精品解析： 湖南省长沙师大附中集团2024-2025学年七年级数学下学期期末试卷

2024-2025下学期七年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 解不等式，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查所生产的整批火柴是否能够划燃 B. 了解一批导弹的杀伤半径 C. 疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温 D. 了解全国中小学生的体重情况 5. 如图，，其中，，则（ ） A. 60° B. 100° C. 120° D. 135° 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 9. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①和面积相等；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是_____． 12. 不等式组的整数解的和是______． 13. 点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后对应点的坐标为______． 14. 已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为______． 15. 如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝_____度． 16. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 长沙市华益中学为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表． 组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比 A 50 B m C 40 p D n 请根据统计图表提供的信息，回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）若制成扇形统计图，则C组所对应的圆心角为 ； （3）若我校学生有4000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？ 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解互为相反数，求m的值，并求出方程组的解． （2）若该方程组的解满足，求出满足条件的m的所有正整数值． 22. 第一届中非经贸博览会于年月日至日在长沙举办，为了抓住商机，某服装店决定购进甲、乙两种文化衫进行销售，若购进甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元；若购进甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元. （1）求购进甲、乙两种文化衫每件各需多少元？ （2）若该服装店决定用不超过元的资金购进这两种服装共件，且用于购买甲种文化衫的资金不低于购买乙种文化衫的资金，那么该商店共有哪几种进货方案？ 23. 如图，，，，经过点D． （1）求证：； （2）和有何数量和位置关系？请说明理由； （3）若，求四边形的面积． 24. 定义新运算：，例如，因为，所以，． （1）计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； （2）若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； （3）t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 25. 如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． （1）证明：； （2）证明：是的平分线； （3）如图2，连接，作，，Q是与的交点，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025下学期七年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：设能与长度分别为和长的木棒构成三角形的木棒的长为， 则：， ∴； 故能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是的木棒； 故选D． 2. 如果，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项变形后即可得到答案． 【详解】解：A．如果，那么，故选项正确，不符合题意； B．如果，那么，故选项正确，不符合题意； C．如果，那么，故选项正确，不符合题意； D．如果，那么，故选项错误，符合题意． 故选：D． 3. 解不等式，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 数轴上表示如图： ； 故选D． 【点睛】本题考查用数轴表示不等式的解集．解题的关键是正确的求出不等式的解集． 4. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查所生产的整批火柴是否能够划燃 B. 了解一批导弹的杀伤半径 C. 疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温 D. 了解全国中小学生的体重情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而且考虑调查是否带有破坏性，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确值，具有科学价值，从而逐一判断可得答案． 【详解】解：A、调查所生产的整批火柴是否能够划燃，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B、了解一批导弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C、疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； D、了解全国中小学生的体重情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确值，具有科学价值．掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图，，其中，，则（ ） A. 60° B. 100° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的性质，先求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数． ∴点在第四象限， 故选：D． 7. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故A不符合题意； 当时，则，由可得，故B不符合题意； 当时，则，由可得，故C不符合题意； 当时，不能得出，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用． 8. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 9. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“肉价=哑巴所带钱数，肉价=哑巴所带钱数”可得方程组． 【详解】解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，根据题意， 得， 故选：B． 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①和面积相等；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据三角形的中线，等底等高的三角形面积相等即可判断出①正确；根据三角形的中线得，即不一定和相等，则②错误；利用边角边可证明，可判断出③正确；根据全等三角形的性质得，则，可判断出④正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等， 故①正确； ∵是的中线， ∴， ∴不一定和相等，否则可以证明， 故②错误； 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 不等式组的整数解的和是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则求出不等式的解集，写出整数解，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式的解集为， 故整数解有， 整数解的和是． 故答案为：． 13. 点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标的平移，熟练掌握“上加下减，左减右加”是解题的关键．根据“上加下减，左减右加”可得到答案． 【详解】解：根据“上加下减，左减右加”， 点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后对应点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．把代入得出m和n的值，代入即可 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 15. 如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝_____度． 【答案】66 【解析】 【分析】根据高线的定义可得∠ADB＝90°，然后根据∠BAD＝42°，求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠FBD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】∵AD是高线， ∴∠ADB＝90° ∵∠BAD＝42°， ∴∠ABC＝48°， ∵BE是角平分线， ∴∠FBD＝24°， 在△FBD中，∠BFD＝180°﹣90°﹣24°＝66°． 故答案为：66． 【点睛】本题考查了高线的定义、角平分线性质以及三角形内角和定理． 16. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 【答案】①③④. 【解析】 【分析】如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题． 【详解】∵△ABF和△ACE是等边三角形， ∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°， ∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠FAC=∠BAE， 在△ABE与△AFC中， ， ∴△ABE≌△AFC（SAS）， ∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF， ∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO ∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB， ∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正确， 连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图， ∵△ABE≌△AFC， ∴S△ABE=S△AFC， ∴•CF•AP=•BE•AQ，而CF=BE， ∴AP=AQ， ∴OA平分∠FOE，所以③正确， ∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF， 显然∠ABE与∠ACF不一定相等， ∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误， 综上所述正确的有：①③④． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 其解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程组、运用数轴表示不等式组的解集，先把每个不等式的解集解出来，再运用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集为， 19. 长沙市华益中学为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表． 组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比 A 50 B m C 40 p D n 请根据统计图表提供的信息，回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）若制成扇形统计图，则C组所对应的圆心角为 ； （3）若我校学生有4000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表，条形统计图，扇形统计图圆心角的计算，样本估计总体等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据统计表用A组人数除以其所占的百分比计算出总人数，然后求出m、n的值，再补全条形统计图即可； （2）用C组所占的百分比乘以即可求解； （3）用样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比乘以全校人数即可求得． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， B组的人数为：（人）， D组的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：C组所对应的圆心角为：； 故答案为： 【小问3详解】 解：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有： （人）． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 在中，，， ． 21. 已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解互为相反数，求m的值，并求出方程组的解． （2）若该方程组的解满足，求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】（1）， （2）1和2 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法及相反数的定义，即可求出的值；根据相反数的定义求方程组的解即可； （2）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有正整数解即可． 【小问1详解】 解： ， ＋②得：， ∴， 因为方程组的解互为相反数，即， 所以， 把 代入得， ∴， ∴ ∴ 故方程组的解为； 【小问2详解】 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 所以满足条件的m的所有正整数值为：1，2． 【点睛】本题考查解二元一次方程组以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 第一届中非经贸博览会于年月日至日在长沙举办，为了抓住商机，某服装店决定购进甲、乙两种文化衫进行销售，若购进甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元；若购进甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元. （1）求购进甲、乙两种文化衫每件各需多少元？ （2）若该服装店决定用不超过元的资金购进这两种服装共件，且用于购买甲种文化衫的资金不低于购买乙种文化衫的资金，那么该商店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)150,100. (2)3种方案,分别为: 购进甲种文化衫20件, 乙种文化衫30件; 购进甲种文化衫21件, 乙种文化衫29件; 购进甲种文化衫22件, 乙种文化衫28件. 【解析】 【分析】(1)设购进甲、乙两种文化衫每件各需x,y元,则根据甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元；若购进甲种文化衫件，乙种文化衫件，需要元.列出方程组,解出x,y的值即可; (2)设购进甲种文化衫a件,则乙种文化衫(50-a)件,根据该服装店决定用不超过元的资金购进这两种服装共件，且用于购买甲种文化衫的资金不低于购买乙种文化衫的资金，列出不等式组求解即可. 【详解】解: 设购进甲、乙两种文化衫每件各需x,y元,则依题意得: 解得: 答: 购进甲、乙两种文化衫每件各需150,100元. (2) 设购进甲种文化衫a件,则乙种文化衫(50-a)件,依题意得: 解得:20≤a≤22. ∵a为正整数, ∴a=20,21,22. ∴该商店共有3种进货方案,它们分别是: 购进甲种文化衫20件, 乙种文化衫30件; 购进甲种文化衫21件, 乙种文化衫29件; 购进甲种文化衫22件, 乙种文化衫28件. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到相应的关系，列出式子是解题的关键，注意第二问应求得整数解． 23. 如图，，，，经过点D． （1）求证：； （2）和有何数量和位置关系？请说明理由； （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），且，见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）由证，运用求证； （2）由得，且，可证得,得； （3）由得，所以． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴（）． 【小问2详解】 解：，且，理由如下： 由（1）知且 在Rt中，, ∴, 即, ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余，由全等三角形推得线段间、角之间的相等关系是解题的关键． 24. 定义新运算：，例如，因为，所以，． （1）计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； （2）若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； （3）t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 【答案】（1）3，3，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）点在第四象限，得到，根据新定义进行计算即可； （3）解不等式，得，根据定义得到，分类讨论进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ；； ， 故， 即； 故答案为：3，3，； 【小问2详解】 解：点在第四象限， ， ， ， ， 联立解得， 点P坐标为； 【小问3详解】 解：解不等式，得， 由定义，， 分情况讨论：当时，不等式的解集为． 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得； 当时，不等式的解集为， 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得． 综上，． 25. 如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． （1）证明：； （2）证明：是的平分线； （3）如图2，连接，作，，Q是与的交点，若，求． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平线性质的逆定理，中线的定义和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，证明即可得到结论； （2）过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点，证明，得到，，角平分线的逆定理证明结论； （3）根据题意证明和，再根据中线的性质定理进行计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点， ， ， ，， ． 在与中， ， ． ，， 是的平分线． 【小问3详解】 解：， ，，． ， ． 在与中， ， ． 在与中， ， ． 为的中线， ． ， ． 是的中线， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $