3.1 导数的概念及运算 专项训练-2026届高三数学一轮复习

3.1　导数的概念及运算 考点1　曲线在某点或过某点的切线 1.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 (　　) A.y=-2x-1　　B.y=-2x+1 C.y=2x-3　　D.y=2x+1 2.曲线y=在点处的切线方程为 (　　) A.y=x　　B.y=x C.y=x+　　D.y=x+ 3.设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　) A.eb<a　　B.ea<b　　 C.0<a<eb　　D.0<b<ea 5.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　 　.  6.曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　 .  7.若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　 　.  8.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　 　,　 　.  9.已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是　 　.  考点2　曲线的公切线 1.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　 　.  2.已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 练速度 1.下列求导运算正确的是 (　　) A.(sin a)'=cos a(a为常数)　　 B.(sin 2x)'=2cos 2x C.(3x)'=3xlog3e　　 D.()'= 2.已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 (　　) A.y=2x+1　　B.y=3x+1　　 C.y=2x　　D.y=3x 3.曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则P的坐标为 (　　) A.(-1,-1)　　B.　　 C.(1,e-1)　　D.(1,2e-1) 4.已知f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处切线的倾斜角是 　 .  5.设函数f(x)=2x3+ax2+bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y=f(x)在(0,0)处的切线也过点P,则a=　 　.  6.若曲线y1=x3与曲线y2=aln x相切,则a=　 　.  7.设a≠0,若曲线f(x)=aln(x-1)在点(2, f(2))处的切线也是曲线g(x)=eax-2的切线,则a=  　.  8.若M是曲线f(x)=2x2-ln x上任意一点,则点M到直线y=3x-6的最小距离为  .  9.已知函数f(x)=x2-5x+2ln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值. 10.已知函数f(x)=x(a+ln x),曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线与直线y=4x-1平行. (1)求a的值; (2)求f(x)的极值. 练思维 1.已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点,则a= (　　) A.　　B.1　　C.e　　D.e2 2.若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切,则a2+b2的最小值为 (　　) A.　　B.1　　C.　　D.2 3.曲线y=(a>0)与曲线y=ln x和y=ex分别交于A,B两点,设曲线y= ln x在A处的切线斜率为k1,曲线y=ex在B处的切线斜率为k2,若k1+k2=,则a= (　　) A.2ln 2　　B.2ln 3　　C.3ln 2　　D.3ln 3 4.曲线y=|ln(x+1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则+的值为　 (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.e 5.若存在直线与曲线f(x)=x3-x,g(x)=x2+a都相切,则a的取值范围为 (　　) A.[-1,+∞)　　B.　　 C.　　D. 6.过点A(-5,0)作曲线y=的切线,则切线条数最多为 (　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 7.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+4)x+1只有一个公共点,则a=　 　.  8.已知函数f(x)=|ln x|图象的两条切线相互垂直,并分别交y轴于A,B两点,则|AB|=　 　.  9.设函数f(x)=xex,若曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处(x0>0)的切线与抛物线y=ex2有且仅有一个公共点,则x0的值为　 　.  10.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+2 025,g(x)=exf(x). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处的切线相同,证明:函数y=f(x)的图象在(x0,y0)处的切线平行于x轴. 练风向 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量,对于平面曲线y=f(x),其曲率K=(y'是y的导数,y″是y'的导数),曲率半径ρ是曲率K的倒数,其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线做曲线运动时,向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y=x3-x2的光滑轨道运动,则其在点(0,0)处的向心加速度的大小为　 (　　) A.　　B.2　　 C.　　D. 答案 考点1　曲线在某点或过某点的切线 1. B 2. C 3. A 4. D 5. 4 6. y=5x+2 7. (-∞,-4)∪(0,+∞) 8. y=x,y=-x(不分先后) 9. (0,1) 考点2　曲线的公切线 1. ln 2 2.解析　(1)由题意知, f(-1)=-1-(-1)=0, f'(x)=3x2-1, 则f'(-1)=3-1=2, 则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2, 设直线y=2x+2与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x, 则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3. (2)f'(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)·(x-x1), 整理得y=(3-1)x-2, 设该直线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-(+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-+a, 则整理得a=-2=-2=-2-+, 令h(x)=x4-2x3-x2+,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1), 令h'(x)>0,解得-<x<0或x>1, 令h'(x)<0,解得x<-或0<x<1, 则x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表: x -∞, - - -, 0 0 (0, 1) 1 (1, +∞) h'(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) ↘ ↗ ↘ -1 ↗ 则h(x)的值域为[-1,+∞), 故a的取值范围为[-1,+∞). 练速度 1. B 2. B 3. B 4. 5. -2 6. E 7. 8. 9. 解析　(1)因为f(x)=x2-5x+2ln x,所以f'(x)=2x-5+,所以f'(1)=-1,又f(1)=-4, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-x-3. (2)因为f(x)=x2-5x+2ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-5+, 令f'(x)=2x-5+===0,得x=或x=2, 则f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 又f=--2ln 2, f(4)=4ln 2-4, f(4)-f=6ln 2->0, 所以f(x)在区间上的最大值为f(4)=4ln 2-4. 10. 解析　(1)f'(x)=(a+ln x)+x·=a+1+ln x, 则f'(e)=a+1+ln e=a+2, 因为切线与直线y=4x-1平行, 所以切线斜率f'(e)=4, 即a+2=4,解得a=2. (2)由(1)知a=2, f(x)=x(2+ln x)=2x+xln x,其定义域为(0,+∞), f'(x)=3+ln x, 令f'(x)=0,即3+ln x=0,解得x=e-3, 当x∈(0,e-3)时,ln x<-3, f'(x)=3+ln x<0, 所以f(x)在(0,e-3)上单调递减; 当x∈(e-3,+∞)时,ln x>-3, f'(x)=3+ln x>0, 所以f(x)在(e-3,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=e-3处取得极小值, f(e-3)=2e-3+e-3ln e-3=-e-3,无极大值. 练思维 1. B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. B 7. 0或2 8. 2 9. 1 10. 解析　(1)f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)], 由f'(x)=0得x=a或x=4-a, ①a=2时, f'(x)=3(x-2)2≥0, f(x)在R上单调递增; ②a<2时,当x<a或x>4-a时, f'(x)>0,当a<x<4-a时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,a),(4-a,+∞)上单调递增,在(a,4-a)上单调递减; ③a>2时,当x<4-a或x>a时, f'(x)>0,当4-a<x<a时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,4-a),(a,+∞)上单调递增,在(4-a,a)上单调递减. 综上,当a=2时, f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间; 当a<2时, f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a); 当a>2时, f(x)的单调递增区间为(-∞,4-a),(a,+∞),单调递减区间为(4-a,a). (2)证明:g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],y'=ex, 由题设得 解得f'(x0)=0,即y=f(x)的图象在(x0,y0)处的切线平行于x轴. 练风向 B ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$