【小问2详解】 设AC与x轴的交点为M，y=x与直线AC的交点为N， ∵， ∴AB=6-(-2)=8，BC=6-(-2)=8，BC∥x轴，BA∥y轴， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=∠AMO=∠NOM= 45°， ∴ON⊥AC， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴直线AC的解析式为y= -x+4， ∴(2，2)在直线y= -x+4， ∴点N的坐标为(2，2)， ∵，且L的长度最长， ∴EN=1，或过点D作DG⊥BC，交BC于G，交x轴于点H，且DG=1， 此时ED最长，此时点D的横坐标最小，为-1； ∵ON=， ∴OE=ON-EN=， 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴OF=OEcos45°==， ∴线段L两个端点的横坐标最小值-1，最大值． 【小问3详解】 当在AB的左侧时， ∵的圆心为，半径为1． ∴当t=-3时，圆与直线AB相切， ∵， ∴t=-4； 当在三角形的内部时， ∵的圆心为，半径为1， ∴TG=GF=2， ∴TF=， ∴OT=OF-TF=， ∵与直线x=-1是相切的， ∴t＞0， 故t的取值范围是0≤t≤； 当在AC的外部时， ∴TF=， ∴OT=OF+TF=， 故t的取值范围是t=； 故t的取值范围是t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2． 【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的切线的性质，特殊角的函数值，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校中考数学押题卷（一） 一、选择题 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　) A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108 3. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 9. 如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 13. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为___________． 14. 如图是甲、乙两组同学根据本组最近次数学平均成绩分别绘制成的折线统计图，由统计图可知______组进步较大（填“甲”或“乙”）． 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 三、解答题（本大题11小题，共75分） 16. 计算：． 17. 解方程∶ 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求反比例函数与一次函数的表达式： （2）过点A作轴于点C，求的面积． 20. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 下面是小东设计的“作平行四边形，使”的作图过程． 作法：如图，①画； ②在的两边上分别截取； ③以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； ④连接． 则四边形为所求的平行四边形． 根据小东设计的作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形为所求的平行四边形．（ ）（填推理的依据）． 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 23. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为的中点 … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：） 24. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离”，记作． 已知点． （1）d（点O，直线BC）=_________； （2）线段L是直线上的一部分，若，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $