第26题 复合最值及恒成立问题 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第26题 复合最值及恒成立问题（一题多解） （辽宁名校联盟2024年10月联考试题第8题），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（ ） A．    B． C．    D． 由单调递增，且时，，只需当时，恒成立，将恒成立问题分参转化成最值问题，即当时，恒成立，令，利用基本不等式，求出的最小值，即可得到结果． 【详解】因为函数都是实数集上的增函数，所以在上为增函数， 所以当时，，所以当1时，成立． 同时因为当时，，所以当时，恒成立， 即当时，，即．设， 则， 当且仅当时取等号，即当时取等号，所以． 故选：A 1．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为 . 2．若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 根据条件，将问题转化为时，，只需． 由二次函数单调性直接求函数的最大值即可． 由单调递增，且时，，只需当时，恒成立， 要使恒成立，则当时， 故或 ∴或 ∴或 ∴，选A． 3．已知“，”为假命题，则实数的取值范围是? 4．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 将选择项一一带入验证，利用排除法得出正确选项 解：注意到在R上为增函数，且， 当时， 因此由已知得当时，，即 结合选项知，C，D必不正确 且当时，，，故选A． 5．已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．-1 6．设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知．满足恒成立，求的取值范围． 8．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 10．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．，记表示，二者中较大的一个，函数， ，，使成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 13．当时，恒成立，则实数最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 14．函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26题 复合最值及恒成立问题（一题多解） （辽宁名校联盟2024年10月联考试题第8题），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（ ） A．    B． C．    D． 由单调递增，且时，，只需当时，恒成立，将恒成立问题分参转化成最值问题，即当时，恒成立，令，利用基本不等式，求出的最小值，即可得到结果． 【详解】因为函数都是实数集上的增函数，所以在上为增函数， 所以当时，，所以当1时，成立． 同时因为当时，，所以当时，恒成立， 即当时，，即．设， 则， 当且仅当时取等号，即当时取等号，所以． 故选：A 1．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件可得，再整理并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】函数，则，而， 即，整理得，由，得，则， 因此，而，于是，整理得，即， 令，则 ，当且仅当，即时取等号， 因此，则，所以实数的最大值为. 故答案为： 2．若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意把不等式变形后将问题转化为的最小值大于的最大值，再利用导数讨论单调性即可求出结果； 【详解】因为，所以不等式可变形为， 令， 由题意可得函数和函数的图象， 一个在直线的上方，一个在直线的下方， 等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值. 由求导可得，令， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 由求导可得， 令，可得或， 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以有最大值，无最小值，不符合题意， 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 此时， 所以，即，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够由已知对不等式两边同时除以后变形，再设出，然后把问题等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，求导分析即可. 根据条件，将问题转化为时，，只需． 由二次函数单调性直接求函数的最大值即可． 由单调递增，且时，，只需当时，恒成立， 要使恒成立，则当时， 故或 ∴或 ∴或 ∴，选A． 3．已知“，”为假命题，则实数的取值范围是? 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解. 【详解】由“，”为假命题， 可知“，”为真命题， 设，则有在上恒成立，则须满足：，解得：. 4．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 将选择项一一带入验证，利用排除法得出正确选项 解：注意到在R上为增函数，且， 当时， 因此由已知得当时，，即 结合选项知，C，D必不正确 且当时，，，故选A． 5．已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．-1 【答案】C 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，求得上的一点的切线方程为，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切， 又由，可得，则， 可得在点的切线为，即， 令，所以， 令，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 6．设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，取特殊值缩小范围，根据分析法进行验证，可得答案. 【详解】，令得， 取，，则恒成立，所以可以取得最大值， 故选：D 【点睛】做小题时用特殊值是缩小范围，再针对选项进行合理猜测与推导不凡是一种迅速的解题方法． 7．已知．满足恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】由基本不等式求得左边的最小值，再结合一元二次不等式解法即可求解． 【详解】因为，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为10， 因为恒成立，所以， 解得． 8．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值可得. 【详解】设，. 由已知，在单调递增， 当时，；当时，. 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意，则当时，；当时，. 所以是方程的根， 则，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值是. 故选：B. 9．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象得周期关系从而求得，将最值点代入可得，从而求得解析式； （2）求出时的值域，换元法转化不等式为二次不等式在区间恒成立问题，由二次函数图象性质建立不等式组可得. 【详解】（1）由图可得，即，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）因为，所以，则， 令， 设，函数图象开口向上，恒过定点. 由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知， 只需， 解得，故的取值范围为. 10．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，结合，的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求出 【详解】在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为. ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求出的解析式，从而确定的值域，并得到在上的值域包含在上的值域，得到不等式，求出答案 11．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式，在时应用二次函数性质及恒成立有得，再利用导数研究在的最小值，结合不等式恒成立只需保证，即可求出参数范围. 【详解】当时，的开口向上且对称轴，此时， 要使，则； 当时，显然时恒成立，即在上递增， 所以，满足题设； 若，则上，即递减，上，即递增； 所以，要使，则，即， 所以； 综上，的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据分段函数解析式，结合二次函数性质、导数研究不同定义域下最小值，由不等式恒成立，保证最小值都非负即可. 12．，记表示，二者中较大的一个，函数， ，，使成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得两函数值域，由题意可知两函数值域交集非空集即可求解. 【详解】由题设，的值域与的值域交集非空， 因为为单调减函数,为单调增函数， 又当且仅当时. 由题意，，故的值域为， 又的值域为， 只需，即，则的最大值为． 故选：B． 13．当时，恒成立，则实数最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得，再利用切线放缩化简求出的取值范围. 【详解】因为，由，得.令 令，则在上恒成立， 故函数在上单调递增，所以即， 由，得，所以. 当且仅当时，取“=”， 此时，由与图象可知使，此时. 所以，即有最大值为4. 故选：B. 14．函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由解析式得出，令，得为奇函数，再利用导数得出的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可． 【详解】因为， 所以， 令，则，可得为奇函数， 又因为， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，可得在上为增函数， 因为， 所以在上恒成立， 当时，显然成立； 当，需满足，解得， 综上，， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出，构造是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$