第24题 圆锥的截面与离心率 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第24题 圆锥的截面与离心率问题 （一题多解） 【2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测T14】机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 依题意，如图，根据中线长定理可得，则椭圆的长轴长，再根据图形作辅助线，求出短半轴长，代入离心率公式计算即可. 如图，在等腰三角形中，，记的中点为的中点为，根据中线定理得， ，则． 设截面椭圆的短轴为，易知其长轴为，设的中点为，设直线交于点交底面圆于点，则，作，交于，则为的中位线，故为的中位线，故，故是的三等分点，． 在中，，，由勾股定理得 ． 由得：，， 即截面椭圆的短半轴长为，所以其离心率为： ． （2024·北京丰台·二模） 1．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为 . 如图，先根据中线长定理可得，则椭圆的长轴长，设，由丹德林双球性质知，即可求出，代入离心率公式计算即可. 如图，作圆锥的内切球，轴截面如图．圆与的切点即为截面椭圆的一个焦点，则，分别是圆与的切点．在中，由中线长公式得：，故． 设，则，， 由，， ，得，， 所以． 3．如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 4．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 本题也可直接利用课本结论（课本《丹德林双球》那一节中的结论）求解，圆锥截面椭圆离心率，其中是截面和圆锥的轴的夹角，是圆锥的母线和轴的夹角;如图，易得，代入公式计算即可. 如图，设与交于点，显然点是的重心， 所以，， ． 5．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 6．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ． 7．1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（   ） A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆 B． C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 （2024·广东汕头·二模） 9．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（    ）    A．若，则截口曲线为圆 B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分 C．若，则截口曲线为抛物线的一部分 D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则 （2024·山东日照·一模） 10．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（    ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 11．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为 ． （2024·河南信阳·新县高级中学校考模拟预测） 12．一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的离心率 . （2024·四川绵阳·模拟预测） 13．我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conic sections）.现有一圆锥，轴截面是等边三角形，当圆锥的轴与截面所成的角分别为0，，时，分别得到双曲线、抛物线、椭圆，则所得圆锥曲线的离心率之积是 . 14．圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24题 圆锥的截面与离心率问题 （一题多解） 【2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测T14】机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 依题意，如图，根据中线长定理可得，则椭圆的长轴长，再根据图形作辅助线，求出短半轴长，代入离心率公式计算即可. 如图，在等腰三角形中，，记的中点为的中点为，根据中线定理得， ，则． 设截面椭圆的短轴为，易知其长轴为，设的中点为，设直线交于点交底面圆于点，则，作，交于，则为的中位线，故为的中位线，故，故是的三等分点，． 在中，，，由勾股定理得 ． 由得：，， 即截面椭圆的短半轴长为，所以其离心率为： ． （2024·北京丰台·二模） 1．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 2．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为 . 【答案】## 【分析】作出圆柱的轴截面，根据已知给出的条件以及直角三角形的性质求出的值，而椭圆的短轴长即为圆柱的底面的直径，进而可以求出的值，从而可以求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，如图所示： 作出圆柱的轴截面，切点为、，延长与圆柱面相交于、， 过点在平面内作， 在直角三角形中，，，所以， 因为，所以，， 所以，，所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即，则， 则，所以，椭圆的离心率为， 故答案为：. 如图，先根据中线长定理可得，则椭圆的长轴长，设，由丹德林双球性质知，即可求出，代入离心率公式计算即可. 如图，作圆锥的内切球，轴截面如图．圆与的切点即为截面椭圆的一个焦点，则，分别是圆与的切点．在中，由中线长公式得：，故． 设，则，， 由，， ，得，， 所以． 3．如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解． 【详解】如图，设两球的球心分别为，    设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H， 连接，连接交于点K， ∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4， ， ，， ，， ， 又， ∴，又， ∴，∴， ∴， ∴， ∴该椭圆的离心率为． 故选：C． 4．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图2中，设球心为，球与相切于点，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得，得出离心率. 【详解】图2中，设球心为，球与相切于点，作出截面如图所示， 由题意知：， ， , 又，，则， 又，则， 则椭圆的离心率为. 故选：A. 本题也可直接利用课本结论（课本《丹德林双球》那一节中的结论）求解，圆锥截面椭圆离心率，其中是截面和圆锥的轴的夹角，是圆锥的母线和轴的夹角;如图，易得，代入公式计算即可. 如图，设与交于点，显然点是的重心， 所以，， ． 5．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】在圆锥中，，，易知， 由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则， 所以，，则， 圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 因为是母线上一点，，则，,， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 所以，， 所以，， 故该圆锥曲线的离心率为， 故选：D. 6．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率． 【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与，连接,则，，过作垂直于，连接， 交于点C 设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为. 在中， ， 解得 即 则椭圆的离心率 【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦 之比，即． 7．1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解. 【详解】在中，设， ，，， ， ， ∴长轴长，， 则离心率. 故选：A 8．如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（   ） A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆 B． C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率 【答案】BC 【分析】由截口曲线的含义可判断A；过N作于点G，求出而， ，即可判断B；根据图形的几何性质求得椭圆的之间的关系式，即可求得离心率，可判断C，D. 【详解】由截口曲线知，当时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错. 对于B，过N作于点G，而， 所以，而， 同理过N向作垂线，可得， ，B正确； 对于C，D，设圆锥上部球与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆，半径为r， 球与的切点为椭圆左焦点F， 设①， ， , 解得，而， 故，故C正确，D错误， 故选：BC 【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设，结合图形的几何性质，得到，，即可求解. （2024·广东汕头·二模） 9．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（    ）    A．若，则截口曲线为圆 B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分 C．若，则截口曲线为抛物线的一部分 D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则 【答案】BCD 【分析】根据情境，由题可知，再对每个选项，求出过点的平面与旋转轴所成角的余弦，即的值，代入求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可． 【详解】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误； 对于B，与所成的角为，所以， 因为，所以，即， 所以，所以平面截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分， 故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 因为，，SOD， 所以平面SOD，又因为平面SOD，所以 又为、的中点，所以， 平面MAB， 所以平面MAB，所以与SO所成的角为， 所以，，故C正确； 对于D，  截口曲线是离心率为的双曲线的一部分， 则， 所以平面，故平面不经过原点O，故D正确． 故选：BCD.    【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，根据情境，由题可知，再对每个选项，求出过点的平面与旋转轴所成角的余弦，即的值，代入求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可． （2024·山东日照·一模） 10．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（    ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B错误； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 11．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为 ． 【答案】## 【分析】画出图形，设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为，求出长轴长为，进而可得答案. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为， 长轴长为， 即，则， 所以椭圆离心率为 故答案为：    .   （2024·河南信阳·新县高级中学校考模拟预测） 12．一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的离心率 . 【答案】##0.5 【分析】作出球的截面图，易得，结合正切的二倍角公式求出的值，进而知长轴的长，再由球与相切的切点为椭圆的一个焦点，可得的值，最后由，得解． 【详解】如图，是球的一个截面，圆分别与相切于点，， 因为，球的半径为2，所以，， 所以， 所以， 因为是椭圆的长轴长，所以，所以， 根据球与相切的切点为椭圆的一个焦点， 所以，所以， 所以离心率． 故答案为：． （2024·四川绵阳·模拟预测） 13．我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conic sections）.现有一圆锥，轴截面是等边三角形，当圆锥的轴与截面所成的角分别为0，，时，分别得到双曲线、抛物线、椭圆，则所得圆锥曲线的离心率之积是 . 【答案】 【分析】当圆锥的轴与截面所成的角为时，得到椭圆，根据几何性质，分别求出椭圆的长半轴a和短半轴b，进而求出c，即可求出椭圆的离心率；圆锥的轴与截面所成的角为0时，得到双曲线，根据几何性质，分别求出双曲线的实半轴a和虚半轴b，进而求出c，即可求出双曲线的离心率；圆锥的轴与截面所成的角为时，得到抛物线，根据几何性质，抛物线离心率为1,最后求三个离心率的乘积即可. 【详解】① 当圆锥的轴与截面所成的角为时，得到椭圆， 如图， 不妨令正边长为，重心，椭圆中心，中线，底面圆心．与长轴垂直，则， 所以，所以， 为过与底面平行的圆的半径， 如图2在，作，由相似可得： ，所以，所以， 如图3，即，代入方程得：， 又，解得， 所以，所以，所以离心率； ② 当圆锥的轴与截面所成的角为0时，得到双曲线，如下图 不妨设，恰好过截面经过AC的重点D，正边长为，得到以下双曲线， 易知，，，即点的坐标为， 令双曲线方程为，所以，代入点的坐标可得，， 所以，所以离心率为； ③ 当圆锥的轴与截面所成的角为时，得到抛物线，由抛物线定义可知，； 所以综上可知，所得圆锥曲线的离心率之积是， 故答案为： 14．圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于 . 【答案】 【解析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率. 【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示， 点是圆柱内两个内切球的球心，是椭圆的两个焦点， 其中是与的交点，， 根据圆的切线的性质，可得， 由题意可知：，所以， 所以，即， 所以在中，，显然，所以， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$