精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年上学期期中质量检测 八年级数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如果有意义，那么的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任何一个不等于0的实数的零指数幂都等于1来解答． 【详解】使有意义， 则有， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂的意义，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握零指数幂的意义，零次幂的底数不能为零． 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 4. 如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求出，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出即可解决． 【详解】解：作，交延长线于点E， ， ， 的长是， ， 则乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：B． 5. 一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式．掌握边形的内角和为是解题关键，根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形是正边形， 则， 解得：， 这个正多边形是正六边形， 故选：B 6. 某商店出售下列四种形状的地砖： ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形． 若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除． 【详解】①正三角形的每个内角是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角是，个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角是，能整除，个能组成镶嵌； 故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有种． 故选B． 7. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 8. 已知，那么代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，去括号，再合并同类项化简多项式，再把整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 9. 如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【详解】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 10. 设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得分别是的2025等分点，再根据，分别求出面积即可求出结论． 【详解】解：由题意得分别是的2025等分点，如下图： ， ， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，这是解题关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ 故答案为． 12. 一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么__________． 【答案】60°． 【解析】 【分析】根据直角三角尺的特点，可以得到∠B的度数，再根据∠FDB=90°，从而可以得到∠α的度数． 【详解】由图可知， ∠B=30°，∠FDB=90°， 故∠α=90°-∠B=90°-30°=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13. 如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____cm． 【答案】13 【解析】 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 14. 如图，彭彭和欢欢去郊外游玩，他们想测量点N到河对岸的点M之间的距离，彭彭在点N的同侧选择了一点G，测得，，欢欢在点P处放了一块石头，使．要想测得点M，N之间的距离，有下列四种方案：①测量的长；②测量的长；③测量的度数；④在的下方作，交射线于点Q，测量的长．你认为正确的是______．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等即可求得对应线段相等． 【详解】解：如果， 在和中 则， 即即可测得点M，N之间的距离． 故答案为：④． 15. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 的最小值为5． 故答案为：5． 16. 在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点为正五边形的中心和顶点两种情况讨论． 【详解】解：依题意，当为正五边形的中心点时即满足题意， ． 当为正五边形的顶点时即满足题意， ∴ 故答案为：或． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是注意计算的正确性； （1）有括号的先算括号里的，先根据同底幂相除的法则，底数不变，指数相减；再运用积的乘方，每一项分别乘方，即可得到答案； （2）先运用同底幂相乘，底数不变，指数相加，再运用积的乘方计算，最后合并同类项，即可解决问题； 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的乘法法则进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图， ，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先通过等量代换得出，然后利用证明，则结论可证． 本题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 求证：全等三角形对应的角平分线相等． 【答案】 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分线， 求证：AD=A′D′， 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，AB=A′B′， ∠BAC=∠B′A′C′， ∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′， ∴AD=A′D′． 【解析】 【分析】作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，又AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，所以∠BAD=∠B′A′D′，根据角边角判定定理可得△ABD和△A′B′D′全等，所以角平分线AD、A′D′相等． 【详解】略 【点睛】本题是文字证明题，一般步骤是根据题意作出图形，结合图形写出已知、求证、证明，本题所用到的知识是全等三角形性质和全等三角形的判定，熟练掌握本题型的解题步骤和全等三角形性质是解本题的关键． 22. 已知，在中，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为______； （2）如图②，直接写出线段与的数量关系：______； （3）如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或． 【解析】 【分析】（）由余角性质可得，进而可证明，即可求解； （）同理（）可得，得，，进而可得； （）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质解答即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， 又， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当时，，， ，， ，， 当，，满足，， 故，符合题意； ②∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， 当时，，， ，， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当，时，满足，， 故，符合题意； 综上，，或，． 23. 问题提出学习了全等三角形的判定方法（“SSS”“SAS”“ASA”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 初步思考：将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF.然后对∠ABC进行分类，可分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究． 第一种情况：当∠ABC是锐角时，AB=DE不一定成立； 第二种情况：当∠ABC是直角时，根据“HL”，可得△ABC≌ΔDEF，则AB=DE； 第三种情况：当∠ADC是钝角时，则AB=DE. 如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC是钝角，求证：AB=DE. 方法归纳化归是一种有效的数学思维方式，一般是将未解决的问题通过交换转化为已解决的问题.观群发现第三种情况可以转化为第二种情况，如图，过点C作CG⊥AB交延长线于点G. (1)在ΔDEF中用尺规作出DE边上的高FH，不写作法，保留作图痕迹； (2)请你完成(1)中作图的基础上，加以证明AB=DE. 【答案】（1）作出高FH， 如图所示： （2）∵, ∴, 又∵CG⊥AG，FH⊥DH, ∴, 又∵BC=EF, ∴ΔBCG≌ΔEFH, ∴BG=EH，CG=FH, 又∵AC=DF, ∴RtΔACG≌RtΔDFH, ∴AG=DH, 又∵BG=EH, ∴AB=DE. 【解析】 【分析】（1）尺规作图作FH⊥DE交DE延长线于H即可； （2）先证明ΔBCG≌ΔEFH,得到BG=EH，再证明RtΔACG≌RtΔDFH,得到AG=DH,然后可得AB=DE. 【详解】解：(1)略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图和三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键. 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． （1）如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”，，求的度数； （3）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：是“友好三角形”， 与互为“友好角”，， ， ， ， ， ，， 于， ， 在中，， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 在中，， ， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 和都是“友好三角形”； （2）的度数为或 （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出，，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为和两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是“友好三角形”，， 与(或)互为“友好角”， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， ； 综上所述，的度数为或； 【小问3详解】 点在边上，不与点，重合， ， ， ， 是“友好三角形”， ①当时， ， ， ； ②当时，（不合题意舍去）， ③当时，， （不合题意舍去）； ④当时，，（不合题意舍去）； ⑤当时，，，符合题意， ； ⑥当时，， ， （不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 25. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点作于，过点作于，如图， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期中质量检测 八年级数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果有意义，那么的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 5. 一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 6. 某商店出售下列四种形状的地砖： ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形． 若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 7. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，那么代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点与点关于轴对称，则的值为______． 12. 一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么__________． 13. 如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____cm． 14. 如图，彭彭和欢欢去郊外游玩，他们想测量点N到河对岸的点M之间的距离，彭彭在点N的同侧选择了一点G，测得，，欢欢在点P处放了一块石头，使．要想测得点M，N之间的距离，有下列四种方案：①测量的长；②测量的长；③测量的度数；④在的下方作，交射线于点Q，测量的长．你认为正确的是______．（填序号） 15. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 16. 在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图， ，，，垂足分别为，，．求证． 20. 如图，在中，，且．求的度数． 21. 求证：全等三角形对应的角平分线相等． 22. 已知，在中，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为______； （2）如图②，直接写出线段与的数量关系：______； （3）如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 23. 问题提出学习了全等三角形的判定方法（“SSS”“SAS”“ASA”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 初步思考：将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF.然后对∠ABC进行分类，可分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究． 第一种情况：当∠ABC是锐角时，AB=DE不一定成立； 第二种情况：当∠ABC是直角时，根据“HL”，可得△ABC≌ΔDEF，则AB=DE； 第三种情况：当∠ADC是钝角时，则AB=DE. 如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC是钝角，求证：AB=DE. 方法归纳化归是一种有效的数学思维方式，一般是将未解决的问题通过交换转化为已解决的问题.观群发现第三种情况可以转化为第二种情况，如图，过点C作CG⊥AB交延长线于点G. (1)在ΔDEF中用尺规作出DE边上的高FH，不写作法，保留作图痕迹； (2)请你完成(1)中作图的基础上，加以证明AB=DE. 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． （1）如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”，，求的度数； （3）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 25. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $