微点5三个二次关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题二一元二次函数、方程与不等式 微点5“铁三角”——三个“二次关系” 所谓三个“二次关系”即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者的关系，一言以蔽之：二次函数的图象与横轴的交点横坐标即一元二次方程的根，也是一元二次不等式或解集的端点值.一般可利用它处理以下几种常见的问题： 1、由根求参数问题 2、含参不等式求解问题 3、根的分布问题 对于由根求参问题，利用根即不等式解集的端点，结合待定系数法即可解决；对于含参不等式求解问题，先解出对应方程的根（或判定其无根），结合分类讨论的思想及数形结合的思想即可解决；对于根的分布问题，利用二次函数的图象与性质及韦达定理即可. 通过本专题的研究，学生可以深入理解数形结合的思想、转化与化归的思想，为进一步的学习函数、不等式与方程的联系打下坚实基础. “三个二次”的关系见下表： Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 探究一　由根求参数问题 【典例1】一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】由题可得2，3为的两根，利用韦达定理算出的关系式，再将换成同一参数再求的根即可. 【详细解析】因为不等式的解集是， 故且2，3为的两根. 根据韦达定理有 ，故， 故可写成， 因为， 所以 解得或， 所以不等式的解集为 故选：A. 【题后反思】确定不等式解集即知道相应方程的根，利用根与系数的关系即可得出参数或参数的关系，同时需注意解集开口方向来确定二次项系数的符号. 【举一反三】 1．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以应有， 解得. 选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足. 故选：C. 【典例2】已知函数与轴只有一个交点，且不等式的解集为，则m的值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据题意可得，再将不等式的解集转化为方程的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解. 【详细解析】函数只有一个零点，则， 不等式的解集为， 即的解集为． 设方程的两根为， 则，且， ∴，则， 整理得，∴． 故选：. 【题后反思】将函数的交点、不等式解集的端点与方程的根紧密联系，借助韦达定理计算两根之差即可. 【举一反三】 2．已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的解集为知可用表示，代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围. 【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根， 故且，即， 则不等式变为， 由于，则上式可转化为在恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 故. 故选：B. 类型二　含参不等式求解问题 【典例3】解下列关于的不等式 【思路引导】分解因式确定方程的根，讨论大小关系结合三个 求解集即可. 【详细解析】由，可得或， 则①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为； 综上所述：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 【题后反思】解含参不等式的步骤如下： 1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式； 2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； 3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．　 【举一反三】 3．解下列关于的不等式：（）. 【答案】答案见解析 【分析】分成，，，，五种情况分别讨论不等式的解. 【详解】不等式化为：， 当，原不等式化为，解得， 当，原不等式化为，解得或， 当，原不等式化为， 当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得， 所以当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【典例4】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 【思路引导】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详细解析】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 【题后反思】将不等式分解因式得出解集，根据解集中的整数值个数确定参数范围即可. 【举一反三】 4．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 类型三　根的分布问题 【典例5】已知方程． （1）若方程有两个根，求m的取值范围； （2）若方程有两个正根，求m的取值范围； （3）若方程有两个负根，求m的取值范围． 【思路引导】对于根的个数问题可以通过判别式来确定，对于根的分布问题需要借助二次函数图象与韦达定理来处理. 【详细解析】设方程的两根为，． （1）由题意知：，解得或． （2）依题意有即解得， （3）依题意有所以． 【题后反思】根据判别式以及韦达定理解决根的分布问题，要清楚，，的符号所代表的意义．比如在（2）中，表示方程有根，表示有正根，表示两根同号，需要讨论时注意讨论不重不漏． 【举一反三】 5．已知关于x的方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合分类讨论即可求解. 【详解】设， 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，可得即所以． ②有一个正根，一个负根，可得，得． ③有一个正根，另一根为0，可得所以． 综上所述，． 【典例6】已知二次方程的两个实根都在区间内，求m的取值范围． 【思路引导】利用根的分布确定判别式、对称轴、端点值符号解不等式即可. 【详细解析】设，则，即． 因为的两个实根均在内，则判别式非负，对称轴在区间内，且需注意区间端点值， 即 解得或， 所以m的取值范为或． 【题后反思】对于根的分布问题从下面几个方面入手： 1．在R上研究方程的实根情况，只需考察函数与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，从而判断实根的情况． 2．在区间内研究二次方程的实根情况，需由二次函数图象与区间关系来确定，常见的有下列几种情况． （1）二次方程的两个实根都在区间内的充要条件是 说明：方程的两个实根都在内，则函数的图象与x轴有两个交点或相切于一点，其横坐标都在内．如图所示，函数的图象有以下4种情形： 这4个图形分别对应，；，；，；，． 这里考虑有三点：①判别式的正负，即方程是否有实根；②二次函数的对称轴是否在区间内；③区间端点的函数值的符号. （以下几种情况也是基于这三方面考虑，分析过程从略） （2）二次方程有且只有一个实根在内的充要条件： 若m，n其中之一是方程的根，则由韦达定理可求出另一根； 若m，n不是方程的根，则其充要条件是． （3）二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于m，另一根大于n）的充要条件是 （4）二次方程的两根都大于n的充要条件是 （5）二次方程的两根都小于m的充要条件是 【举一反三】 6．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：令，设的两个根为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （4）解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （24-25高一上·河南驻马店·开学考试） 7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 8．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，若不等式在区间内有解，可得函数在区间内的最大值大于0即可，根据二次函数的图象和性质可得答案． 【详解】解：令， 则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线， 故在区间上，（4）， 若不等式在区间内有解， 则， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：B． 9．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 【答案】ABC 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 11．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 【答案】(1) (2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析 【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可； （2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可. 【详解】（1）若方程有一个正根和一个负根， 则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． （2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是， 证明：若方程有一个正根和一个负根， 则由（1）知其充要条件为， 从而，故必要性成立． 若，则方程中，，， 方程有两个同号根，充分性不成立， 故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件． 12．已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值. （2）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （3）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）若恒成立，则恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （3）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以：的范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二一元二次函数、方程与不等式 微点5“铁三角”——三个“二次关系” 所谓三个“二次关系”即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者的关系，一言以蔽之：二次函数的图象与横轴的交点横坐标即一元二次方程的根，也是一元二次不等式或解集的端点值.一般可利用它处理以下几种常见的问题： 1、由根求参数问题 2、含参不等式求解问题 3、根的分布问题 对于由根求参问题，利用根即不等式解集的端点，结合待定系数法即可解决；对于含参不等式求解问题，先解出对应方程的根（或判定其无根），结合分类讨论的思想及数形结合的思想即可解决；对于根的分布问题，利用二次函数的图象与性质及韦达定理即可. 通过本专题的研究，学生可以深入理解数形结合的思想、转化与化归的思想，为进一步的学习函数、不等式与方程的联系打下坚实基础. “三个二次”的关系见下表： Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 探究一　由根求参数问题 【典例1】一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】由题可得2，3为的两根，利用韦达定理算出的关系式，再将换成同一参数再求的根即可. 【详细解析】因为不等式的解集是， 故且2，3为的两根. 根据韦达定理有 ，故， 故可写成， 因为， 所以 解得或， 所以不等式的解集为 故选：A. 【题后反思】确定不等式解集即知道相应方程的根，利用根与系数的关系即可得出参数或参数的关系，同时需注意解集开口方向来确定二次项系数的符号. 【举一反三】 1．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【典例2】已知函数与轴只有一个交点，且不等式的解集为，则m的值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据题意可得，再将不等式的解集转化为方程的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解. 【详细解析】函数只有一个零点，则， 不等式的解集为， 即的解集为． 设方程的两根为， 则，且， ∴，则， 整理得，∴． 故选：. 【题后反思】将函数的交点、不等式解集的端点与方程的根紧密联系，借助韦达定理计算两根之差即可. 【举一反三】 2．已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型二　含参不等式求解问题 【典例3】解下列关于的不等式 【思路引导】分解因式确定方程的根，讨论大小关系结合三个 求解集即可. 【详细解析】由，可得或， 则①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为； 综上所述：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 【题后反思】解含参不等式的步骤如下： 1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式； 2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； 3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．　 【举一反三】 3．解下列关于的不等式：（）. 【典例4】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 【思路引导】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详细解析】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 【题后反思】将不等式分解因式得出解集，根据解集中的整数值个数确定参数范围即可. 【举一反三】 4．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 类型三　根的分布问题 【典例5】已知方程． （1）若方程有两个根，求m的取值范围； （2）若方程有两个正根，求m的取值范围； （3）若方程有两个负根，求m的取值范围． 【思路引导】对于根的个数问题可以通过判别式来确定，对于根的分布问题需要借助二次函数图象与韦达定理来处理. 【详细解析】设方程的两根为，． （1）由题意知：，解得或． （2）依题意有即解得， （3）依题意有所以． 【题后反思】根据判别式以及韦达定理解决根的分布问题，要清楚，，的符号所代表的意义．比如在（2）中，表示方程有根，表示有正根，表示两根同号，需要讨论时注意讨论不重不漏． 【举一反三】 5．已知关于x的方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 【典例6】已知二次方程的两个实根都在区间内，求m的取值范围． 【思路引导】利用根的分布确定判别式、对称轴、端点值符号解不等式即可. 【详细解析】设，则，即． 因为的两个实根均在内，则判别式非负，对称轴在区间内，且需注意区间端点值， 即 解得或， 所以m的取值范为或． 【题后反思】对于根的分布问题从下面几个方面入手： 1．在R上研究方程的实根情况，只需考察函数与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，从而判断实根的情况． 2．在区间内研究二次方程的实根情况，需由二次函数图象与区间关系来确定，常见的有下列几种情况． （1）二次方程的两个实根都在区间内的充要条件是 说明：方程的两个实根都在内，则函数的图象与x轴有两个交点或相切于一点，其横坐标都在内．如图所示，函数的图象有以下4种情形： 这4个图形分别对应，；，；，；，． 这里考虑有三点：①判别式的正负，即方程是否有实根；②二次函数的对称轴是否在区间内；③区间端点的函数值的符号. （以下几种情况也是基于这三方面考虑，分析过程从略） （2）二次方程有且只有一个实根在内的充要条件： 若m，n其中之一是方程的根，则由韦达定理可求出另一根； 若m，n不是方程的根，则其充要条件是． （3）二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于m，另一根大于n）的充要条件是 （4）二次方程的两根都大于n的充要条件是 （5）二次方程的两根都小于m的充要条件是 【举一反三】 6．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； （24-25高一上·河南驻马店·开学考试） 7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 11．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 12．已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若时函数有解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$