微点4 “威力十足”的基本不等式与不等式链 讲义-2025-2026学年高一上学期数学同步微点进阶

专题二 一元二次不等式、方程和不等式 微点4 “威力十足”的基本不等式与不等式链 基本不等式的本质是反映两个正数的算术平均数和几何平均数这两类平均数的大小规律，用基本不等式解决问题，也就是两个正数和与积的转化过程.而将基本不等式拓展到基本不等式链，进一步探究三元基本不等式、柯西不等式等，挖掘知识的内在联系，感受知识的形成过程，体会数学学科知识的统一美、对称美、简洁美，激发学习数学的兴趣和勇于探索的科学精神． 我们从以下三个方面进行探究： 1、基本不等式与不等式链的理解 2、基本不等式求最值的三类问题 3、基本不等式的衍生与拓展 首先通过代数法和几何法证明基本不等式链，加深对数形结合思想的理解；其次通过配凑系数、常值代换等方法解决最值问题，体会化归思想；最后通过多元基本不等式、柯西不等式及权方和不等式的证明，拓展学生不等式的知识视野与储备，提高解决问题的能力. 在解题过程中，除已给出方法外，仍可深入思考这些不等式的其他证明方法，以及它们在解题中的应用．要从多个角度去分析问题，探求多样性的解法，体验数学学习的乐趣． 探究一　基本不等式与不等式链的理解 一般地，我们说的基本不等式是指两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即，当且仅当时等号成立． 这是因为当时，等价于． 事实上，还可以得到其他的不等式． 【典例1】求证：，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立． 【思路引导】由基本不等式易证，故本题只要证明不等式和，因为待证不等式较为复杂，所以优先考虑采用分析法来证明不等式． 【详细解析】首先，要证，只要证，即要证． 因为， 所以，即，当且仅当时等号成立． 又要证，等价于证明． 又因为， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立． 【题后反思】不等式证明的实质是比较两个实数（或代数式）的大小．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以利用比较法（作差法或作商法）证明．要善于运用分析法、综合法解决相关问题，如：也可以转化为，培养观察、类比、辨析的综合思维能力，体会转化与化归、类比的思想． 【举一反三】 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为， ， ，由基本不等式可得， ， 又， 所以， ， 所以. 故选：AD. 【典例2】《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【思路引导】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详细解析】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 【题后反思】根据几何性质得出相应边的表示，再由图形比较各边大小是关键. 【举一反三】 2．如图，以AB为直径作半圆，圆心为O．过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD．你能利用这个图形得出不等式链的几何解释吗？    【答案】答案见解析 【分析】设，，，作交圆O于点E，过点C作于点H，由直角三角形的性质求得后根据线段的长短得出均值不等式． 【详解】不妨设，，，如图，以点O为圆心的圆半径，作交圆O于点E，则，由知． 显然，． 因为，过点C作于点H，则，知． 因为，所以当时，． 综上，，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立（即点C与点O重合时）． 注：称为正数a，b的调和平均数，称为正数a，b的平方平均数．    探究二　基本不等式求最值的三类问题 【典例3】若，，且，求的最大值． 【思路引导】由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【详细解析】易知． 当且仅当，即，时，等号成立．故的最大值为． 【题后反思】通过平方将未知结构向已知条件转化，构造和为定值的两个因式，从而利用基本不等式． 此外解题时，务必要验证等号成立的条件． 【举一反三】 3．已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 【典例4】（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【思路引导】根据基本不等式的使用三要素配凑和、积定值计算即可. 【详细解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立． （2）因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 【题后反思】（1）积的形式凑系数：比如本题为两个式子积的形式，但其和不是定值，故需调整系数． （2）和的形式凑项：比如本题为两个式子和的形式，但其积不是定值，故需调整项，配凑出． 【举一反三】 4．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件式变形，应用基本不等式即可得出最小值. 【详解】由，有，且， 则，当且仅当时等号成立． 故答案为：4. 【典例5】已知x，y均为正实数，且，则xy的最小值为______． 【思路引导】求已知（a，b，c都不为0）型条件的的最值问题，可利用消元法或者基本不等式求解． 【详细解析】方法1：因为x，y均为正实数，所以，可化为，即，所以，，当且仅当时，xy取得最小值9． 方法2：由有，若x，y都小于1，则，矛盾；则，，所以，即，当且仅当时，取等号．则取得最小值9． 【题后反思】既可以将和式转化为积式，再解二次不等式，又可以整体变形，求出和式范围，再利用相等关系，求出积式范围． 【举一反三】 （24-25高一上·辽宁·阶段练习） 5．设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】依题意，由，得， 当且仅当，即时等号成立，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D 探究三　基本不等式的衍生与拓展 【典例6】（1）已知a，b，c，，求证：，并说明等号成立的条件． （2）求证：当a，b，时，，并说明等号成立的条件． 【思路引导】（1）两次利用二元基本不等式，得到四元基本不等式；（2）法一、利用四元基本不等式，配凑得到，化简即可得三元基本不等式，法二、利用因式分解证明再依次把a，b，c代以，，后即可． 【详细解析】（1）证明：因为，所以利用基本不等式可得，当且仅当，时等号成立， 又因为，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立． （2）证法1：，三个数无法凑对，无法直接使用平均值不等式， 根据第（1）问，考虑为四个正数相加， 且，有， 即，当且仅当时等号成立． 两边4次方，得，即，当且仅当时等号成立． （2）证法2：因为，又因为，即当a，b，c均为正实数时必有，把a，b，c代以，，后，则有，当且仅当时等号成立． 【题后反思】运用两种证法得到三元基本不等式，在解题时仍应注意等号成立的条件． 【举一反三】 6．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解； 方法二：利用两次基本不等式求出答案. 【详解】方法一：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 方法二：， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 【典例7】已知，证明柯西不等式：． 【思路引导】利用比较法（作差），展开易证. 【详细解析】证明：因为 ，所以成立， 当且仅当，即时成立． 【题后反思】从等式关系可得到不等关系，这体现了数学思维发展的过程．柯西不等式二维形式：，等号成立条件：． 扩展：，等号成立条件：恒成立或存在，使得恒成立． 变形：易得．在时，就有权方和不等式：，当时，等号成立． 同理权方和不等式也可以拓展成多维形式：若，，，则成立，当时，等号成立． 观察特征，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次． 【举一反三】 7．已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 8．若a，b为大于零的常数，且，求的最小值． 【答案】 【分析】法一，由已知，，利用基本不等式即可求得最小值. 法二， 由权方和公式知：. 【详解】法一、利用基本不等式配凑， 因为，所以． 所以, 当且仅当，即时等号成立, 故，故函数的最小值为. 法二、由权方和公式知：， 当且仅当即时等号成立. （23-24高一上·江苏徐州·期中） 9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D. 【详解】对于A，若，满足，则，错误； 对于B，若，且，则，时取等号，正确； 对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，当且仅当即时等号成立， 由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确. 对于D，令，则， 所以， （当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确. 故选：BCD 10．已知，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】方法1：通过消元法，构造倒数和的形式出现积为定值，从而可利用基本不等式求得最小值． 方法2：利用1的代换可得，进而利用基本不等式求得最小值． 【详解】方法1：因为，所以．因为，，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值是． 方法2：因为，， 所以． 当且仅当，且，即，时，等号成立． 故的最小值是． 11．已知，满足，求范围. 【答案】 【分析】利用基本不等式把式子中的用表示，再解不等式即可求出范围. 【详解】因为，所以，即， 所以或(舍)，所以，当且仅当a=b=3时等号成立. 即的取值范围为. 12．已知正数a，b满足，求的最小值． 【答案】 【分析】由条件可得，则，又，再由基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则 所以当，时，的最小值是． 13．设a，b，c均为正数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用三元基本不等式进行证明. 【详解】∵a，b，c均为正数， ∴， 当且仅当，即时，等号成立． ， 当且仅当，即时，等号成立． ∴， 故， 当且仅当时，等号成立． 14．已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式， （2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证. 【详解】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）. 整理得，故的最小值为4． （2）由（1）知，即证，由可得， 即有， 由柯西不等式可知， 取等条件为，即．故， 即：得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二 一元二次不等式、方程和不等式 微点4 “威力十足”的基本不等式与不等式链 基本不等式的本质是反映两个正数的算术平均数和几何平均数这两类平均数的大小规律，用基本不等式解决问题，也就是两个正数和与积的转化过程.而将基本不等式拓展到基本不等式链，进一步探究三元基本不等式、柯西不等式等，挖掘知识的内在联系，感受知识的形成过程，体会数学学科知识的统一美、对称美、简洁美，激发学习数学的兴趣和勇于探索的科学精神． 我们从以下三个方面进行探究： 1、基本不等式与不等式链的理解 2、基本不等式求最值的三类问题 3、基本不等式的衍生与拓展 首先通过代数法和几何法证明基本不等式链，加深对数形结合思想的理解；其次通过配凑系数、常值代换等方法解决最值问题，体会化归思想；最后通过多元基本不等式、柯西不等式及权方和不等式的证明，拓展学生不等式的知识视野与储备，提高解决问题的能力. 在解题过程中，除已给出方法外，仍可深入思考这些不等式的其他证明方法，以及它们在解题中的应用．要从多个角度去分析问题，探求多样性的解法，体验数学学习的乐趣． 探究一　基本不等式与不等式链的理解 一般地，我们说的基本不等式是指两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即，当且仅当时等号成立． 这是因为当时，等价于． 事实上，还可以得到其他的不等式． 【典例1】求证：，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立． 【思路引导】由基本不等式易证，故本题只要证明不等式和，因为待证不等式较为复杂，所以优先考虑采用分析法来证明不等式． 【详细解析】首先，要证，只要证，即要证． 因为， 所以，即，当且仅当时等号成立． 又要证，等价于证明． 又因为， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立． 【题后反思】不等式证明的实质是比较两个实数（或代数式）的大小．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以利用比较法（作差法或作商法）证明．要善于运用分析法、综合法解决相关问题，如：也可以转化为，培养观察、类比、辨析的综合思维能力，体会转化与化归、类比的思想． 【举一反三】 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【思路引导】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详细解析】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 【题后反思】根据几何性质得出相应边的表示，再由图形比较各边大小是关键. 【举一反三】 2．如图，以AB为直径作半圆，圆心为O．过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD．你能利用这个图形得出不等式链的几何解释吗？    探究二　基本不等式求最值的三类问题 【典例3】若，，且，求的最大值． 【思路引导】由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【详细解析】易知． 当且仅当，即，时，等号成立．故的最大值为． 【题后反思】通过平方将未知结构向已知条件转化，构造和为定值的两个因式，从而利用基本不等式． 此外解题时，务必要验证等号成立的条件． 【举一反三】 3．已知， 且， 则的最大值为 ． 【典例4】（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【思路引导】根据基本不等式的使用三要素配凑和、积定值计算即可. 【详细解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立． （2）因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 【题后反思】（1）积的形式凑系数：比如本题为两个式子积的形式，但其和不是定值，故需调整系数． （2）和的形式凑项：比如本题为两个式子和的形式，但其积不是定值，故需调整项，配凑出． 【举一反三】 4．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【典例5】已知x，y均为正实数，且，则xy的最小值为______． 【思路引导】求已知（a，b，c都不为0）型条件的的最值问题，可利用消元法或者基本不等式求解． 【详细解析】方法1：因为x，y均为正实数，所以，可化为，即，所以，，当且仅当时，xy取得最小值9． 方法2：由有，若x，y都小于1，则，矛盾；则，，所以，即，当且仅当时，取等号．则取得最小值9． 【题后反思】既可以将和式转化为积式，再解二次不等式，又可以整体变形，求出和式范围，再利用相等关系，求出积式范围． 【举一反三】 （24-25高一上·辽宁·阶段练习） 5．设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 探究三　基本不等式的衍生与拓展 【典例6】（1）已知a，b，c，，求证：，并说明等号成立的条件． （2）求证：当a，b，时，，并说明等号成立的条件． 【思路引导】（1）两次利用二元基本不等式，得到四元基本不等式；（2）法一、利用四元基本不等式，配凑得到，化简即可得三元基本不等式，法二、利用因式分解证明再依次把a，b，c代以，，后即可． 【详细解析】（1）证明：因为，所以利用基本不等式可得，当且仅当，时等号成立， 又因为，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立． （2）证法1：，三个数无法凑对，无法直接使用平均值不等式， 根据第（1）问，考虑为四个正数相加， 且，有， 即，当且仅当时等号成立． 两边4次方，得，即，当且仅当时等号成立． （2）证法2：因为，又因为，即当a，b，c均为正实数时必有，把a，b，c代以，，后，则有，当且仅当时等号成立． 【题后反思】运用两种证法得到三元基本不等式，在解题时仍应注意等号成立的条件． 【举一反三】 6．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例7】已知，证明柯西不等式：． 【思路引导】利用比较法（作差），展开易证. 【详细解析】证明：因为 ，所以成立， 当且仅当，即时成立． 【题后反思】从等式关系可得到不等关系，这体现了数学思维发展的过程．柯西不等式二维形式：，等号成立条件：． 扩展：，等号成立条件：恒成立或存在，使得恒成立． 变形：易得．在时，就有权方和不等式：，当时，等号成立． 同理权方和不等式也可以拓展成多维形式：若，，，则成立，当时，等号成立． 观察特征，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次． 【举一反三】 7．已知正数满足，则的最小值为 . 8．若a，b为大于零的常数，且，求的最小值． （23-24高一上·江苏徐州·期中） 9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 10．已知，且，，求的最小值． 11．已知，满足，求范围. 12．已知正数a，b满足，求的最小值． 13．设a，b，c均为正数，求证：． 14．已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 试卷第1页，共3页 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