第30题 指对幂的大小比较 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第30题 指对幂的大小比较（一题多解） 【2025江苏南京联考】已知，则（ ） A．        B．        C．        D． 首先观察条件等式的结构，可变形为结构相同的形式，再通过构造函数利用其单调性比较大小即可;本题中所给等式可化为，，，显然等式左边结构一致，所以可以讨论函数的单调性，利用单调性比较即可. 因为，所以得：， 因为， 所以，，， 记， 则， 所以在上单调递增， 所以， 即，故选D． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 由题意，易得，将其代入，结合对数的运算性质可得，，显然对于和0的大小关系，只需要比较的大小即可，一是作差利用基本不等式;二是构造函数利用单调性，即可得出其大小关系，从而得出和0的大小关系. 因为，所以得：， 因为， 所以，， 即，， 所以只需比较的大小， 设且，则，证明如下： 因为， 因为； 所以，即， 所以， 则，； 即，故选D． （当然要比较的大小，也可以通过构造函数解决， 因为函数， 则， 因为，所以，即在单调递减， 所以）. 3．已知则（    ） A． B． C． D． （2024·重庆·模拟预测） 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． （2024·广东·二模） 6．已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 10．已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 12．已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知正数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第30题 指对幂的大小比较（一题多解） 【2025江苏南京联考】已知，则（ ） A．        B．        C．        D． 首先观察条件等式的结构，可变形为结构相同的形式，再通过构造函数利用其单调性比较大小即可;本题中所给等式可化为，，，显然等式左边结构一致，所以可以讨论函数的单调性，利用单调性比较即可. 因为，所以得：， 因为， 所以，，， 记， 则， 所以在上单调递增， 所以， 即，故选D． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数，，由函数的单调性判断，再结合不等式的性质，结合选项，即可判断选项. 【详解】由题可得，， 设，，因为增函数+增函数=增函数， 即函数在上递增，所以由可得：. 对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误； 对于B，易知函数在上为增函数-减函数=增函数，所以当时，，即，B正确； 对于C，当时，若，则，C错误； 对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D错误. 故选：B 2．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，构造且研究单调性，判断的范围，作差法比较大小，即可得答案. 【详解】由题设，，， 令且，则，即在上递增， 又，即， 由，令且， 则，又， 令且，则，即递减，所以， 所以，即在上递增，故， 即在上恒成立，故， 综上，，结合单调性知：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：构造函数且研究单调性，再通过作差、构造函数判断大小，进而判断大小. 由题意，易得，将其代入，结合对数的运算性质可得，，显然对于和0的大小关系，只需要比较的大小即可，一是作差利用基本不等式;二是构造函数利用单调性，即可得出其大小关系，从而得出和0的大小关系. 因为，所以得：， 因为， 所以，， 即，， 所以只需比较的大小， 设且，则，证明如下： 因为， 因为； 所以，即， 所以， 则，； 即，故选D． （当然要比较的大小，也可以通过构造函数解决， 因为函数， 则， 因为，所以，即在单调递减， 所以）. 3．已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化可得，再利用基本不等式与换底公式可得与，从而利用指数函数的单调性即可得解． 【详解】因为，所以， 因为， 所以，则， 所以； 因为， 所以，则， 所以； 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握，从而得到与，由此得解. （2024·重庆·模拟预测） 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系. 【详解】令，根据为上的单调减函数， 则在上单调递减， 且，， 所以函数在上存在唯一的零点，故； 又因为，所以， 所以，即，所以， 所以，即，所以; 因为，所以，所以， 即，所以， 综上可得：. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小. （2024·广东·二模） 6．已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析法可知只需比较的大小关系，从而构造函数，利用的单调性以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 所以要比较与0的大小关系，只需比较的大小关系， 同理要比较的大小关系只需比较的大小关系， 我们构造函数， 则， 这意味着在是减函数， 从而， 所以，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是通过适当分析，构造出恰当的函数，利用该函数单调性即可顺利比较大小. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【详解】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据对数函数的性质确定再作商比较与的大小关系即可. 【详解】由对数函数的性质得， 所以，同理，， 而， 所以， ， 而， 所以，即，综上， 故选：B. 9．已知，，，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】A 【分析】对两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案. 【详解】，，两边取对数得：，，， 令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上为增函数， 因为当时，恒成立， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 即， 因为在上单调递增，所以. 故选：A 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的. 10．已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系. 【详解】是偶函数，在上单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故， 即，而， 所以， ∴． 故选：B 【点睛】方法点睛： 构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小 11．已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，将原不等式变形为，构造函数，根据单调性可判断在单调递增，进而得到，然后分别判断四个选项即可. 【详解】依题意，变形为， 设，定义域为，其中，在单调递增， 所以在单调递增， 又因为，所以， 当时，，，，成立， 当时，，无法判断与0的关系， 故选：D. 12．已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系. 【详解】由，可知，所以， 易知， 先证糖水不等式：若，则， 证明如下：作差得，得证. 所以有，即， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结. 13．已知正数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性，得到，，再将看成，看成，利用上述的不等式比较大小即可． 【详解】解：由解得， 构造函数，，显然， 故是减函数，结合，故时，， 故，， 再令，，，当时，， 故在单调递增，结合， 故，， 则， ， 所以，，， 故， 由，，都是正数，故． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$