四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

第 1页，共 4页 成都市实验外国语学校 2024—2025 学年下学期 期末考试 高一年级 数学 学科试题 共 1 张 4 页 考试时间 120 分钟 满分 150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求。 1． 5sin 6  （ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 2  D． 1 2  2．某工厂生产 ,A B两种型号的产品共 5600 件，其中A型号的产品 3200 件，现采用分层 随机抽样的方法从中抽取 280 件进行质检，则 B型号的产品被抽取的件数为（ ） A．120 B．80 C．160 D．200 3．在复平面内，复数  i 1 iz   的共轭复数 z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲 测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度 AB，如图所示，可以选取与该 塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与 D，现测得 15BCD  ， 135BDC  ， 20mCD  ，在点 C测得“望淮塔”塔顶 A的仰角为 60°，则“望淮塔”高 AB  （ ） A．20 2m B．20 3m C．20 6m D．60m 5．已知圆锥的母线长是底面半径的 2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 3 2 D．2 6．平面向量 a  ，b  满足 3a   ， 9a b   ，则b  在 a  上的投影向量为（ ） A．3a  B． a  C． 1 3 a D． 1 9 a 7．设m、 n是两条不同的直线， 、  、 是三个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ） A．若m  ， n  ， / / ，则 / /m n B．若 n   ， / /m n，m  ，则  C．若m n ， n  ，则 / /m  D．若m n ， / /n ，则m  第 2页，共 4页 8．若函数      tan 0, 0f x x       的图象与直线 y a 的两个相邻交点之间的距离为 π 2 ，且 π 12 f x     为奇函数，则的最小值为（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。 9．已知向量      2, 1 3,2 1,1a b c        ， ， ，则（ ） A． / /a b   B．  a b c     C．a b c     D． 5 3c a b     10．已知函数     πsin 0, 0, π 2f x A x A                的部分图象如图所示，把函数  f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 11 10 倍，得到函数  y g x 的图象，则（ ） A． π 3 g x     为偶函数 B．  g x 的最小正周期是 π C．  g x 的图象关于直线 2π3x  对称 D．将  g x 图象向左平移 5π 12 后，在 3π 7π, 8 12       上单调递减 11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 ,E F分别是棱 1,BC CC 的中点，P是 侧面 1 1BCC B 内（含边界）的一动点，且满足 1AP ∥平面 AEF ，则下列说法正确的是 （ ） A．点 P的轨迹是一条长为 2的线段 B．平面 AEF截正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 所得截面的面积为 3 5 2 C．直线 1AP与平面 1 1BCC B 所成角的正弦值的最大值为 2 2 3 D．过点 P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 π 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知角 终边上一点坐标 (1, 2)P ，则 cos  . 13．在 ABCV 中，若 6, 8, 60a b C   ，则c的值为 . 14．设 zC，在复平面内 z对应的点为Z，则满足1 | | 3z  的点 Z的集合形成的图形面积 为 ． 第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．如图，已知菱形 ABCD的边长为 2， 60ABC  ，E为CD的中点，点 F在对角线 BD 上，且 2DF BF ，设 AB a  ， BC b   ． (1)用向量 a  ，b  表示 AE  ， AF  ； (2)求 AE AF   的值． 16．已知函数 ( ) 3 cos(2 ) 2sin cos 3 f x x x x   . （1）求 ( )f x 的最小正周期及对称中心； （2）当 4 4 x       ， 时，求 ( )f x 的值域. 17．如图，四棱锥P ABCD 的底面 ABCD是正方形，侧面 PAD是等边三角形，平面 PAD  平面 ABCD，M 为 PD的中点. (1)求证： AM 平面PCD. (2)求侧面PBC与底面 ABCD所成二面角的余弦值. 第 4页，共 4页 18．在 ABCV 中，内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，且 3sin cos A a B b  ， 2 2a b bc  . (1)求角 B和A； (2)已知 2b  ，设M 、 N为线段 AB上的两个动点（M 靠近点A），且 π 6 MCN  . ①若 1AM  ，求 MNCV 的周长； ②当 ACM 为何值时， MNCV 的面积最小，最小面积是多少？ 19．如图，斜三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， AC BC ，D为 AB的中点， 1D 为 1 1AB 的中点，平面 ABC⊥平面 1 1ABB A ． (1)求证：直线 1 / /AD 平面 1 1BC D； (2)设直线 1AB与直线 1BD 的交点为点 E，若三角形 ABC是等边三角形且边长为 2，侧棱 1 7 2 AA  ，且异面直线 1BC 与 1AB互相垂直，求异面直线 1AD与 1BC 所成角的正切值； (3)若 1 22, 2, tan 2 AB AC BC A AB     ，若斜三棱柱 1 1 1ABC ABC 内存在两个半径相等的 球，这两个球相切且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱 1 1 1ABC ABC 的高． (参考定理：如图 1，直线 AO是平面的斜线，AQ是 AO在平面 内的射影，直线 AP在 平面 内。设 1 2, , ,OAP OAQ QAP    ∠ ∠ ∠ 有 1 2cos cos cos    ）