第29题 动态分析妙解公切线问题 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第29题 动态分析妙解公切线问题（一题多解） （2025届金堂10月调研T8） 已知曲线在点P处的切线与曲线在点Q处的切线平行，且直线PQ垂直于 轴，则（    ） A.      B.     C.     D. 或 【背景分析】曲线的切线问题是基于导数的几何意义与平面解析几何等相关知识的融合， 符合高考命题“在知识交汇点处设题”的原则，一直是高考中比较常见的一类重点与热点问题.借助函数在一点处的导数的几何意义，可知曲线在一点点处切线的斜率即为该点的导数值.记 ，则 在点 处的切线方程为 .于是设出两曲线的切点，表示出切线斜率，利用切线平行确定切点，进而求出的值. 【方法一】斜率等刻画平行+构造函数方程 因为直线PQ垂直于 轴，可设，其中. 因为， 故曲线 在点处的切线斜率为 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ， 所以 ， 注意 ，设函数 ， 则， 所以 为增函数，又 ，（提醒：观察出的函数值是解决问题的关键） 所以 ，所以 ，故 【总结与反思】本题=题中的切线斜率都相当复杂，利用切线平行得到关于m的方程属于超越方程，计算量和计算技巧不容小觑.超越函数的零点问题，超越函数一般很难通过计算直接得出全部零点，因而需要借助较复杂的导数的方法来求解零点问题.处理关键在于明晰函数特点与所努力目标，充分合理利用函数性质、图像、导数.根据题意，方程肯定有解，而且的计算结果一定关于e的一次式，我们可以猜测方程的根比较特殊，于是采用试根法‌：根据方程的特点，尝试代入一些简单的数值（如0、1、-1、方程的系数等），看是否能满足方程.这类题一般涉及到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、构造化归思想. 【思路分析2】如果将两函数的图象画出， 则可以思考将向上平移个单位使两函数恰在P点处相交，则两函数存在公切线， 若从图像直观观察，切线将两函数图像分割开来，在上方，可以采用不等式恒成立处理. 【方法二】动态分析，化共切点为图形分布问题 令，将向上平移个单位使两函数恰在P点处相交，则两函数存在公切线， 此时恒成立.（关键：将问题转化为不等式恒成立问题） 所以 ，则 又，所以在单调递增，且， 所以当时，，当时， 所以. 对比两种方法， 解决两曲线的公切线相关问题数形结合具有优势. 将问题隐藏的双切线问题直接给出，间接求平移量.变式如下： 【典例1】已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ） A．2    B．5    C．1    D．0 解析：两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，函数与的图像分别在公切线的两侧，此时成立. 所以. 令，则 所以时，；所以时，. 所以 可得，故选：C. 附常规解答，请对比分析. 【分析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解. 【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中， 由，可得，则切线的斜率为， 由，可得，则切线的斜率为， 因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同， 所以，解得或（舍去）， 又由，即公共点的坐标为， 将点代入，可得. 故选：C. 【举一反三】 1．若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 . 【答案】 【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程． 【详解】，，则有，． 设公共切点的坐标为，，则 ，， ，． 根据题意，有 ，解得． 公切线的切点坐标为，切线斜率为2． 公切线的方程为，即． 故答案为： 两条曲线存在公切线是十分抽象的问题，将问题变为存在共切点的双切线求参数范围.变式如下： 【典例2】若二次函数 的图象与曲线 存在公共切线，则实数 的取值范围为 解：由于 ，可先令 画出题干中两个函数的图象 （如示意图1）. 通过对图象的直观分析， 要使两个函数存在公切线，则公切线只能在第一象限，且两个函数在 0 部分的图象至少有一个交点， 当两个函数在第一象限恰好相切时 （如图 2）， 此时存在一条公切线， 设切点为 ，则 . 又 ，解得 . 方法 2 示意图 所以 ，解得 . 当 的值小于 时，两个图象在第一象限存在两个交点， 此时两个函数存在两条公切线， 所以， 要使两条曲线存在公切线，则 . 【举一反三】 2．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】试题分析：的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增． 即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解， 可得的范围是故答案为 考点：导数的应用 3．已知在上的函数，， 其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同． (1)若，求的值； (2)用表示，并求的最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为. 【分析】（1）设与在公共点处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值； （2）利用（1）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得． 【详解】（1）设与在公共点处的切线相同，，，由题意知，， ∴ 由得，或（舍去）， 即有． （2）设与在公共点处的切线相同， 又， ， 由题意知，， 即 解得，或（舍去） 即有， 令， 则， 当，即时，； 当，即时，. 故在的最大值为， 故的最大值为. 4．若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到的表达式，通过构造函数，再利用导数的性质进行求解即可. 【详解】设是曲线上一点，由，因此过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，即， 设是曲线上一点， 由，所以过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而， 即，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有： ，因为，所以 设函数，， 因为，所以，所以函数是减函数， ，当时，，因此， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义和构造函数是解题的关键. 5．已知不等式 对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，得到的形式，原问题可转化为，求 ，分析的单调性，得到. 【详解】由，得， 令，则对任意的恒成立， ∴. 由题意得， . 令，则， ∵， ∴，即在为减函数， ∵， ∴当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， ∴， ∴. 所以的取值范围为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29题 动态分析妙解公切线问题（一题多解） （2025届金堂10月调研T8） 已知曲线在点P处的切线与曲线在点Q处的切线平行，且直线PQ垂直于 轴，则（    ） A.      B.     C.     D. 或 【背景分析】曲线的切线问题是基于导数的几何意义与平面解析几何等相关知识的融合， 符合高考命题“在知识交汇点处设题”的原则，一直是高考中比较常见的一类重点与热点问题.借助函数在一点处的导数的几何意义，可知曲线在一点点处切线的斜率即为该点的导数值.记 ，则 在点 处的切线方程为 .于是设出两曲线的切点，表示出切线斜率，利用切线平行确定切点，进而求出的值. 【方法一】斜率等刻画平行+构造函数方程 因为直线PQ垂直于 轴，可设，其中. 因为， 故曲线 在点处的切线斜率为 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ， 所以 ， 注意 ，设函数 ， 则， 所以 为增函数，又 ，（提醒：观察出的函数值是解决问题的关键） 所以 ，所以 ，故 【总结与反思】本题=题中的切线斜率都相当复杂，利用切线平行得到关于m的方程属于超越方程，计算量和计算技巧不容小觑.超越函数的零点问题，超越函数一般很难通过计算直接得出全部零点，因而需要借助较复杂的导数的方法来求解零点问题.处理关键在于明晰函数特点与所努力目标，充分合理利用函数性质、图像、导数.根据题意，方程肯定有解，而且的计算结果一定关于e的一次式，我们可以猜测方程的根比较特殊，于是采用试根法‌：根据方程的特点，尝试代入一些简单的数值（如0、1、-1、方程的系数等），看是否能满足方程.这类题一般涉及到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、构造化归思想. 【思路分析2】如果将两函数的图象画出， 则可以思考将向上平移个单位使两函数恰在P点处相交，则两函数存在公切线， 若从图像直观观察，切线将两函数图像分割开来，在上方，可以采用不等式恒成立处理. 【方法二】动态分析，化共切点为图形分布问题 令，将向上平移个单位使两函数恰在P点处相交，则两函数存在公切线， 此时恒成立.（关键：将问题转化为不等式恒成立问题） 所以 ，则 又，所以在单调递增，且， 所以当时，，当时， 所以. 对比两种方法， 解决两曲线的公切线相关问题数形结合具有优势. 将问题隐藏的双切线问题直接给出，间接求平移量.变式如下： 【典例1】已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ） A．2    B．5    C．1    D．0 解析：两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，函数与的图像分别在公切线的两侧，此时成立. 所以. 令，则 所以时，；所以时，. 所以 可得，故选：C. 附常规解答，请对比分析. 【分析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解. 【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中， 由，可得，则切线的斜率为， 由，可得，则切线的斜率为， 因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同， 所以，解得或（舍去）， 又由，即公共点的坐标为， 将点代入，可得. 故选：C. 【举一反三】 1．若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 . 两条曲线存在公切线是十分抽象的问题，将问题变为存在共切点的双切线求参数范围.变式如下： 【典例2】若二次函数 的图象与曲线 存在公共切线，则实数 的取值范围为 解：由于 ，可先令 画出题干中两个函数的图象 （如示意图1）. 通过对图象的直观分析， 要使两个函数存在公切线，则公切线只能在第一象限，且两个函数在 0 部分的图象至少有一个交点， 当两个函数在第一象限恰好相切时 （如图 2）， 此时存在一条公切线， 设切点为 ，则 . 又 ，解得 . 方法 2 示意图 所以 ，解得 . 当 的值小于 时，两个图象在第一象限存在两个交点， 此时两个函数存在两条公切线， 所以， 要使两条曲线存在公切线，则 . 【举一反三】 2．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为 3．已知在上的函数，， 其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同． (1)若，求的值； (2)用表示，并求的最大值． 4．若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是 . 5．已知不等式 对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$