第27题 恒等变换与数列求和 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第27题 恒等变换与数列求和（一题多解） （安徽省多校联考2025届高三上期初检测T8）若锐角满足，数列的前项和为，，，则使得成立的的最大值为（ ） A．2                B．3               C．4                D．5 首先根据题意，结合三角恒等变换可得，由二倍角公式得到，代入递推关系中变形后可得数列是以首项，公比为的等比数列，即可求得，再利用裂项相消法求出，代入已知条件运算求解即可.解决该题的关键:一是熟悉同角三角函数关系式及变形公式，三角恒等变形，求出;二是掌握等比（等差）数列证明的基本方法，及裂项相消法的基本技巧. 由得， ， 又为锐角，则， 化简得，即， 解得或（舍去）， 故，． 由得，，即，又， 得数列是以首项，公比为的等比数列，则，故． 由于，则， 则，得，则，得，所以的最大值为4． 故选C． 1．已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出数列的通项公式及，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，，当时，； 当时，，两式相减得，整理得， 数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， ， 所以. 故选：A 2．数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为 ． 【答案】 【分析】将化为，构造数列满足，结合两角差的正切公式，使用裂项相消法求，再由的取值范围求解即可. 【详解】由已知，， 令，，则， ∵，，∴， ∴的前n项和， 又∵，，∴， ∵，∴， 又∵， ∴的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：合理构造数列，使用裂项相消法求和，是本题解题的关键所在. 首先根据题意，结合三角恒等变换可得，由二倍角公式得到，代入递推关系中变形后可得数列是以首项，公比为的等比数列，即可求得，即，可知数列是由等差数列与等比数列乘积组成的数列，所以也可以利用错位相减法求出，代入已知条件运算求解即可.错位相减法是求由等差数列与等比数列对应项乘积组成的数列（即）的前项和的方法. 由得， ， 又为锐角，则， 化简得，即， 解得或（舍去）， 故，． 由得，，即，又， 得数列是以首项，公比为的等比数列，则，故． 由于，令①， 则②， 由①-②相减， 得， 整理得， 则，得，则，得，所以的最大值为4． 故选C． 3．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若存在，使得成立，则m的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用与的关系及数列的单调性，结合错位相减法求数列的前项和及成立问题的解决办法即可求解. 【详解】当时，，解得， 因为， 当时， 所以， 由，得，即， 取时，，此式不满足，     故数列的通项公式为， 由题意可得，则, 因为， 所以，则A正确． 因为，所以不是递减数列，则B错误． 因为, 当时，， 所以当时，， 所以， 所以，即，即，即， 取时，，此式满足， 所以数列的前n项和为 ，故C正确． 当时，， 所以， 所以，即， 所以数列是单调递减数列. 当时，， 所以， 则由数列的单调性可知． 因为存在，使得成立， 所以，即，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用与的关系的推导思路，求出，再利用错位相减法求数列的前项和及数列的单调性，将成立问题转化为求最值问题即可. 4．已知为锐角，且，函数，数列的首项． （1）求函数的表达式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）利用二倍角的正切可求得，由为锐角，即可得到，可求得，于是可知函数的表达式； （2）由递推公式可得，进而可得是以为公比、为首项的等比数列，根据等比数列的通项公式计算可得，从而得到，利用分组求和法与错位相减法计算可得． 【详解】解：（1）， ，又为锐角， ， ， ； （2）， ， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ， 记， ， ， ， 故． 5．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,bn=数列{bn}的前n项和为Tn．,则满足Tn,>的最小正整数n的值为 A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【详解】分析：首先根据题中所给的的前项和，利用数列项与和的关系，求得通项公式，再利用成等差数列，求得，再进一步化简，之后代入题中式子求得，在求和时应以裂项相消法，之后求得所满足的条件，最后确定出的最小值. 详解：根据可以求得，所以有，根据成等差数列，可得，从而求得，所以满足，从而求得，所以，所以，令，整理得，解得，故选B. 点睛：该题考查的知识点有数列的和与项的关系，利用题中所给的和求出通项公式，利用题中所给的三个数成等差数列，进一步将通项公式完善，之后在对新数列求和时应用裂项相消法，从而得到所满足的关系，最后求得结果. 6．数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ） A．是数列中的项 B．数列是首项为，公比为的等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】BCD 【分析】由等差数列的定义和通项公式求得，由数列的通项与前项和的关系，求得，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论． 【详解】解：数列满足，， 可得，即有，即， 由，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确； 令，解得，不为整数，故A错误； ，则，故C正确； ，，， 两式相减可得， 化为，故D正确． 故选：BCD． 7．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若数列的前n项和为，则 C．是递减数列 D．若对任意的，恒成立，则m的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由题意可得，则，由判断A；利用错位相减得，从而即可判断B；通过对的正负的判断从而判断C；由的单调性可得，求解即可判断D. 【详解】解：因为，所以，则A正确； 因为，所以， 所以， 所以， 即，即， 即，则，故B正确； 因为，所以，所以， 当n<3时， ，即；当n=3时，，即；当n>3时，， 即，故C错误； 由数列的单调性可知，因为对任意的，，恒成立， 所以，所以，即，解得或，则D正确. 故选：ABD. 8．已知首项为3的正项数列满足，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为 . 【答案】21 【解析】由递推关系得，求出的通项公式，再求出前n项和即可求解. 【详解】依题意，，， 故， 令，所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为4， 所以， 故， 故， 令， 即， 所以或（舍去）， 故所求最小值为21. 故答案为：21 【点睛】此题考查递推关系的应用，构造等比数列求通项公式，再求前n项和解不等式. 9．已知是锐角，，函数，数列的前项和为，且．数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切的正整数都成立，求的最小值； 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式可求得及的值，从而化简；利用与的关系可求得；求得等比数列公比后，由等比数列通项公式求得； （2）由（1）得到，采用错位相减法求得，根据的范围可求得结果； 【详解】（1），， 又为锐角，，，， ，又，； 当时，； 当时，； 经检验，满足， 综上所述：； 设等比数列的公比为， ，解得：，， . （2）由（1）得：； ， 又， 两式作差得： ，， ，随着的增大而增大， 又，， 恒成立，. 10．已知数列满足： (1)当时，求数列的通项公式; (2)在（Ⅰ）的条件下，若数列满足为数列的前项和，求证：对任意. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）当时，由题可得然后根据等差数列的概念即得； （2）经计算知当时，成立；当时，根据得到然后利用“错位相减法”证得. 【详解】（1）当时，故又， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列， 所以从而； （2）由题可知 所以当时，成立； 设，则，故函数单调递减， 所以时，，故； 当时， 所以 令则， 所以 所以故 综上所述，对任意 11．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题知，进而由得，进而结合题意得； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解，再证明即可. 【详解】（1）解：由， 令，即，解得 ，∴， 此时数列是等差数列，公差为，首项为. ∴ （2）证明：因为，， ∵， ∴. 12．已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式； （2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）数列中，，为前n项和， 当时，，， 当时，①， ②， 由②-①得：，， 即， 当时，，递推可得：，，，， 由累乘法可得：， ，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式， 所以； （2）由（1）可知，，所以： ， 所以 ； 所以数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27题 恒等变换与数列求和（一题多解） （安徽省多校联考2025届高三上期初检测T8）若锐角满足，数列的前项和为，，，则使得成立的的最大值为（ ） A．2                B．3               C．4                D．5 首先根据题意，结合三角恒等变换可得，由二倍角公式得到，代入递推关系中变形后可得数列是以首项，公比为的等比数列，即可求得，再利用裂项相消法求出，代入已知条件运算求解即可.解决该题的关键:一是熟悉同角三角函数关系式及变形公式，三角恒等变形，求出;二是掌握等比（等差）数列证明的基本方法，及裂项相消法的基本技巧. 由得， ， 又为锐角，则， 化简得，即， 解得或（舍去）， 故，． 由得，，即，又， 得数列是以首项，公比为的等比数列，则，故． 由于，则， 则，得，则，得，所以的最大值为4． 故选C． 1．已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为 ． 首先根据题意，结合三角恒等变换可得，由二倍角公式得到，代入递推关系中变形后可得数列是以首项，公比为的等比数列，即可求得，即，可知数列是由等差数列与等比数列乘积组成的数列，所以也可以利用错位相减法求出，代入已知条件运算求解即可.错位相减法是求由等差数列与等比数列对应项乘积组成的数列（即）的前项和的方法. 由得， ， 又为锐角，则， 化简得，即， 解得或（舍去）， 故，． 由得，，即，又， 得数列是以首项，公比为的等比数列，则，故． 由于，令①， 则②， 由①-②相减， 得， 整理得， 则，得，则，得，所以的最大值为4． 故选C． 3．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若存在，使得成立，则m的取值范围是 4．已知为锐角，且，函数，数列的首项． （1）求函数的表达式； （2）求数列的前项和． 5．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,bn=数列{bn}的前n项和为Tn．,则满足Tn,>的最小正整数n的值为 A．11 B．10 C．9 D．8 6．数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ） A．是数列中的项 B．数列是首项为，公比为的等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 7．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若数列的前n项和为，则 C．是递减数列 D．若对任意的，恒成立，则m的取值范围是 8．已知首项为3的正项数列满足，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为 . 9．已知是锐角，，函数，数列的前项和为，且．数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切的正整数都成立，求的最小值； 10．已知数列满足： (1)当时，求数列的通项公式; (2)在（Ⅰ）的条件下，若数列满足为数列的前项和，求证：对任意. 11．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 12．已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$