同步微点进阶讲义15 指对函数结合-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点15    指对函数的结合 指、对函数是重要的基本初等函数，是深入理解函数性质的重要载体，是一类运动变化现象的数学抽象．本专题尝试从三个角度给读者一些启发． 1、反函数的判定与应用 2、反函数的性质与应用 3、指对函数结合的综合应用 指数函数与对数函数是最特殊的一类反函数，其图象关于对称，①从形的角度：根据函数解析式或图象的特征判断函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值、特殊点；②从数的角度：利用指数函数、对数函数和二次函数、反比例函数、对勾函数等的简单复合，研究新函数的性质，比如定义域、值域、最值、奇偶性、单调性；同时结合基本不等式研究恒成立或能成立问题，以及二元变量的恒成立或能成立问题．这里请体会当基本不等式使用的条件不满足时，函数单调性通解通法的作用．在学习过程中要掌握分类讨论临界点的选取技巧． 探究一　反函数的判定与应用 【典例1】（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求，或可直接利用反函数的定义求，再计算即可. 【详细解析】法一、设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 法二、易知，即，则. 故选：B 【题后反思】两个函数互为反函数，注意利用定义，通过待定系数法计算解析式，两者求其一也可. 【举一反三】（2024高三下·全国·专题练习） 1．已知是定义在上的函数，则给定上的函数（    ） A．存在上的函数，使得 B．存在上的函数，使得 C．存在上的函数，使得 D．存在上的函数，使得 【典例2】已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】先求出函数的解析式，再根据函数的定义域和单调性利用排除法求解即可. 【详细解析】因为函数是的反函数， 所以， 则， 则，解得， 所以函数的定义域为，故排除AB； 令，在上是减函数， 而函数是减函数， 所以函数在上是增函数，故排除C. 故选：D. 【题后反思】利用反函数的定义得出函数解析式，再根据复合函数的单调性计算；也可通过反函数的对称性，结合特殊点排除处理. 【举一反三】（23-24高一上·江苏南京·期末） 2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 探究二　反函数的性质与应用 【典例3】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【思路引导】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详细解析】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 【题后反思】函数有指数、对数形式，但较复杂可考虑是否为反函数，再利用反函数的对称性指对互化计算是破题关键. 【举一反三】（2024·贵州六盘水·模拟预测） 3．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【典例4】（24-25高三上·辽宁·开学考试）表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A．若，则 B． C．设，则 D．所有满足的点组成的区域的面积为 【思路引导】对于AB，理解函数的定义，从而分析对应函数的值或性质即可判断；对于C，将问题转化为表示边长为20的正方形内整点的个数之和，从而结合图形得解；对于D，分类讨论的取值范围，从而依次求得对应的面积，从而得解. 【详细解析】对于A项，若，则， 则， 所以，故A正确； 对于B，设， 则， 又，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 而表示轴，直线， 及曲线所围成区域的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数（不含轴上的点）， 设函数和， 可得函数和互为反函数，即两个函数的图象关于直线对称， 由函数对称性可得轴，直线及曲线围成的区域 与以轴，直线及曲线围成的区域所包含的整点一样多，如图所示： 则表示边长为20的正方形内整点的个数之和， 其中有两个，且不含坐标轴上的点， 所以整点的个数为，故C错误； 对于D，当时，，此时组成区域的面积为1； 当时，，，此时组成区域的面积为1； 当时，，此时组成区域的面积为1； 当时，，，此时组成区域的面积为1； 当时，， 此时组成区域的面积为. 综上，点组成区域的面积为，故D正确. 故选：ABD. 【题后反思】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 【举一反三】 4．已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ． 探究三　指对函数结合的综合应用 【典例5】已知正实数x，y，z满足，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 【详细解析】是正实数，令，则，， 对于A，，A错误； 对于B，因为，则，B正确； 对于C，因为，则，即， 因此，即有，C正确； 对于D，， 因此，D正确. 故选：BCD 【题后反思】某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 【举一反三】（2020·全国·高考真题） 5．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【典例6】我们知道与（且）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对称；②的定义域是的值域，的值域是的定义域，反之亦然；③若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上. (1)若函数与互为反函数，求实数a，b的值； (2)运用（1）题中得到的函数，若对，使得成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】（1）根据互为反函数的定义，在已知函数图像上取点，通过另一个函数计算求得参数值； （2）理解题设命题的含义即：，分别求两函数在给定区间上的最小值函数，最后通过解不等式即可求得参数范围. 【详细解析】（1）由题知，与互为反函数，所以， 又因为函数图像过点，所以函数图像过点，即，所以， 即. （2）由（1）知，显然在上单调递增 ，所以 . 令则则，，其图像对称轴为直线， 则即 因，使得，即， ①当时，由得，故舍去； ②当时，由得，即或，故； ③当时，由，即，所以. 综上可得：a的取值范围为. 【题后反思】本题主要考查互为反函数的两函数的联系和通过运用量词“”连接的命题的真假求解参数范围. 解题的关键是理解互为反函数的两函数在结构和图像上的点关于直线对称的关系.对于用量词“”连接的命题，若是其中含不等号，则是两函数的最值间的大小关系；若是等式，则一般利用变量分离法转化成参数与对应函数值域的包含关系来解决. 【举一反三】 6．已知定义在R上的函数满足且，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 【典例7】已知函数，为自然对数的底数． （1）当时，求的定义域； （2）若，讨论时，的值域． 【思路引导】（1）可化为一元二次不等式求函数定义域，优先考虑因式分解；（2）可利用非初等函数单调性求函数最值，先证明单调性．对参数分类讨论时，要厘清讨论的临界值． 【详细解析】（1）当时，要使有意义， 则．即． 因为，所以，所以，，所以的定义域为． （2）． 设，． 因为，所以． 下证函数在上单调递减，在上单调递增． 设，， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递增；同理可证，在上单调递减． ①当，即时，在上单调递减， ，，所以的值域为， 即时，的值域为． ②当时，，在上单调递减，在上单调递增． 则，为与中的较大者， ，，． （ⅰ）当时，，所以的值域为， 即的值域为． （ⅱ）当时，， 所以的值域为，即的值域为． 综上所述，当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为． 【题后反思】求函数定义域离不开解不等式，可以用换元法将含指数或对数的复杂不等式转化为一次不等式或二次不等式，进而求解．求函数值域离不开求函数最值，常用的方法有均值不等式（注意等号是否成立）、函数的单调性等．对参数分类讨论时，需要根据题中所给的区间确定分类的标准，做到不重不漏． 【举一反三】 7．已知函数（其中），函数（其中）. (1)若且函数存在零点，求的取值范围； (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·山东德州·期末） 10．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 （23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习） 11．下列结论正确的是（   ） A．函数的图象可以由函数（且）的图像向左平移2个单位长度得到 B．函数与函数的图象关于轴对称 C．方程的解集为 D．函数为奇函数 （2017·浙江·模拟预测） 12．已知实数满足.当时， ；当取到最大值时， . 13．已知实数满足，，则 . （23-24高一上·上海·阶段练习） 14．画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 15．已知函数且是偶函数，函数且. (1)求实数的值. (2)当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点15    指对函数的结合 指、对函数是重要的基本初等函数，是深入理解函数性质的重要载体，是一类运动变化现象的数学抽象．本专题尝试从三个角度给读者一些启发． 1、反函数的判定与应用 2、反函数的性质与应用 3、指对函数结合的综合应用 指数函数与对数函数是最特殊的一类反函数，其图象关于对称，①从形的角度：根据函数解析式或图象的特征判断函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值、特殊点；②从数的角度：利用指数函数、对数函数和二次函数、反比例函数、对勾函数等的简单复合，研究新函数的性质，比如定义域、值域、最值、奇偶性、单调性；同时结合基本不等式研究恒成立或能成立问题，以及二元变量的恒成立或能成立问题．这里请体会当基本不等式使用的条件不满足时，函数单调性通解通法的作用．在学习过程中要掌握分类讨论临界点的选取技巧． 探究一　反函数的判定与应用 【典例1】（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求，或可直接利用反函数的定义求，再计算即可. 【详细解析】法一、设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 法二、易知，即，则. 故选：B 【题后反思】两个函数互为反函数，注意利用定义，通过待定系数法计算解析式，两者求其一也可. 【举一反三】（2024高三下·全国·专题练习） 1．已知是定义在上的函数，则给定上的函数（    ） A．存在上的函数，使得 B．存在上的函数，使得 C．存在上的函数，使得 D．存在上的函数，使得 【答案】D 【分析】根据反函数的定义可判断A，B；根据是否有解可判断C；只需要可判断D. 【详解】对A，，两边同取反函数，则， 即是的反函数，不是所有的函数都有反函数，如，，故A错误； 对B，，得，即是的反函数，故B错误． 对C，令，则，即与有交点，这个不一定，故C错误． 对D，只需要就可以满足，故D正确. 故选：D． 【典例2】已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】先求出函数的解析式，再根据函数的定义域和单调性利用排除法求解即可. 【详细解析】因为函数是的反函数， 所以， 则， 则，解得， 所以函数的定义域为，故排除AB； 令，在上是减函数， 而函数是减函数， 所以函数在上是增函数，故排除C. 故选：D. 【题后反思】利用反函数的定义得出函数解析式，再根据复合函数的单调性计算；也可通过反函数的对称性，结合特殊点排除处理. 【举一反三】（23-24高一上·江苏南京·期末） 2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 【答案】BC 【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，则，， ， 则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误； 函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以C正确，D错误. 故选：BC. 探究二　反函数的性质与应用 【典例3】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【思路引导】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详细解析】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 【题后反思】函数有指数、对数形式，但较复杂可考虑是否为反函数，再利用反函数的对称性指对互化计算是破题关键. 【举一反三】（2024·贵州六盘水·模拟预测） 3．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【详解】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A 【典例4】（24-25高三上·辽宁·开学考试）表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A．若，则 B． C．设，则 D．所有满足的点组成的区域的面积为 【思路引导】对于AB，理解函数的定义，从而分析对应函数的值或性质即可判断；对于C，将问题转化为表示边长为20的正方形内整点的个数之和，从而结合图形得解；对于D，分类讨论的取值范围，从而依次求得对应的面积，从而得解. 【详细解析】对于A项，若，则， 则， 所以，故A正确； 对于B，设， 则， 又，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 而表示轴，直线， 及曲线所围成区域的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数（不含轴上的点）， 设函数和， 可得函数和互为反函数，即两个函数的图象关于直线对称， 由函数对称性可得轴，直线及曲线围成的区域 与以轴，直线及曲线围成的区域所包含的整点一样多，如图所示： 则表示边长为20的正方形内整点的个数之和， 其中有两个，且不含坐标轴上的点， 所以整点的个数为，故C错误； 对于D，当时，，此时组成区域的面积为1； 当时，，，此时组成区域的面积为1； 当时，，此时组成区域的面积为1； 当时，，，此时组成区域的面积为1； 当时，， 此时组成区域的面积为. 综上，点组成区域的面积为，故D正确. 故选：ABD. 【题后反思】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 【举一反三】 4．已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分段函数、函数的性质、函数与方程，根据已知转化为方程在上有实根，再分离参数，由复合函数的单调性求最值，得到参数的范围. 【详解】因为与的图像关于直线对称， 所以若函数的图像上存在关于直线对称的点， 则方程在上有实根，即方程在上有实根． 设，则由复合函数的单调性易得在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围是． 故答案为： 探究三　指对函数结合的综合应用 【典例5】已知正实数x，y，z满足，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 【详细解析】是正实数，令，则，， 对于A，，A错误； 对于B，因为，则，B正确； 对于C，因为，则，即， 因此，即有，C正确； 对于D，， 因此，D正确. 故选：BCD 【题后反思】某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 【举一反三】（2020·全国·高考真题） 5．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【典例6】我们知道与（且）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对称；②的定义域是的值域，的值域是的定义域，反之亦然；③若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上. (1)若函数与互为反函数，求实数a，b的值； (2)运用（1）题中得到的函数，若对，使得成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】（1）根据互为反函数的定义，在已知函数图像上取点，通过另一个函数计算求得参数值； （2）理解题设命题的含义即：，分别求两函数在给定区间上的最小值函数，最后通过解不等式即可求得参数范围. 【详细解析】（1）由题知，与互为反函数，所以， 又因为函数图像过点，所以函数图像过点，即，所以， 即. （2）由（1）知，显然在上单调递增 ，所以 . 令则则，，其图像对称轴为直线， 则即 因，使得，即， ①当时，由得，故舍去； ②当时，由得，即或，故； ③当时，由，即，所以. 综上可得：a的取值范围为. 【题后反思】本题主要考查互为反函数的两函数的联系和通过运用量词“”连接的命题的真假求解参数范围. 解题的关键是理解互为反函数的两函数在结构和图像上的点关于直线对称的关系.对于用量词“”连接的命题，若是其中含不等号，则是两函数的最值间的大小关系；若是等式，则一般利用变量分离法转化成参数与对应函数值域的包含关系来解决. 【举一反三】 6．已知定义在R上的函数满足且，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入计算可得； （2）根据单调性得，分离参数求最值即可. （3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故. （2）由（1）知，， 所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数a的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数m的取值范围是. 【典例7】已知函数，为自然对数的底数． （1）当时，求的定义域； （2）若，讨论时，的值域． 【思路引导】（1）可化为一元二次不等式求函数定义域，优先考虑因式分解；（2）可利用非初等函数单调性求函数最值，先证明单调性．对参数分类讨论时，要厘清讨论的临界值． 【详细解析】（1）当时，要使有意义， 则．即． 因为，所以，所以，，所以的定义域为． （2）． 设，． 因为，所以． 下证函数在上单调递减，在上单调递增． 设，， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递增；同理可证，在上单调递减． ①当，即时，在上单调递减， ，，所以的值域为， 即时，的值域为． ②当时，，在上单调递减，在上单调递增． 则，为与中的较大者， ，，． （ⅰ）当时，，所以的值域为， 即的值域为． （ⅱ）当时，， 所以的值域为，即的值域为． 综上所述，当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为． 【题后反思】求函数定义域离不开解不等式，可以用换元法将含指数或对数的复杂不等式转化为一次不等式或二次不等式，进而求解．求函数值域离不开求函数最值，常用的方法有均值不等式（注意等号是否成立）、函数的单调性等．对参数分类讨论时，需要根据题中所给的区间确定分类的标准，做到不重不漏． 【举一反三】 7．已知函数（其中），函数（其中）. (1)若且函数存在零点，求的取值范围； (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围； （2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知函数存在零点，即有解. 又， 易知在上是减函数，又，，即， 所以，所以的取值范围是. （2）的定义域为，若是偶函数，则， 即解得. 此时，， 所以即为偶函数. 又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解， 即方程有且只有一个实根. 令，则方程有且只有一个正根 ①当时，，不合题意， ②当时，方程有两相等正根，则， 且，解得，满足题意； ③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意， 综上所述：实数的取值范围为或. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题. 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以. 故选：B. 9．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果. 【详解】由的图象如下： 由图知：当时，，D可能； 当时，，B可能； 当时，，A可能. 故选：C （23-24高二下·山东德州·期末） 10．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C （23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习） 11．下列结论正确的是（   ） A．函数的图象可以由函数（且）的图像向左平移2个单位长度得到 B．函数与函数的图象关于轴对称 C．方程的解集为 D．函数为奇函数 【答案】AD 【分析】由函数图象变换的规则判断A选项；由反函数与原函数图象的对称性判断选项B；角对数方程判断选项C，定义法证明函数奇偶性判断选项D. 【详解】函数（且）的图象向左平移2个单位长度得到函数的图象，A选项正确； 函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，B选项错误； 方程，则有，解得， 所以方程的解集为，C选项错误； 函数，定义域为， ， 所以函数为奇函数，D选项正确； 故选：AD （2017·浙江·模拟预测） 12．已知实数满足.当时， ；当取到最大值时， . 【答案】 【分析】利用对数真数大于零，求得.根据对数运算化简已知条件，解方程求得的值.利用配方法，结合的取值范围，求得取得最大值时，的值.. 【详解】由得.由题意得，即. 当时，则，解得或（舍去）. 由得，由于，则，，，所以当取得最大值时，. 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 13．已知实数满足，，则 . 【答案】##10000 【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案. 【详解】因为，所以是方程的根；又因为，所以是方程的根； 又因为与互为反函数，其图像关于对称，且直线与的交点的横坐标为， 因为直线与垂直，所以，又因为， 所以. 故答案为：. （23-24高一上·上海·阶段练习） 14．画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 【答案】(1)图象见详解； (2)，图象见详解； (3)； (4)图象见详解. 【分析】（1）先列表，然后描点连线可得； （2）由用表示出，然后可得反函数，通过列表描点连线可得图象； （3）根据（2）中图象观察可得； （4）先作出反函数图象，然后作反函数关于的对称图形即可. 【详解】（1）列表： 0 3 0 1 2 描点连线得图象如图：    （2）由得，所以的反函数为， 列表： 0 1 2 0 3 描点连线得的图象如图：    （3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称. 故答案为： （4）由得， 所以的反函数为， 作出函数的图象如图：    作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图：    15．已知函数且是偶函数，函数且. (1)求实数的值. (2)当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，从而求得的值； （2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得，从而由对数函数的单调性求得，据此得解； ②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法再次将问题转化为恒成立，从而得解. 【详解】（1）由题意得，即， 所以， 则，由于不恒为，所以，故， 经检验，当时，的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，满足题意， 所以. （2）①由（1）及得， 由于指数函数在上单调递增，对勾函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，取得最小值，即， 又在上单调递增，所以， 故的值域为； ②由题意得， 因为，使得恒成立， 所以，恒成立，则恒成立， 由①易得当时，，，所以恒成立， 因为，所以在上恒成立， 令，因为，所以，则在上恒成立，即在上恒成立， 令，易知在上单调递减，所以， 所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$